Hoofdmenu openen
Standaardnotatie voor " beeldt af op ".

In de wiskunde is het begrip afbeelding de verzamelingtheoretische interpretatie van het begrip functie. Omdat afbeeldingen gedefinieerd kunnen worden voor willekeurige verzamelingen, kan het begrip afbeelding ook gezien worden als een generalisatie van het begrip functie, dat gewoonlijk zo gedefinieerd is dat een functie altijd getallen als resultaat heeft.

Informeel gesproken is een afbeelding een voorschrift dat aan ieder element van een verzameling een element uit een (andere) verzameling toevoegt. Zo'n toevoeging laat zien hoe sommige elementen uit een verzameling afhankelijk zijn van de elementen uit een andere (of dezelfde) verzameling. Omdat de wiskunde onder andere zulke afhankelijkheden onderzoekt, is een afbeelding een belangrijk basisbegrip.

DefinitieBewerken

Een afbeelding   is een tweeplaatsige relatie tussen twee verzamelingen   en   met de eigenschap dat aan ieder element   precies één element  , het beeld van  , wordt gekoppeld. Men noteert de afbeelding als

 

of ook als

 

en het unieke element   dat door   aan het element   wordt toegevoegd als  . De verzameling   heet het domein (of definitiegebied) van  ; de verzameling   wordt wel het codomein genoemd. Met het bereik   van   wordt de deelverzameling van   aangeduid die bestaat uit de beelden van de elementen van  .

Een afbeelding is dus hetzelfde als een functie. De keuze van de term wordt soms bepaald door het soort afbeelding, zie onder. Zie ook onder bij "Volledige afbeelding".

Ruimere definitieBewerken

Soms wordt een afbeelding gedefinieerd als een partiële functie. Dat wil zeggen dat een afbeelding gedefinieerd is als een drietal   waarvan   en   willekeurige verzamelingen zijn en   een deelverzameling is van het cartesisch product  , met de eigenschap dat voor alle   en   geldt:

als   en   dan is  .

Deze eis van functionaliteit betekent informeel dat alle elementen uit   aan ten hoogste één element uit   gekoppeld zijn.

Het drietal in de definitie wordt ook wel in een andere volgorde genoemd, namelijk als het drietal   in plaats van  .

Soms wordt een afbeelding simpelweg gedefinieerd als een verzameling geordende paren, overeenkomstig met   uit de eerste definitie, waarbij voor alle paren   en   geldt dat als   dan  . Uit welke verzamelingen de leden van de geordende paren komen, moet in dat geval expliciet genoemd worden of uit de context blijken. Strikt genomen wordt in dit geval niet het begrip afbeelding gedefinieerd, maar het begrip afbeelding van ... naar ..., omdat een verzameling paren enkel een afbeelding is in de context van de verzamelingen waaruit de leden van de paren komen.[1] De verzameling { (1, 2), (2, 3), ... } is bijvoorbeeld wel een afbeelding van de natuurlijke getallen   naar  , maar niet een afbeelding van   naar de verzameling van meetkundige figuren. Deze verzameling is, met andere woorden, niet een afbeelding zonder meer.

Het belangrijkste verschil tussen deze definities komt aan het licht wanneer afbeeldingen op gelijkheid getoetst worden. Neem de afbeeldingen   en  , waarbij  . Het is evident dat in dit geval  , hoewel de verzameling geordende paren   in beide afbeeldingen hetzelfde is. Onder de tweede definitie zouden dezelfde afbeeldingen echter als volgt gedefinieerd worden:   en  , waaruit volgt dat  .

TerminologieBewerken

Als   een afbeelding is, wordt   de grafiek van   genoemd. De verzameling   heet het domein van   en   het codomein van  . Men zegt ook dat   een afbeelding van   naar   is.

Als  , zegt men dat het toepassen van   op   als resultaat   heeft, of dat   door   op   afgebeeld wordt. Hierbij heet   het beeld van   onder  . Soms wordt van " -beeld" of simpelweg "beeld" gesproken. Dit laatste enkel wanneer uit de context duidelijk is welke afbeelding bedoeld wordt.

Het beeld van deelverzamelingen van het domein, in plaats van elementen uit het domein, is ook gedefinieerd. Als  , dan is

 

het beeld van de verzameling  . Met "  beeldt   op   af" wordt ook in het geval van verzamelingen   en   bedoeld dat   het beeld van   is.

Als  , dan is

 

het origineel van   onder  . Soms wordt van " -origineel" of simpelweg "origineel" gesproken. Parallel aan de definitie van "beeld", is het origineel niet alleen op elementen uit het codomein, maar ook op deelverzamelingen van het codomein gedefinieerd. Als  , dan is

 

het origineel van  .

De verzameling van alle elementen uit het domein die door   op een element uit het codomein afgebeeld worden,

 ,

heet het definitiegebied van  . De elementen uit het definitiegebied worden de argumenten of originelen van   genoemd. Als   een argument van   is, dan zegt met dat   is gedefinieerd in  . Soms wordt "domein" gedefinieerd als het definitiegebied in plaats van als de verzameling  .

De verzameling van alle elementen uit het codomein die een beeld zijn van een element uit het domein,

 ,

heet de beeldverzameling of het bereik van  . Met "bereik" wordt soms echter ook het codomein bedoeld.

Merk op dat het beeld van het definitiegebied (en van het domein) de beeldverzameling van   is en dat het origineel van de beeldverzameling (en van het codomein) het definitiegebied van   is.

NotatieBewerken

Voor iedere afbeelding   geldt het volgende:

  • Het domein van   wordt genoteerd als  .
  • Het codomein van   wordt genoteerd als  .
  • Als   een argument van   is, wordt het beeld van   onder   genoteerd als   of  .
  • Als   dan wordt het beeld van   onder   genoteerd als   of   .
  • Als  , wordt het origineel van   onder   genoteerd als   of  .
  • Als  , wordt voor het origineel van   onder   vaak de notatie   gebruikt, als afkorting van  , maar daarmee kan, in het geval van injectieve afbeeldingen, ook het inverse beeld van   onder   bedoeld worden.
  • De uitspraak "  is een afbeelding van   naar  " wordt genoteerd als  . Dit betekent dat   het domein van   is en   het codomein van  .
  • De uitspraak "  beeldt   af op  " wordt genoteerd als  . Als   een ongebonden variabele is, betekent dit dat
 ,

waarbij   de grafiek van   is en   het resultaat is van uniforme substitutie van   door   in  . Deze notatie wordt vaak gebruikt om de grafiek van een afbeelding te definiëren.  betekent bijvoorbeeld dat

 

de grafiek van   is. Hierbij wordt impliciet gelaten dat het in dit geval dus gaat om de kleinste grafiek van   zodanig dat  .

  • In plaats van "  en  " wordt soms " " geschreven.

VoorbeeldBewerken

Ieder mens heeft een moeder. Aan elk mens kan zijn of haar moeder toegevoegd worden. Zo ontstaat een afbeelding,  , die aan een mens zijn of haar moeder toevoegt. Dit wordt genoteerd als;

 ,

waarin   alle mensen bevat en   alle vrouwen. Met   wordt 'de moeder van h' aangeduid, Zo is bijvoorbeeld  ,   en  ,  ,  ,  . Een 'grafiek' van deze afbeelding is:

V ...
Juliana X X X X
Beatrix
Irene
Margriet
Christina
Helena X
Maria X
...
... Jezus Alexander Beatrix Irene Margriet Christina ...
H

Met een X zijn de toevoegingen aangegeven. Daaruit ziet men dat de afbeelding eigenlijk bepaald wordt door alle koppels   voor  . Die koppels die de afbeelding betreffen, zijn een deel van alle koppels, d.w.z. van het cartesisch product   van   en  . Zo'n deelverzameling wordt in de wiskunde een relatie (tussen   en   genoemd. Bij de afbeelding "moeder van" is er bij een mens   altijd maar één vrouw in   die toegevoegd wordt aan  . Die eigenschap geldt voor elke afbeelding. Een afbeelding is dus een speciale relatie. Een afbeelding kan zo formeel gedefinieerd worden in bekende termen uit de verzamelingenleer, zonder dat gebruikgemaakt wordt van termen als "voorschrift" en "toevoegen", die in de wiskunde (nog) geen betekenis hebben.

Meerplaatsige afbeeldingenBewerken

Een meerplaatsige afbeelding is, informeel gesproken, een afbeelding die meer dan één argument nodig heeft om zijn resultaat te bepalen. Een tweeplaatsige afbeelding neemt twee argumenten, een drieplaatsige afbeelding neemt er drie, enzovoort. Een nulplaatsige afbeelding is een constante. De afbeelding   is bijvoorbeeld drieplaatsig.

Er is geen wezenlijk verschil tussen een eenplaatsige en een meerplaatsige afbeelding, want meerdere argumenten kunnen als tupel worden samengevoegd tot één argument. Wat dan overblijft is een onderscheid in notatie: met twee argumenten, zoals  , of met één argument,   met  , of  . De notaties   en   kunnen, zolang dit geen verwarring geeft, ook door elkaar gebruikt worden, zodat de langere notatie   niet nodig is.

Als het domein een cartesisch product   is, dan worden   en   ook wel de domeinen van   genoemd. De overige terminologie past zich hierop aan. Men kan bijvoorbeeld zeggen dat   een tweeplaatsige afbeelding over   en   is.

Eigenschappen van afbeeldingenBewerken

Beschouw een willekeurige afbeelding  .

  •   is volledig desda   op alle elementen in het domein gedefinieerd is. Dat wil zeggen dat er voor alle   een   is zodanig dat  . Het definitiegebied van een volledige afbeelding is gelijk aan zijn domein:  . Als   niet volledig is, dan heet   een partiële afbeelding. Soms wordt "partiële afbeelding" ook zo gedefinieerd dat alle afbeeldingen partieel genoemd kunnen worden en een volledige afbeelding een speciaal geval van een partiële afbeelding is.
  •   is surjectief desda alle elementen uit het codomein een beeld zijn van een element in het domein. Dat wil zeggen dat er voor alle   een   is zodanig dat  . Het bereik van een surjectieve afbeelding is gelijk aan zijn codomein:  .
  •   is injectief desda geen twee verschillende elementen uit het domein hetzelfde beeld hebben. Dat wil zeggen dat voor alle   en   geldt: als   en   dan is  . De combinatie van injectiviteit en functionaliteit wordt ook wel eeneenduidigheid genoemd. Omdat afbeeldingen per definitie functioneel zijn, zijn alle injectieve afbeeldingen eeneenduidig. Een injectieve afbeelding wordt soms een een-op-eenafbeelding genoemd.
  •   is bijectief desda   volledig, surjectief en injectief is. Een bijectieve afbeelding wordt soms een een-op-een-correspondentie genoemd.

Als er op zowel   als   een topologie gedefinieerd is, dan is ook de volgende eigenschap van   gedefinieerd:

  •   is continu desda het origineel van elke open deelverzameling van het codomein een open deelverzameling van het domein is. Dat wil zeggen dat voor elke   geldt: als   open is in  , is   open in  .

Deze eigenschappen zijn ook op meerplaatsige afbeeldingen gedefinieerd, waarbij met "domein" het volledige cartesische product bedoeld wordt. Een drieplaatsige afbeelding   is bijvoorbeeld volledig desda er voor alle   een   is zodanig dat  .

Operaties op afbeeldingenBewerken

Restrictie en extensieBewerken

  Zie ook: Restrictie

Gegeven een willekeurige afbeelding   en een deelverzameling van het domein   is

 
 

de restrictie van   tot  .[2] Informeel gesproken is de restrictie van een afbeelding het resultaat van het inperken van zijn domein.

Als   een restrictie van   is, dan heet   een extensie van  .

Compositie of samenstellingBewerken

  Zie ook: Functie-compositie

Gegeven twee willekeurige afbeeldingen   en   is

 
 

de compositie of samenstelling van   en  .[3] Informeel betekent   dat   het resultaat is als eerst   op   wordt toegepast, en op het resultaat daarvan   wordt toegepast.

Voor alle afbeeldingen  ,   en   geldt dat

(associativiteit)  .

Daarom wordt voor deze samenstelling meestal simpelweg   geschreven.

InverseBewerken

  Zie ook: Inverse

Als   een injectieve afbeelding is, en  , dan is de afbeelding

 

de inverse van  . Als  , is  .

Als   een volledige afbeelding is, kan, ter definitie, ook geschreven worden dat   de inverse van   is, als voor alle   en   geldt:

  desda  [4]

De inverse van   beeldt ieder element uit de beeldverzameling van   af op het element (uit het definitiegebied van  ) waarvan het een beeld is. Met andere woorden, als     afbeeldt op  , dan beeldt     af op  .

Als  , dan wordt   het inverse beeld van   genoemd. Soms wordt hier ook op ambigue wijze van "het origineel van  " gesproken, wat daarmee dan zowel de betekenis   als   heeft.

Wanneer enkel volledige afbeeldingen beschouwd worden, moet een afbeelding bijectief zijn om een (volledige) inverse te hebben.

Laat   een injectieve afbeelding zijn.

  • Het definitiegebied van   is de beeldverzameling van  .
  • De beeldverzameling van   is het definitiegebied van  .
  • Als   volledig is, dan is   surjectief.
  • Als   surjectief is, dan is   volledig.
  • De inverse   is injectief (omdat   functioneel is).
  • Als   bijectief is, dan is   ook bijectief.
  •  .

Identieke afbeeldingBewerken

  Zie ook: Identieke afbeelding

Op iedere verzameling is een afbeelding te definiëren die elk element op zichzelf afbeeldt. Deze afbeelding heet de identieke afbeelding van die verzameling. De formele definitie luidt:

Voor een willekeurige verzameling   is de afbeelding

  met  

de identieke afbeelding van  .

Elke identieke afbeelding is bijectief.

Voor iedere injectieve afbeelding   geldt:

  • als   volledig is, is  ;
  • als   surjectief is, is  .

OperatieBewerken

In sommige contexten wordt een afbeelding een operatie genoemd. Een operatie is dus hetzelfde als een afbeelding. Meestal —  maar niet altijd —  impliceert het gebruik van het woord "operatie" echter dat het domein en het codomein dezelfde verzamelingen zijn of, in het geval van  -plaatsige operaties, dat het domein een  -dimensionaal cartesisch product van het codomein is. Optellen en vermenigvuldigen van reële getallen zijn voorbeelden van operaties:  

Het symbool waarmee een operatie aangeduid wordt, heet de operator en de argumenten van een operatie worden operanden genoemd. Bij tweeplaatsige operaties wordt de operator gewoonlijk tussen de operanden in geschreven. Dit heet infixnotatie. Met name bij tweeplaatsige operaties heeft de term "operatie" ook een algebraïsche connotatie. Men spreekt bijvoorbeeld van associatieve en commutatieve operaties of definieert op algebraïsche wijze equivalentie tussen uitdrukkingen met bepaalde operaties erin.

Optelling is een voorbeeld van een operatie op getallen. Deze operatie wordt doorgaans als tweeplaatsige operatie gedefinieerd en de gebruikelijke operator + wordt normaal gesproken dan ook tussen de operanden in geschreven.

In dit artikel staan ook enkele voorbeelden beschreven van operaties op afbeeldingen. Zo is compositie een tweeplaatsige operatie op afbeeldingen, met ∘ als operator. Het bepalen van de inverse van een afbeelding is een eenplaatsige operatie op afbeeldingen en het symbool   kan opgevat worden als een operator die in suffixnotatie geschreven wordt.

Volledige afbeeldingBewerken

Het komt veel voor dat alleen volledige afbeeldingen beschouwd worden en het wenselijk geacht wordt dat afbeelding als zodanig gedefinieerd wordt. Vaak wordt dan een extra voorwaarde aan de definitie toegevoegd, wat de volgende definitie oplevert.

Voor willekeurige verzamelingen A en B is α = (G, A, B) een afbeelding desda:

  1. G ⊆ A × B
  2. (functionaliteit) Voor alle a ∈ A en b1b2 ∈ B geldt: als (a, b1) ∈ G en (a, b2) ∈ G dan b1 = b2
  3. (volledigheid) Voor alle a ∈ A is er een b ∈ B zodanig dat (a, b) ∈ G.

Een ander gangbaar alternatief is de volgende definitie.

Voor een willekeurige verzameling B is α = (G, B) een afbeelding desda:

  1. G is een willekeurige verzameling geordende paren, waarbij voor alle (a, b) ∈ G geldt dat b ∈ B
  2. (functionaliteit) Voor alle (a1, b1) ∈ G en (a2, b2) ∈ G geldt: als a1 = a2 dan b1 = b2.

Onder deze definitie is het vervolgens gebruikelijk om het domein te definiëren als de verzameling van alle punten waarop de afbeelding gedefinieerd is: dom α = { a |  er is een b ∈ B zodanig dat (a, b) ∈ G }. Daarmee is de afbeelding per definitie op alle elementen uit het domein gedefinieerd en dus volledig. "Definitiegebied" en "domein" zijn in deze lezing synoniem. Wanneer het domein aldus gedefinieerd wordt, moet expliciet genoemd worden of uit de context blijken uit welke verzameling de linker leden van de paren in G komen.

Onder beide definities is het niet mogelijk om van een partiële afbeelding te spreken, aangezien afbeeldingen per definitie volledig zijn. Meestal wordt dit opgelost door partiële afbeelding apart te definiëren, op ongeveer dezelfde wijze als afbeelding in dit artikel gedefinieerd is. In dat geval is een afbeelding dus een specifiek geval van een partiële afbeelding, in plaats van andersom, en is het zinnig om van een volledige partiële afbeelding te spreken. Partiële afbeelding kan ook in engere zin gedefinieerd worden, zodanig dat partiële afbeeldingen per definitie niet volledig zijn en de begrippen (volledige) afbeelding en partiële afbeelding dus disjunct zijn. In dat geval is er echter geen intuïtieve overkoepelende term die zowel partiële als volledige afbeeldingen omvat.[5]

De overige begrippen en notaties worden onder deze definities, mutatis mutandis, op dezelfde manier gedefinieerd als eerder in dit artikel. Ook kan de volgorde van de leden van het tupel in de laatste definitie, net als het 3-tupel bij de eerdere definities, afwijken. Soms wordt de afbeelding als het tupel (B, G) gedefinieerd, in plaats van als het tupel (G, B).

Een andere in de literatuur gebruikte manier om het onderwerp te beperken tot volledige afbeeldingen, is door een zin toe te voegen als:

Met "afbeelding" zal een volledige afbeelding bedoeld worden, tenzij uit de context anders blijkt.

Afbeeldingen kunnen dan in algemene, brede zin gedefinieerd worden, terwijl ze toch impliciet volledig zullen zijn. Desgewenst kan op deze manier over partiële afbeeldingen gesproken worden, door ze expliciet zo te noemen. Bovendien is een partiële afbeelding in dit geval een specifiek geval van een afbeelding, in plaats van andersom.

Afbeelding versus functieBewerken

Gewoonlijk onderscheidt de afbeelding zich van de functie doordat de afbeelding een fundamenteler (en jonger) begrip is. Functies zijn in deze lezing een speciaal soort afbeeldingen, namelijk afbeeldingen die getallen opleveren of, preciezer geformuleerd, afbeeldingen waarvan het codomein een lichaam (ook wel veld) is.

Vaak worden "functie" en "afbeelding" echter ook als synoniemen gebruikt. Meestal worden beide dan in verzamelingtheoretische termen gedefinieerd, min of meer gelijk aan de definitie in dit artikel.

Het komt ook voor dat "functie" en "afbeelding" niet synoniem zijn, maar dat de functie gedefinieerd wordt zoals de afbeelding in dit artikel en dat met "afbeelding" een specifiek soort functie bedoeld wordt. In deze lezing kan met "afbeelding" onder andere volledige functie, volledige en injectieve functie, lineaire functie of continue functie bedoeld worden. Dit gebruik van de woorden "functie" en "afbeelding" is vooral in de Angelsaksische literatuur gebruikelijk.

Zie ookBewerken