Reëelwaardige functie

In de wiskunde is een reëelwaardige functie een functie waarvan de functiewaarden reële getallen zijn. Dat wil zeggen dat aan elk element van het domein van de functie een reëel getal (een element uit de verzameling der reële getallen) is gekoppeld (toegevoegd).[1]

Functie als geordend paar
met

Of anders gezegd: een reëelwaardige functie is een verzameling geordende paren , waarbij een reëel getal is.

Reëelwaardige functies komen in bijna alle gebieden van de wiskunde voor, in het bijzonder in de analyse, kansrekening en optimalisatie.

Opmerking. In dit verband wordt ook het begrip reële functie gebruikt. Deze benaming staat dan voor een functie waarvan het domein eveneens de verzameling van de reële getallen is, of een deelverzameling daarvan.[2]

Formele definitiesBewerken

Reëelwaardige functieBewerken

Een reëelwaardige functie is een functie

 

waarbij  . De verzameling   (het domein) is daarbij een willekeurige verzameling.

Reële functieBewerken

Een reële functie is een functie

 

waarbij   en  .

Uit deze definitie blijkt dus dat een reële functie een reëelwaardige functie is.

Opmerking. Omdat (onder meer) lineaire, kwadratische, goniometrische, rationale, exponentiële en logaritmische functies in het algemeen de verzameling  , of een deelverzameling daarvan, als bereik hebben, behoren ook die functies tot de reëelwaardige functies.

Speciale namenBewerken

Bij een reëelwaardige functie worden aan de structuur van het domein dus geen bijzondere eisen gesteld. Wordt de structuur van het domein wél vastgelegd, dan krijgt de functie vaak een daaraan aangepaste naam.
Is   een reëelwaardige functie met domein  , dan is  :

  • een reële functie van een reële variabele als  ;
  • een functie van meerdere reële variabelen als  , voor  ;
  • een functie van een complexe variabele als  ;
  • een functie van meerdere complexe variabelen als  , voor  ;
  • een functionaal als   een (deelverzameling van een) vectorruimte is.

VoorbeeldenBewerken

  • De functie   is een reële functie van een reële variabele.
  • De funcie   is eveneens een reële functie van een reële variabele.
  • De functie   is een reëelwaardige functie van twee reële variabelen. Hierbij zijn   (impliciet) element van  . Soms wordt in een dergelijk geval ook gesproken van een reële functie.
  • De functie   die het complex getal   afbeeldt op het imaginaire deel ( ) van  , is een reëelwaardige functie van een complexe variabele.
  • Is   de vectorruimte van de symmetrische reële  -matrices, dan is de functie   een functionaal (of ook: een reëelwaardige functie op  ).
  • De nulfunctie   voor iedere   is een reëelwaardige (constante) functie. Met   wordt ook wel gesproken van reële nulfunctie.
 
2D-grafiek

Grafische voorstellingBewerken

 
3D-grafiek:
  met   c.q.
  met  

Een reële functie   van één reële variabele kan met een grafiek worden gevisualiseerd door de paren   als punten in een tweedimensionaal coördinatenstelsel te plaatsen.

Om een reële functie   van twee reële variabelen grafisch voor te stellen worden de punten   met   in een driedimensionaal coördinatenstelsel geplaatst.

De representatie van de functie is dan een kromme (2-dimensionaal) of een oppervlak (3-dimensionaal). Bij functies van twee reële variabelen wordt soms gebruik gemaakt van kleurschakeringen om de functiewaarden te accentueren.

Reëelwaardige functies van een complexe variabele kunnen op dezelfde manier worden behandeld als reëelwaardige functies van twee reële variabelen. Daarbij worden het reële deel en het imaginaire deel van het complexe getal bij het tekenen (‘plotten’) als eerste en tweede argument van de functie opgevat; dus  .

EigenschappenBewerken

Algebraïsche eigenschappenBewerken

De verzameling   van alle reëelwaardige functies gedefinieerd op een verzameling   (het domein van  ) vormt een reële vectorruimte; notatie:   of  . Binnen   wordt de ‘optelling’ van twee elementen (twee reëelwaardige functies)   voor alle   gedefinieerd als:

 

en de ‘scalaire vermenigvuldiging’ voor alle   en alle   door:

 

Hiermee is   een zogeheten functieruimte. Deze ruimtes spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra en de analyse. De hierboven gedefinieerde optelling van functies samen met de ‘vermenigvuldiging’ van   voor alle   gedefinieerd door:

 

maken   tot een commutatieve ring. Wordt   voorzien van de drie hierboven gedefinieerde bewerkingen, dan spreekt men van een reële algebra (een vectorruimte over  ).

Analytische eigenschappenBewerken

Zie daarvoor onder meer:

GeneralisatiesBewerken

Generalisaties van de reëelwaardige functies zijn (bijvoorbeeld) de functies waarvan de beeldruimte een vectorruimte is (vectorwaardige functies), zoals een functie met beeldruimte  .
Een functie   met   noemt men een reële functie van n veranderlijken.

Nóg algemener zijn de functies die een vectorruimte op c.q. in een vectorruimte afbeelden; bijvoorbeeld  .[3]

Functies die complexe functiewaarden aannemen, worden wel complexwaardige functies genoemd. Een complexe functie is een complexwaardige functie waarvan het domein de verzameling van de complexe getallen is, of een deelverzameling daarvan; formeel:

 

waarbij  .

LiteratuurBewerken

  • E. Coplakova, B. Edixhoven, L. Taelman, M. Veraar (2011): Wiskundige structuren. Delft: TU Delft, OpenCourseWare; PDF-bestand.
  • J. Hulshof (2016): Basisboek Analyse. Via de website van BON; PDF-bestand.
  • T.H. Koornwinder (1995): Syllabus Analyse B1. Amsterdam: Faculteit Wiskunde en Informatica, UvA; PDF- bestand.

ReferentiesBewerken


  1. C. Stover, E.W. Weisstein: (en) Function. From MathWorld -- A Wolfram Web Resource.
  2. L.D. Kudryavtsev (2011): (en) The Real Function. In: Encyclopedia of Mathematics. Helsinki: European Mathematical Society.
  3. S. Caenepeel (2017): Syllabus Analyse I. Brussel: Vrije Universiteit Brussel; PDF-bestand, pp. 9-17.