Functiecompositie

In de wiskunde is functiecompositie, of samenstelling, de constructie van een nieuwe functie uit twee of meer functies, door het na elkaar uitvoeren daarvan. Een tweede of volgende functie wordt toegepast op het resultaat van de voorgaande functie. Het resultaat van de samenstelling van de functies en noemt men een samengestelde functie. genoteerd als . Er geldt:

Compositie van de functies en ; bijvoorbeeld.

In de nevenstaande figuur is dit in beeld gebracht. Daarin ziet men bijvoorbeeld dat de functie aan het origineel het beeld toevoegt. De functie beeldt het origineel 1 af op @. De samenstelling voegt dus aan het origineel het symbool @ toe:

@.

Formele definitieBewerken

De samenstelling van de twee functies   en  , genoteerd als  , is voor   gedefinieerd door:

 .

De notatie   laat zich lezen als "  gevolgd door  " maar ook als "  na  ". Merk op dat men soms   schrijft voor  .

EigenschappenBewerken

AssociativiteitBewerken

Functiecompositie is associatief, dat wil zeggen dat voor de functies   en   geldt dat:

 ,

aangezien

 

en

 

CommutativiteitBewerken

De volgorde van de functies is uiteraard van belang, zodat functiecompositie in het algemeen niet commutatief is. Voor de functies   en   met

  en  

geldt bijvoorbeeld:

 

en

 

Identieke afbeeldingenBewerken

De identieke afbeelding gedraagt zich bij functiecompositie neutraal, voor een functie   geldt dat

 ,

waar   en   de respectievelijke identiteiten op de verzamelingen   en   zijn.

Injectiviteit, surjectiviteit, bijectiviteitBewerken

Belangrijke kenmerken die een functie   bezitten kan, zijn

  • Injectiviteit (  beeldt niet meer dan één element uit   af op een bepaald element uit  ),
  • Surjectiviteit (  beeldt ten minste één element uit   af op een bepaald element uit  ),
  • Bijectiviteit (  beeldt precies één element van   af op een bepaald element uit  ).

Elk van deze eigenschappen is ook van toepassing op de samengestelde functie, daarom geldt dat:

  • de functiecompositie van injectieve functies is injectief.
  • de functiecompositie van surjectieve functies is surjectief.
  • de functiecompositie van bijectieve functies is bijectief.

Omgekeerd geldt: als een functiecompositie  

  • injectief is, dan is   injectief.
  • surjectief is, dan is   surjectief,
  • bijectief is, dan is   injectief en   surjectief.

Zie ookBewerken