Functiecompositie

In de wiskunde is functiecompositie, of samenstelling, de constructie van een nieuwe functie uit twee of meer functies, door het na elkaar uitvoeren daarvan. Een tweede of volgende functie wordt toegepast op het resultaat, op het beeld van de voorgaande functie. Het resultaat van de samenstelling van de functies en noemt men een samengestelde functie, genoteerd als , dus:

Functiecompositie van de functies en , bijvoorbeeld is

Dit is in de figuur in beeld gebracht. Daarin is te zien dat de functie bijvoorbeeld aan het origineel 3 het beeld toevoegt. beeldt 1 af op 2. Dat geeft samen dat 2 het beeld van 3 onder de samenstelling is:

Definitie bewerken

De samenstelling van de twee functies   en  , genoteerd als  , is voor   gedefinieerd door:

 .

De notatie   laat zich lezen als   gevolgd door  , maar ook als   na  . Merk op dat men soms   schrijft voor  .

Eigenschappen bewerken

Associativiteit bewerken

De functiecompositie is associatief, dat wil zeggen dat voor de functies   en   geldt dat:

 ,

aangezien

 

en

 

Commutativiteit bewerken

De volgorde van de functies is uiteraard van belang, zodat functiecompositie in het algemeen niet commutatief is. Voor de functies   en   met

  en  

geldt bijvoorbeeld:

 

en

 

Identieke afbeeldingen bewerken

De identieke afbeelding gedraagt zich bij functiecompositie neutraal, voor een functie   geldt dat

 ,

waar   en   de identieke afbeeldingen zijn op de verzamelingen   en  .

Relaties bewerken

De functiecompositie definieert een samengestelde relatie. Belangrijke kenmerken die een functie   bezitten kan, zijn

  • injectiviteit  beeldt niet meer dan een element uit   op een bepaald element uit   af.
  • surjectiviteit  beeldt ten minste een element uit   op een bepaald element uit   af.
  • bijectiviteit  beeldt precies een element van   op een bepaald element uit   af.

Ieder van deze eigenschappen is ook van toepassing op de samengestelde functie, daarom is:

  • de functiecompositie van injectieve functies weer injectief,
  • de functiecompositie van surjectieve functies weer surjectief en
  • de functiecompositie van bijectieve functies is weer bijectief.

Omgekeerd geldt: als een functiecompositie  

  • injectief is, dan is   injectief.
  • surjectief is, dan is   surjectief,
  • bijectief is, dan is   injectief en   surjectief.

Voorbeelden bewerken

  • Het is duidelijk hoe de samenstelling   van twee polynomen   en   moet worden uitgerekend, maar het is ingewikkelder gegeven een polynoom   te berekenen dat   als de samenstelling van andere polynomen kan worden geschreven.[1]