Hoofdmenu openen
Een bijectie tussen verzamelingen en Y.

In de wiskunde is een bijectie of bijectieve afbeelding een afbeelding die zowel injectief als surjectief is, en dus alle elementen van twee verzamelingen in een-op-eencorrespondentie aan elkaar koppelt. Bijectief wil dus zeggen (zie plaatje rechts) dat elk element uit de verzameling gekoppeld is aan precies één element uit de verzameling en dat omgekeerd ook elk element van de verzameling gekoppeld is aan precies één element uit de verzameling .

Een bijectie van de verzameling op de verzameling heeft een inverse functie van naar . Als en eindige verzamelingen zijn, betekent het bestaan van een bijectie dat beide verzameling hetzelfde aantal elementen hebben. Voor oneindige verzamelingen is het ingewikkelder; het leidt tot het concept van een kardinaalgetal, een manier om te onderscheiden tussen de verschillende grootten van oneindige verzamelingen.

Een bijectieve functie van een verzameling op zichzelf wordt wel een permutatie genoemd.

Bijectieve functies zijn essentieel voor veel deelgebieden binnen de wiskunde, waaronder de definities van isomorfisme, homeomorfisme, diffeomorfisme en permutatiegroep.

De term 'bijectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

DefinitieBewerken

Een bijectie tussen twee verzamelingen   en   (niet noodzakelijk verschillend), is een functie of afbeelding:

 

die injectief is, dus verschillende elementen uit   afbeeldt op verschillende elementen uit   en ook surjectief is, dus alle elementen in   aan een element van   koppelt, dus waarvoor geldt:

  • uit   volgt  
  • voor alle   is er een   met  

GelijkmachtigheidBewerken

In de verzamelingenleer worden twee verzamelingen gelijkmachtig of equipotent genoemd als er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat. Zo worden de verzamelingen   en   gelijkmachtig genoemd, omdat de afbeelding   met  , bijectief is.

Voor eindige verzamelingen is het begrip gelijkmachtig dus precies hetzelfde als "evenveel elementen". Voor oneindige verzamelingen echter wordt het begrip "evenveel elementen" vaag, maar gelijkmachtig of equipotent niet. Cantor was de eerste die verzamelingen op deze manier met elkaar vergeleek.

Zo zijn de verzameling van de natuurlijke getallen en de verzameling van de gehele getallen gelijkmachtig want het is mogelijk een bijectie tussen beiden te vinden. Neem de volgende afbeelding van   naar  :

  • 0 wordt op 0 afgebeeld
  • een even natuurlijk getal wordt op zijn helft afgebeeld: bijvoorbeeld: 4 wordt afgebeeld op 2
  • bij een oneven natuurlijk getal wordt eerst 1 opgeteld, en wordt dit resultaat gedeeld door -2: bijvoorbeeld: 5 wordt afgebeeld op -3

Meer algemeen:

 

Dit is een bijectie want elk natuurlijk getal heeft een eenduidig beeld, en elk geheel getal wordt precies één keer bereikt. Ook de verzameling van rationale getallen   is gelijkmachtig met deze twee. De verzameling van reële getallen   is echter niet gelijkmachtig met de drie vorige, maar dan wel met   voor elke gehele waarde van n groter dan 0.

Voorbeelden en tegenvoorbeeldenBewerken

Voorbeeld 1Bewerken

 
 , met  

De functie   is een bijectie: 1 wordt aan -7 gekoppeld, 2 aan 3 en 3 aan 10. Geen enkel element uit B blijft over, en geen enkel element uit   wordt aan 2 elementen uit   gekoppeld.

Voorbeeld 2Bewerken

 
 , met  

Ook deze functie   is een bijectie. Zo wordt bijvoorbeeld 2,5 aan 3 gekoppeld, 2,9 aan 3,8, en 3 aan 4. Een andere bijectieve afbeelding tussen deze verzamelingen   en   is:

 

Tegenvoorbeeld 1Bewerken

 
 , met  

Dit is geen bijectie, enerzijds omdat -7 niet gekoppeld wordt en dus is ze niet surjectief, en anderzijds omdat 3 aan zowel 1 als 2 gekoppeld wordt, is ze niet injectief. Een bijectie is zowel injectief als surjectief, hieruit volgt dat   niet bijectief is.

Tegenvoorbeeld 2Bewerken

 
 , met  

Dit is geen bijectie. Het is wel zo dat elk element van   gekoppeld wordt aan een element van  , maar sommige elementen van   worden aan twee verschillende elementen van   gekoppeld. Zo is bijvoorbeeld  .

Tegenvoorbeeld 3Bewerken

 
 , met  

Dit is geen bijectie, want   is niet surjectief omdat niet alle elementen uit   worden gekoppeld aan een element uit  . Het element 0 in   bijvoorbeeld is van geen enkel element uit   het beeld. De functie   is wel injectief, want geen twee elementen uit   worden gekoppeld aan hetzelfde element van  .

Zie ookBewerken

VoetnotenBewerken