Hoofdmenu openen

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een lebesgue-maat, vernoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue, de standaardmanier om een lengte, een oppervlakte of een volume, in het algemeen een maat, aan deelverzamelingen van de euclidische ruimte toe te kennen, overeenkomstig het gewone gebruik van deze termen. Een interval heeft dus z'n gewone lengte als lengte, een rechthoek heeft als oppervlakte lengte maal breedte en een balk (blok) heeft als volume lengte maal breedte maal hoogte. Ook in hogere dimensies is de lebesgue-maat van het analogon van een rechthoek of balk, de hyperrechthoek, het product van de lengten van de ribben. De lebesgue-maat is door deze eigenschap eenduidig bepaald. Het begrip wordt door de gehele reële analyse gebruikt, in het bijzonder om de lebesgue-integratie te definiëren. Verzamelingen waaraan een maat kan worden toegekend, worden lebesgue-meetbaar genoemd; het volume of de maat van een lebesgue-meetbare verzameling wordt aangegeven door . Een lebesgue-maat kan zijn, en ook zijn er onder de veronderstelling van het keuzeaxioma niet-meetbare verzamelingen, waaronder deelverzamelingen van een reëel interval.

Het "vreemde" gedrag van niet-meetbare verzamelingen wordt geïllustreerd door de banach-tarskiparadox.

Inhoud

GeschiedenisBewerken

Henri Lebesgue beschreef de lebesgue-maat in 1901. Het jaar daarna beschreef hij de lebesgue-integraal. Beide beschrijvingen werden in 1902 als onderdeel van zijn proefschrift gepubliceerd.[1]

VoorbeeldenBewerken

  • Als   een gesloten interval  , dan is de lebesgue-maat van   de lengte  . Het open interval   heeft dezelfde maat, aangezien het verschil tussen de twee verzamelingen de maat nul heeft.
  • Als   een Cartesisch product is van de intervallen   en  , dan is   een rechthoek en is de lebesgue-maat van   gelijk aan de oppervlakte   van deze rechthoek.
  • De Cantorverzameling is een voorbeeld van een overaftelbare verzameling die lebesgue-maat nul heeft.

EigenschappenBewerken

De lebesgue-maat op   heeft de volgende eigenschappen:

  1. Als de hyperrechthoek   het cartesisch product is van de intervallen  :  , dan is   lebesgue-meetbaar en is de maat van   gelijk aan het product van de lengten van de intervallen:   Hier staat   voor de lengte van het interval  .
  2. Als   een disjuncte vereniging van eindig veel of aftelbaar veel disjuncte lebesgue-meetbare verzamelingen, dan is   zelf lebesgue-meetbaar en is   gelijk aan de som (of oneindige reeks) van de maten van de betrokken meetbare verzamelingen.
  3. Als   lebesgue-meetbaar is, dan is het complement van   dit ook.
  4.   voor elke lebesgue-meetbare verzameling  .
  5. Als   en   lebesgue-meetbaar zijn en   is een deelverzameling van  , dan is  . Dit volgt uit 2, 3 en 4.
  6. Aftelbare verenigingen en doorsneden van lebesgue-meetbare verzamelingen zijn lebesgue-meetbaar. Dit volgt niet uit 2 en 3, omdat een familie van verzamelingen die gesloten is onder complementen en disjuncte telbare verenigingen, niet gesloten hoeft te zijn onder aftelbare verenigingen, zoals te zien is aan:  .
  7. Als   een open of gesloten deelverzameling is van   (of zelfs een borel-verzameling, zie metrische ruimte), dan is   lebesgue-meetbaar.
  8. Als   een lebesgue-meetbare verzameling is, dan is   "bij benadering open" en "bij benadering gesloten" in de zin van een lebesgue-maat (zie de regelmatigheidssteling voor de lebesgue-maat).
  9. Een lebesgue-maat is zowel een lokaal eindige als een inwendig regelmatige maat, en is dus een Radon-maat.
  10. Een lebesgue-maat is strikt positief op een niet-lege open verzameling, en daarom is de drager het geheel van  .
  11. Als   een lebesgue-meetbare verzameling is met   (een nulverzameling), dan is elke deelverzameling van   ook een nulverzameling. A fortiori is elke deelverzameling van   meetbaar.
  12. Als   lebesgue-meetbaar is en   is een element van  , dan is de translatie van   over  , gedefinieerd door   ook lebesgue-meetbaar en heeft deze dezelfde maat als  .
  13. Als   lebesgue-meetbaar is en  , dan is de uitzetting van   door   gedefinieerd door   ook lebesgue-meetbaar en heeft deze de maat  .
  14. Meer in het algemeen, als   een lineaire transformatie is en   een meetbare deelverzameling van  , dan is   ook lebesgue-meetbaar en heeft de maat  .

De veertien bovenstaande punten kunnen als volgt beknopt worden samengevat:

"De lebesgue-meetbare verzamelingen vormen een σ-algebra die alle producten van intervallen bevat en waar λ de unieke volledige translatie-invariante maat is op deze σ-algebra met  ."

De lebesgue-maat heeft verder de eigenschap dat hij σ-eindig is.

NulverzamelingenBewerken

  Zie Nulverzameling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een deelverzameling van   is een nulverzameling, als zij voor elke   kan worden bedekt met aftelbaar veel producten van   intervallen, waarvan het totale volume ten hoogste gelijk is aan  . Alle aftelbare verzamelingen zijn ook nulverzamelingen.

Als een deelverzameling van   een hausdorff-dimensie heeft van minder dan   dan is deze deelverzameling een nulverzameling met betrekking tot de  -dimensionale lebesgue-maat. De hausdorff-dimensie is hier relatief ten opzichte van de Euclidische metriek van   (of enig ander metrische Lipschitz-equivalent daarvan). Aan de andere kant kan een verzameling een topologische dimensie minder dan   hebben en toch een positieve  -dimensionale lebesgue-maat hebben. Een voorbeeld hiervan is de Smith-Volterra-Cantor-verzameling die een topologische dimensie 0 heeft en tegelijkertijd ook een positieve eendimensionale lebesgue-maat.

Om te laten zien dat een gegeven verzameling   lebesgue-meetbaar is, probeert men gewoonlijk om een "mooiere" verzameling   te vinden, die alleen van   verschilt door een nulverzameling (in de zin dat het symmetrische verschil   een nulverzameling is). Vervolgens laat men zien dat   kan worden gegenereerd door gebruik te maken van aftelbare verenigingen en doorsnedes van open of gesloten verzamelingen.

Constructie van de lebesgue-maatBewerken

De moderne constructie van de lebesgue-maat, gebaseerd op de uitwendige maten, is ingevoerd door Carathéodory. De constructie gaat als volgt.

In   dimensies wordt het "volume"   van de hyperrechthoek   van de vorm

 ,

waarin   gedefinieerd als het product  

Voor enige deelverzameling   van   wordt de uitwendige maat   gedefinieerd door:

 ,

waarin het infimum genomen is over alle aftelbare collecties van hyperrechthoeken   waarvan de vereniging   overdekt.

De verzameling   is dan lebesgue-meetbaar als voor alle deelverzamelingen  

 

Deze lebesgue-meetbare verzamelingen vormen een σ-algebra en de lebesgue-maat wordt gedefinieerd door   voor enige lebesgue-meetbare verzameling  .

Volgens de stelling van Vitali bestaat er een deelverzameling van de reële getallen   die niet lebesgue-meetbaar is. Het is zelfs sterker: als   enige deelverzameling van   is met een positieve maat, dan heeft   deelverzamelingen die niet lebesgue-meetbaar zijn.

Relatie tot andere matenBewerken

De borelmaat komt op die verzamelingen, waarvoor hij is gedefinieerd, overeen met de lebesgue-maat. Er zijn echter veel meer lebesgue-meetbare verzamelingen dan er borel-meetbare verzamelingen zijn. De borelmaat is translatie-invariant, maar de borelmaat is niet volledig.

De haar-maat kan worden gedefinieerd op elke lokaal compacte topologische groep en is een veralgemening van de lebesgue-maat (  met de operatie optellen is een lokaal compacte groep).

De hausdorffmaat is een veralgemening van de lebesgue-maat, die nuttig is voor het meten van de deelverzamelingen van   van lagere dimensies dan  , zoals deelvariëteiten, bijvoorbeeld, oppervlakken of krommen in   en fractale verzamelingen.

Zie ookBewerken

VoetnotenBewerken

  1. Henri Lebesque, "Intégrale, longueur, aire", 1902, Université de Paris