Sigma-algebra

In de wiskunde is een sigma-algebra, σ-algebra of stam een collectie deelverzamelingen van een gegeven verzameling die niet alleen een algebra van verzamelingen is, maar waarvoor als extra eigenschap geldt dat ook de vereniging van aftelbare deelcollecties tot de collectie behoort (vandaar de terminologie sigma). In een σ-algebra kan daarom niet alleen, als in een algebra, met verzamelingen gerekend worden, maar is ook een soort limietbegrip mogelijk.

Een σ-algebra heeft de geschikte eigenschappen om de "gebeurtenissen" in de kansrekening of de "meetbare verzamelingen" in de maattheorie te vormen.

DefinitieBewerken

Een σ-algebra is een algebra van verzamelingen die gesloten is onder aftelbare vereniging. Uitdrukkelijk:

Een familie   van deelverzamelingen van een verzameling   is een σ-algebra van verzamelingen over   als aan de volgende eigenschappen is voldaan:

  1.  
  2.  
  3.  

De enige verstrakking ten opzichte van de definitie van een algebra van verzamelingen is dat   niet alleen voor eindige, maar ook voor aftelbaar oneindige verenigingen gesloten moet zijn.

De verzameling   wordt in dit verband universele verzameling of universum genoemd.

De elementen van   heten meetbare verzamelingen (in de kansrekening: gebeurtenissen) en het paar   een meetbare ruimte.

VoorbeeldenBewerken

De machtsverzameling   is een σ-algebra, genaamd de discrete σ-algebra.

Het tweetal   vormt een σ-algebra, genaamd de triviale of indiscrete σ-algebra.

InterpretatieBewerken

De elementen van   zijn alle mogelijke uitkomsten van waarnemingen die we ons kunnen voorstellen. De elementen van   zijn gebeurtenissen die al dan niet kunnen optreden. Een gebeurtenis   treedt op als  .

Zo kan   de verzameling zijn van alle mogelijke lengtes die mijn potlood kan hebben op 26 april 2007 om klokslag twaalf uur 's middags Centraal-Europese zomertijd. Of liever: de verzameling van alle mogelijke potloodlengtes die ik me kan voorstellen, want in werkelijkheid had mijn potlood natuurlijk maar één lengte. Laten we zeggen dat  , de niet-negatieve reële getallen. Het universum moet groot genoeg zijn om alle realistische mogelijkheden te omvatten, maar de concrete keuze zegt meer over mijn voorstellingsvermogen dan over de werkelijkheid.

Als ik mijn potlood op het genoemde tijdstip bekijk, heeft het een zekere lengte. Het universum Ω moet dus tot de algebra van gebeurtenissen behoren.

Als ik mijn potlood op het genoemde tijdstip vergelijk met een geijkt maatstokje van 10 centimeter, kan ik in principe vaststellen of het potlood ten hoogste 10 centimeter lang is. De gebeurtenis "het potlood is niet langer dan 10 centimeter" behoort dus tot de algebra van meetbare verzamelingen. En meteen ook haar complementaire gebeurtenis, "het potlood is wel langer dan 10 centimeter".

Op soortgelijke wijze kan beredeneerd worden dat de vereniging van twee gebeurtenissen weer een gebeurtenis kan zijn, en dus tot de algebra moet horen.

De belangrijkste veronderstelling die ten grondslag ligt aan het gebruik van σ-algebra's, is dus: een vereniging van een oneindige rij meetbare uitspraken wordt nog steeds als meetbaar beschouwd.

Als ik metingen combineer van verschillende grootheden, moet het universum   minstens het cartesisch product van de verschillende uitkomstenverzamelingen kunnen bevatten.

Als ik metingen doe op verschillende tijdstippen van een grootheid die in de tijd kan variëren, moet   groot genoeg zijn om alle mogelijke evoluties van de waarneembare wereld te bevatten. Met name in de studie van stochastische processen wordt   daarom vaak de padruimte genoemd (een evolutie is een tijdsafhankelijk pad in een toestandsruimte).

Meetbare afbeeldingBewerken

Bij twee gegeven meetbare ruimten   en   onderscheidt men meetbare afbeeldingen, dit zijn afbeeldingen   die de structuur van de σ-algebra's respecteren in de zin dat

 

In de categorie der meetbare ruimten vormen de meetbare afbeeldingen de morfismen.

VoortbrengingBewerken

De doorsnede van een willekeurige familie σ-algebra's op eenzelfde onderliggend universum, is opnieuw een σ-algebra.

De sigma-algebra voortgebracht door een gegeven stel deelverzamelingen van het universum, is de doorsnede van alle σ-algebra's waartoe die deelverzamelingen behoren. Anders gezegd: het is de kleinste σ-algebra waarvoor de gegeven deelverzamelingen allemaal meetbaar zijn.

VoorbeeldBewerken

De Borelstam van een topologische ruimte is de kleinste σ-algebra die alle open verzamelingen bevat.

Cartesisch product van twee sigma-algebra'sBewerken

Zijn gegeven twee meetbare ruimten   en  . Op het Cartesisch product   vormen de producten van meetbare verzamelingen

 

niet noodzakelijk een sigma-algebra. Ze brengen wel een sigma-algebra voort, en die noemen we de product-(sigma-)algebra.

De projectie-afbeeldingen zijn meetbare afbeeldingen in hogergenoemde zin.

VoorbeeldBewerken

De productstam van de Borelstam op de reële getallenas   (uitgerust met de gewone topologie) met zichzelf is de Borelstam op het reële vlak   De open cirkelschijf met middelpunt (0,0) en straal 1 vormt een voorbeeld van een meetbare verzameling in het vlak niet het product is van twee meetbare verzamelingen van de rechte. Ze kan wel worden geschreven als aftelbaar oneindige vereniging van dergelijke producten (bijvoorbeeld, een vereniging van open rechthoeken waarvan de zijden evenwijdig lopen met de assen).

Verband met kansrekening en maattheorieBewerken

Algebra's van verzamelingen kunnen in principe reeds gebruikt worden als basis voor de kansrekening. De kans op een gebeurtenis is dan een getal tussen 0 en 1 dat met een element van   geassocieerd wordt. De algemene maattheorie kan gelijkaardig starten, door toe te laten dat de maat van een verzameling groter is dan 1 of zelfs oneindig.

Een dergelijke "eindige" theorie levert echter technische moeilijkheden op als men limieten van oneindige rijen stochastische veranderlijken respectievelijk integreerbare functies wil controleren. Het "aftelbaar oneindige" meetbaarheidsbegrip dat door σ-algebra's wordt ondersteund, verhelpt dit euvel.

Zie ookBewerken