Lipschitz-continuïteit

In de wiskunde, meer bepaald in de analyse, is lipschitz-continuïteit, genoemd naar Rudolf Lipschitz, een eigenschap van functies die sterker is dan gewone continuïteit en uniforme continuïteit. Eenvoudig gezegd wordt een lipschitz-continue functie beperkt in de mate waarin de functie van waarde kan veranderen. Een lijn die twee willekeurige punten op de grafiek van zo'n functie met elkaar verbindt, kan geen steilere helling hebben dan een zekere grens, de zogenaamde lipschitz-constante van de functie.

DefinitieBewerken

Een reële functie  , gedefinieerd op een deelverzameling   van de reële getallen heet lipschitz-continu als er een getal   is, zodat voor alle   geldt:

 

Het concept van lipschitz-continuïteit kan heel algemeen worden gedefinieerd op metrische ruimten.

Een functie   van een deelverzameling   van de metrische ruimte   naar de metrische ruimte   heet lipschitz-continu als er een getal   is, zodat voor alle   geldt:

 

Het kleinste getal   waarvoor deze ongelijkheid klopt, heet de lipschitz-constante van  

Een verdere generalisatie van lipschitz-continuïteit heet hölder-continuïteit.

In de theorie van de differentiaalvergelijkingen, is lipschitz-continuïteit de centrale voorwaarde voor de stelling van Picard-Lindelöf. Lipschitz-continuïteit garandeert het bestaan en de uniciteit van de oplossing voor een beginwaardeprobleem. In de contractiestelling van Banach maakt men gebruik van een speciaal type lipschitz-continuïteit, dat contractie wordt genoemd.