Vereniging (verzamelingenleer)

begrip uit de verzamelingenleer

In de verzamelingenleer is de vereniging of unie van een collectie verzamelingen de verzameling die bestaat uit alle elementen van de samenstellende verzamelingen. Zo bestaat de vereniging van de verzamelingen en uit alle elementen die tot , of allebei behoren.

Definitie bewerken

De vereniging   van de verzamelingen   en   is de verzameling die bestaat uit alle elementen van   en van  :

 

De doorsnede en het verschil van twee verzamelingen worden op een overeenkomende manier gedefinieerd.

Voorbeeld bewerken

Zij   en   dan is  

Eigenschappen bewerken

 
en
 
 
en omgekeerd is de doorsnede distributief over de vereniging:
 
  • Veronderstel dat er een verzameling   is, waar twee andere verzamelingen   en   een deelverzameling van zijn.
  en  
Definieer het relatieve complement van een deelverzameling van   ten opzichte van   als het verschil tussen   en die deelverzameling, bijvoorbeeld  .
Dan zijn
  en  
Deze twee eigenschappen komen met de wetten van De Morgan overeen uit de wiskundige logica.
  •   waarin   een indexverzameling is.
  • Het aantal elementen in de vereniging   van een   verzamelingen   is
 

Generalisatie bewerken

Zij   een willekeurige verzameling en   een familie deelverzamelingen van   De familie   mag oneindig of zelfs overaftelbaar veel verschillende deelverzamelingen van   bevatten.

De vereniging van   is de deelverzameling van   die bestaat uit alle elementen   die tot minstens één lid van de familie   behoren.

In het bijzonder is de vereniging van een lege familie dus leeg.

De veronderstelling van het bestaan van de universumverzameling   is nodig om paradoxen te vermijden. De vereniging van een willekeurige familie verzamelingen is binnen de axiomatische verzamelingenleer niet gedefinieerd.

Zie de categorie Union (set theory) van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.