Dichtheidsstelling van Lebesgue

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, stelt de dichtsheidsstelling van Lebesgue dat voor iedere lebesgue-meetbare verzameling $A$ de 'dichtheid' van $A$ in bijna elk punt van $A$ gelijk is aan 1. Aangezien van een punt van de rand van $A$ elke omgeving gedeeltelijk in $A$ en gedeeltelijk buiten $A$ ligt, is de dichtheid van $A$ daar kleiner dan 1. De stelling betekent dus intuïtief dat de rand van $A$ kan worden verwaarloosd. De stelling is genoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue.

Definitie

Laat $\lambda$ de lebesgue-maat op de euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ en $A$ een lebesgue-meetbare deelverzameling van $\mathbb {R} ^{n}$ zijn. Definieer de 'dichtheid bij benadering' van $A$ in een $\varepsilon$-omgeving van een punt $x\in \mathbb {R} ^{n}$ als

$d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))}}$

waarin $B_{\varepsilon }$ de bol aanduidt met straal $\varepsilon$ en middelpunt $x$.

Stelling

De dichtheidsstelling van Lebesgue houdt in dat in bijna ieder punt $x$ van een lebesgue-meetbare verzameling $A$ de dichtheid van $A$:

$d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)$

bestaat en gelijk is aan 1.

Met andere woorden: voor elke lebesgue-meetbare verzameling $A$ is de dichtheid van $A$ bijna overal in $\mathbb {R} ^{n}$ gelijk aan 0 of 1. Wel is het zo dat als $\lambda (A)>0$ en $\lambda (\mathbb {R} ^{n}\setminus A)>0$, er altijd punten van $\mathbb {R} ^{n}$ zijn waarin de dichtheid van $A$ noch 0, noch 1 is.

Gegeven een vierkant in het vlak is de dichtheid van elk punt binnen dit vierkant bijvoorbeeld gelijk aan 1, op de randen is de dichtheid gelijk aan 1/2, en in de hoekpunten is de dichtheid gelijk aan 1/4. Er zijn dus punten in het vlak waar de dichtheid noch 0, noch 1 is, maar hun aantal kan worden verwaarloosd.

Literatuur

• (en) HT Croft. Three lattice-point problems of Steinhaus, 1982. in Quarterly Journal of Mathematics, 33, 1, blz 71-83