Hoofdmenu openen

Een aftelbare verzameling is in de wiskunde een verzameling waarvan de elementen afgeteld kunnen worden. Dat houdt in dat de elementen op een rij gezet kunnen worden met een eerste element, een tweede element, enzovoort, waarbij alle elementen aan de beurt komen. De eenvoudigste aftelbare verzamelingen zijn de eindige verzamelingen.

Een aftelbare verzameling is niet noodzakelijk eindig. Zo zijn ook de gehele getallen aftelbaar. We zetten ze als volgt in een rij om geteld te worden: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, enz. Het tellen van de elementen stopt weliswaar nooit, maar elk element komt aan de beurt.

Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn, dat wil zeggen niet aftelbaar. Een verzameling is dus eindig, aftelbaar oneindig, of overaftelbaar.

DefinitieBewerken

Een verzameling   is aftelbaar oneindig als   gelijkmachtig is met  , d.w.z. als er een bijectie   bestaat.

De volgende definities zijn equivalent: Een verzameling   is aftelbaar als:

  •   eindig of aftelbaar oneindig is
  • er een surjectie   bestaat
  • er een injectie   bestaat
  • er een bijectie   bestaat, of voor zeker geheel getal   een bijectie  
  •   gelijkmachtig is met  , of voor zeker geheel getal   gelijkmachtig met  

EigenschappenBewerken

  • Als   aftelbaar is en er bestaat een surjectieve functie   tussen   en een bepaalde verzameling  , dan is ook   aftelbaar.
  • Een eindig product van aftelbare verzamelingen is aftelbaar. Dat kan als volgt ingezien worden:
Stel dat   tot en met   aftelbaar zijn, met   een natuurlijk getal. Dan zijn er   surjectieve functies   tussen de natuurlijke getallen en  . Die surjectieve functies kunnen gecombineerd worden tot één surjectieve functie:
 
Daar   aftelbaar is voor elke natuurlijke  , zal ook   aftelbaar zijn.

VoorbeeldenBewerken

  • De verzameling van de gehele getallen   is aftelbaar. Een voor de hand liggende aftelling is de volgende:
 
  • Een mogelijke aftelling van   is de volgende:
 
Eerst worden dus de paren met som 0 opgeschreven, dan die met som 1, daarna met som 2, enzovoort. Deze procedure kan uitgebreid worden naar een willekeurig eindige macht van  .
  • De verzameling van de positieve rationale getallen   is aftelbaar, want met elk positief rationaal getal correspondeert met een koppel natuurlijke getallen (teller, noemer). Door afwisselend een positief en een negatief rationaal getal te tellen, volgt ook dat de rationale getallen aftelbaar zijn.