De hausdorffmaat, genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Hausdorff, bepaalt de maat (afmeting, volume) van een deelverzameling van de -dimensionale ruimte of algemener van een metrische ruimte.

Achtergrond

bewerken

Om de  -dimensionale maat van een deelverzameling   van de   te bepalen, wordt   overdekt met een aftelbaar aantal  -dimensionale bolletjes met straal kleiner dan   en gaat men na hoe klein de totale afmeting van deze bolletjes kan worden. Het minimum van het volume van alle bolletjes gezamenlijk is:

 ,

waarin   de straal is van het  -de bolletje uit de overdekking en

 

het volume is van de eenheidsbol in   dimensies. Het infimum wordt genomen over alle mogelijke dergelijke overdekkingen.

Door de maximaal toegestane straal   van de bolletjes kleiner te nemen, krijgt men een goede benadering van de afmeting van  :

 

Voor de hausdorffmaat laat men in plaats van bolletjes alle deelverzamelingen van de   toe die klein genoeg zijn, dat wil zeggen die een diameter hebben kleiner dan  . De diameter is de grootste afstand binnen de verzameling:

 

Definitie

bewerken

De  -dimensionale hausdorffmaat   van een deelverzameling   van de   is gedefinieerd als:

 ,

waarin

 ,

en   een deelverzameling is van de   met een diameter kleiner dan  , en de   een aftelbare overdekking vormen van  .

Generalisaties

bewerken

Metrische ruimte

bewerken

De bovenstaande definitie kan eenvoudig gegeneraliseerd worden voor metrische ruimten. Daartoe vervangt men   door de afstand   van   en  .

Niet-gehele dimensies

bewerken

Men kan ook voor niet-gehele dimensie   de hausdorffmaat definiëren. De uitdrukking voor   blijft dezelfde, maar stelt niet meer het volume van de eenheidsbol voor.