Hausdorffmaat
De hausdorffmaat, genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Hausdorff, bepaalt de maat (afmeting, volume) van een deelverzameling van de -dimensionale ruimte of algemener van een metrische ruimte.
Achtergrond
bewerkenOm de -dimensionale maat van een deelverzameling van de te bepalen, wordt overdekt met een aftelbaar aantal -dimensionale bolletjes met straal kleiner dan en gaat men na hoe klein de totale afmeting van deze bolletjes kan worden. Het minimum van het volume van alle bolletjes gezamenlijk is:
- ,
waarin de straal is van het -de bolletje uit de overdekking en
het volume is van de eenheidsbol in dimensies. Het infimum wordt genomen over alle mogelijke dergelijke overdekkingen.
Door de maximaal toegestane straal van de bolletjes kleiner te nemen, krijgt men een goede benadering van de afmeting van :
Voor de hausdorffmaat laat men in plaats van bolletjes alle deelverzamelingen van de toe die klein genoeg zijn, dat wil zeggen die een diameter hebben kleiner dan . De diameter is de grootste afstand binnen de verzameling:
Definitie
bewerkenDe -dimensionale hausdorffmaat van een deelverzameling van de is gedefinieerd als:
- ,
waarin
- ,
en een deelverzameling is van de met een diameter kleiner dan , en de een aftelbare overdekking vormen van .
Generalisaties
bewerkenMetrische ruimte
bewerkenDe bovenstaande definitie kan eenvoudig gegeneraliseerd worden voor metrische ruimten. Daartoe vervangt men door de afstand van en .
Niet-gehele dimensies
bewerkenMen kan ook voor niet-gehele dimensie de hausdorffmaat definiëren. De uitdrukking voor blijft dezelfde, maar stelt niet meer het volume van de eenheidsbol voor.