Lokaal compacte ruimte

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, zegt men dat een topologische ruimte lokaal compact is als ieder punt van de topologische ruimte een omgevingenbasis heeft die uit compacte verzamelingen bestaat.

Formeler: een topologische ruimte noemt men lokaal compact als

EigenschappenBewerken

Elk lokaal compacte preregelmatige ruimte is in feite volledig regelmatig. Hieruit volgt dat elke lokale compacte hausdorff-ruimte een tychonov-ruimte is. Aangezien standaard regelmaat een meer vertrouwde conditie is dan ofwel preregelmatigheid (die meestal zwakker is) of volledige regelmatigheid (die meestal sterker is), wordt aan lokale compacte preregelmatige ruimten in de wiskundige literatuur normaal gerefereerd als lokale compacte regelmatige ruimten. Op gelijkaardige wijze wordt aan compacte tychonov-ruimten meestal gerefereeds als lokaal compacte hausdorff-ruimten.

Elk lokaal compacte hausdorff-ruimte is een baire-ruimte. Dat wil zeggen dat de conclusie van de categoriestelling van Baire van toepassing is: het inwendige van elke vereniging van aftelbaar vele nergens dichte deelverzamelingen is leeg.

Een deelruimte   van een lokaal compacte hausdorff-ruimte   is dan en slechts dan lokaal compact als   kan worden geschreven als het verzamelingtheoretische verschil van twee gesloten deelverzamelingen van  . Als een corollarium daarvan is een dichte deelruimte   van een lokaal compacte hausdorff-ruimte   dan en slechts dan lokaal compact als   een open deelverzameling van   is. Wanneer bovendien een deelruimte   van enige hausdorff-ruimte   lokaal compact is, dan moet   nog steeds het verschil van twee gesloten deelverzamelingen van   zijn, hoewel de converse in dit geval niet hoeft op te gaan.

Quotiënt-ruimten van lokaal compacte hausdorff-ruimten noemt men compact gegenereerd. Omgekeerd geldt dat elke compact gegenereerde hausdorff-ruimte een quotiënt is van enige lokaal compacte Hausdorff-ruimte.

Voor lokaal compacte ruimten betekent lokaal uniforme convergentie hetzelfde als compacte convergentie betekent voor compacte ruimten.