Overleg:Reeks (wiskunde)/archief2

De reeks-kwestie in a nutshell bewerken

Laatste bericht: 6 jaar geleden4 berichten4 personen in discussie

De rij van partiële sommen van een rij $a$ kan in formulevorm onder meer geschreven als:
$(a_{1}{+}a_{2}{+}{\cdots }{+}a_{n})_{n=1}^{\infty }$ of $a_{1},\ a_{1}{+}a_{2},\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\cdots$ of $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ of $(\sum _{i=1}^{n}a_{i})_{n=1}^{\infty }$ of $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ .$
De derde en de vijfde vorm worden wel reeksvorm of reeks genoemd. Alle vijf de vormen stellen dezelfde rij voor; er is bij 'reeks' dus géén sprake van een ander wiskundig begrip.
De reeksvorm is niet altijd korter dan een andere vorm. Voorbeeld: de verschillenrij van een rij $b$ kan geschreven als $b_{2}{-}b_{1},\ b_{3}{-}b_{2},\ b_{4}{-}b_{3},\ {\cdots }$ en in reeksvorm als $(b_{2}{-}b_{1})+(b_{3}{-}2b_{2}{+}b_{1})+(b_{4}{-}2b_{3}{+}b_{2})+{\cdots }$ .

Verwarrend is, dat dezelfde reeksvormen ook de waarde van de partieelsommenlimiet van een gegeven rij kan aanduiden.

Verder is 'reeks' lange tijd het gebruikelijke woord geweest voor wat we nu vaak een (oneindige) rij noemen. Op verschillende plaatsen wordt 'reeks' in deze betekenis nog steeds wel gebruikt. -- Hesselp (overleg) 30 sep 2016 23:25 (CEST)Reageren

Samengevat: Hesselp wil zijn zin hebben en negeert daarom alle argumenten van anderen, inclusief beveiligingen en peilingen. The Banner Overleg 30 sep 2016 23:45 (CEST)Reageren

Beveiliging en peiling zijn geen argumenten. Probleem bij standpunt van Hesselp is dat zijn standpunt van communis opinio binnen vakgebied lijkt af te wijken en dat bronnen die zijn standpunt ondersteunen daarom moeilijker te vinden zijn. Dat wil niet zeggen dat hij daarom per definitie ongelijk heeft. Ik vind jouw samenvatting geen goede samenvatting. Blue Knight 22 apr 2017 06:24 (CEST)Reageren

Omdat het overleg, mede door de wijze waarop het overleg werd gevoerd, vastzat, is uiteindelijk besloten tot het organiseren van een peiling, om de impasse te doorbreken en tot een conclusie te komen. Het is natuurlijk spijtig dat er geen unanimiteit was, anderzijds is het organiseren van een peiling in dergelijke situaties een plausibele volgende stap. Met de opmerking "Beveiliging en peiling zijn geen argumenten." ben ik het daarom niet eens; althans: als dit een pleidooi zou zijn voor het negeren van het resultaat van een zorgvuldig georganiseerde peiling, dan zou ik daar ernstig bezwaar tegen maken. Bob.v.R (overleg) 29 apr 2017 18:32 (CEST)Reageren

De reekskwestie in a nutshell - aangevuld bewerken

Laatste bericht: 7 jaar geleden2 berichten2 personen in discussie

Notaties voor een partieelsommenrij
De rij van partiële sommen van een rij $a$ kan in formulevorm genoteerd als:
$a_{1},\ a_{1}{+}a_{2},\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\cdots$ of ${\bigl (}a_{1}{+}a_{2}{+}{\cdots }{+}a_{n}{\bigl )}_{n=1}^{\infty }$ of ${\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\Bigl )}_{n=1}^{\infty }$ of $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ of $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ .$
De vierde en de vijfde vorm worden wel reeksvorm of reeks genoemd. Alle vijf de vormen stellen dezelfde rij voor; er is bij 'reeks' dus géén sprake van een ander wiskundig begrip.
De reeksvorm is niet altijd korter dan een andere vorm. Voorbeeld: de verschillenrij van een rij $b$ kan geschreven als $b_{2}{-}b_{1},\ b_{3}{-}b_{2},\ b_{4}{-}b_{3},\ {\cdots }$ en in reeksvorm als $(b_{2}{-}b_{1})+(b_{3}{-}2b_{2}{+}b_{1})+(b_{4}{-}2b_{3}{+}b_{2})+{\cdots }$ .

Notaties voor een partieelsommenlimiet
De partieelsommenlimiet van een rij $a$ (de som van rij $a$ ) kan in formulevorm genoteerd als:
$\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}a_{2}{+}{\cdots }{+}a_{n})$ of $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}$ of $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ of $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ .$
De eerste en tweede vorm heten limietvormen of limieten; de reeksvormen hebben hier een tweede betekenis.
(Ter onderscheiding schrijft men wel $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \infty$ voor de limietwaarde en $\sum _{n\geq 1}a_{n}$ voor de rij.)

Reeks als (verouderd?) synoniem voor rij
Daarnaast is 'reeks' lange tijd het gebruikelijke woord geweest voor wat we nu vaak een (oneindige) rij noemen. Op verschillende plaatsen komt 'reeks' in deze betekenis nog steeds wel voor.

Convergeren, convergent
De manier waarop de woorden convergeren en convergent gebruikt worden is wat gecompliceerd.
Een convergerende (convergente) rij heeft een limiet (een 'termenlimiet'). En een sommeerbare rij heeft een partieelsommenlimiet ('somlimiet', 'som'). Als sprake is van een convergerende (convergente) reeks gaat het echter niet om z'n termenlimiet maar om het bestaan van z'n partieelsommenlimiet (de 'som van de reeks').
De Fransman Cauchy stelde in 1821 voor om 'convergent' alleen samen met 'reeks' (série) te gebruiken, en 'convergeren / convergerend' alleen samen met 'rij' (suite), maar dit is niet algemeen nagevolgd. -- Hesselp (overleg) 3 okt 2016 10:43 (CEST)Reageren

Tja, ik dacht dat je op een gegeven moment zelf vroeg om recente bronnen... The Banner Overleg 3 okt 2016 11:31 (CEST)Reageren

Het reeksenspook in detail beschreven bewerken

Laatste bericht: 7 jaar geleden4 berichten3 personen in discussie

Voor wie wat Duits kent, en daarbij in het bestaan van spoken gelooft:
het reeksenspook staat uiterst nauwgezet beschreven in de eerste zeven (!) secties van "Reihe - Mathe für Nicht-Freaks".
(Mede voor The Banner: dit is een recente bron, 2009-2017.)
Al in de derde regel wordt zonder meer uitgegaan van het bestáán van 'der Begriff Reihe’. Niet vermeld wordt dat dit spook in 1821 onbedoeld ter wereld is gebracht door Cauchy: hij gebruikte 'série' voor een oneindige getallenrij (naast 'suite' voor een rij in algemenere zin, met 'converger' voor het naar een limiet gaan), en voor het sommeerbaar zijn ervan koos hij niet 'sommable' maar .... convergente . (Hoe bedénk je het.) -- Hesselp (overleg) 20 apr 2017 12:24 (CEST) Hesselp (overleg) 20 apr 2017 12:42 (CEST)Reageren

Link werkt niet. Welk boek bedoel je dus? The Banner Overleg 22 apr 2017 06:11 (CEST)Reageren

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Reihe Blue Knight 22 apr 2017 06:18 (CEST)Reageren

BlueKnight Dank voor snelle correctie van de niet geheel correct ingevoerde link. Excuus aan wie hier problemen mee had. --Hesselp (overleg) 22 apr 2017 19:32 (CEST)Reageren

Partiële som bewerken

Laatste bericht: 5 jaar geleden3 berichten3 personen in discussie

Google geeft 402 hits bij partiële som en 282 bij partieelsom. Madyno (overleg) 3 nov 2018 17:00 (CET)Reageren

Deze Google-score lijkt me geen doorslaggevend argument om de vakterm 'partieelsommen' in het artikel driemaal te vervangen. Zulke scores worden vaak afgewezen als argument, mede omdat je niet weet hoeveel van de bedoelde betekenis afwijkende gevallen erin meegeteld zijn. In de artikeltekst gaat het steeds om de meervoudsvorm, voorafgegaan door "rij der / rij van / rij van de". In die combinaties vind Google bij mij 55 treffers voor 'partieelsommen' en 66 treffers voor 'partiële sommen' (de aantallen variëren iets in de tijd).

De zin "Een reeks heet convergent als de rij der partieelsommen convergeert naar een eindige limiet s" heeft vanaf de oerversie in 2005 tot vandaag ongewijzigd in het artikel gestaan. Als kopje van de sectie is 'Partieelsommen' een aantal jaren vervangen geweest door 'Partiële sommen' maar in 2015 weer teruggezet naar 'Partieelsommen'.

Ook al gezien het BTNI-argument is de door Madyno uitgevoerde vervanging van de vertrouwde term 'partieelsommen' ongewenst. Welke argumenten pleiten vóór die vervanging? -- Hesselp (overleg) 3 nov 2018 22:47 (CET)Reageren

Dat is nu net de vraag aan jou. The Banner Overleg 3 nov 2018 22:59 (CET)Reageren

Serieuze manco's in huidige artikeltekst bewerken

Laatste bericht: 5 jaar geleden19 berichten7 personen in discussie

Na een langere periode van bezinning op dit onderwerp, en van nog verdere bronnen-studie, wil ik opnieuw proberen om het artikel 'Reeks (wiskunde)' een samenhangende structuur te laten krijgen, gebaseerd op (intern niet-tegenstrijdige) bronnen. Na het aanwijzen van een aantal serieuze manco's in de huidige artikeltekst, geef ik in een aparte subsectie een uitvoerig bebronde beschrijving van drie betekenissen van het vakwoord 'reeks', betekenissen die in het Wikipedia-artikel mijns inziens naast elkaar, en met hun onderverdelingen, aan de orde dienen te komen.

Manco 1. Zin 1 begint met "HET wiskundig begrip", waarmee genegeerd wordt dat de term 'reeks' in wiskunde-(analyse-)teksten in zeker drie heel verschillende betekenissen gebruikt wordt.

Manco 2. Het 'reeks is een uitbreiding van de (gewone) optelling' (ook in zin 1) klopt niet. Want je kunt kunt WEL zeggen: "de optelling van de eindige rij 1, 1/2, 1/4, 1/8 geeft 15/8 als som", maar NIET "de optelling van de oneindige rij 1, 1/2, 1/4, ... geeft 2 als reeks".

Manco 3. Zin 2, beginnend met "Een reeks wordt genoteerd als ..." lijkt me hier niet op z'n plaats, want het is nogal vreemd om al over te gaan tot het vermelden van notatie-wijzen, vóórdat gezegd is om welk begrip het gaat.

Manco 4. De kern van de beginzin in de sectie 'Definitie' is "formele som". Dat is echter de aanduiding van een welgedefinieerd begrip uit de algebra, maar heeft geen beschreven betekenis binnen de analyse.

Manco 5. De beide symboolvormen aan het eind van de definitie-zin zijn in de intro genoemd als notaties voor een 'reeks'. Het gebruiken van dezelfde vormen in de definitie geeft een cirkel-definitie (dus géén definitie).

Manco 6. Bronnen bij de artikeltekst ontbreken zo goed als totaal. Met name bij het centrale "formele som" is een verwijzing naar een beschrijving van de betekenis van dat woord-koppel noodzakelijk. -- Hesselp (overleg) 26 dec 2018 18:21 (CET)Reageren

=== De verschillende betekenissen van 'reeks' in de wiskunde ===

Reeks (rij): synoniem voor getallenrij
In Nederland vaak in oudere studieboeken^[1], en in alle schoolboeken tot kort na 1960^[2]. In Frankrijk onder meer Cauchy 1821^[3]en Méray 1872^[4]; in Duitsland Gauss^[5] en Von Mangoldt 1912^[6]
Vanaf begin 20e eeuw is 'reeks' (series, série, Reihe) voor 'afbeelding op de natuurlijke getallen', geleidelijk aan grotendeels verdrongen door 'rij' (sequence, suite, Folge)^[7] ^[8], samenhangend met het gebruik van de term 'convergent' in twee betekenissen: convergeren van termen (o.a. Gauss) én convergeren van partieelsommen (o.a. Cauchy).
De oude betekenis van 'reeks' komt nog steeds wel voor: rekenkundige reeks, meetkundige reeks, reeks van Fibonacci, harmonische boventoonreeks.

Reeks (vorm): een uitdrukking (expressie, vorm) in wiskunde-symbolen, met het teken ${\textstyle \,\sum ^{\infty }\,}$ en een rij-beschrijving^[9]
Zo'n uitdrukking, naast $\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$ ook vaak $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \$ of $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,$ ,
heet reeks of reeksvorm^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21],
en kan - afhankelijk van context - een rij of een getal aanduiden^[22], te weten:

de rij van de partiële sommen van de rij ${\textstyle \,(a_{n})_{n\geq 1}}$ ^[23]^[24]^[25] (voorbeeld: ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }1/n^{2}\,}$ convergeert), of
het getal waar de partiële sommen van de rij ${\textstyle \,(a_{n})_{n\geq 1}}$ eventueel naar convergeren (voorbeeld: ${\textstyle \ \sum _{n=1}^{\infty }1/n^{2}=\pi ^{2}/6\,}$ ) .

Gangbaar taalgebruik bij reeksvormen:
- de termen van (de uitdrukking / de reeks) ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ^[26]- - - - - - - - - - - - - - de getallen $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\ldots \$

- de partiële sommen van (de uitdrukking / de reeks) ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ - - - - - - - - - de getallen $\,a_{1},\,a_{1}{+}a_{2},\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\,\ldots$

- de som van (de uitdrukking / de reeks) ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ^[27] - - - - - - - - - - - - - - - - de eventuele limietwaarde van de rij ${\textstyle \,(\sum _{i=1}^{n}a_{i})_{n\geq 1}}$

- het convergent zijn van (de uitdrukking / de reeks) ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ^[28] - - - - - - - het convergeren van de rij ${\textstyle \,(\sum _{i=1}^{n}a_{i})_{n\geq 1}}$

- het absolute convergent zijn van (de uitdrukking / de reeks) ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ - - - het convergeren van de rij ${\textstyle \,(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {|} a_{i}\mathbf {|} \,)_{n\geq 1}\,}$
('convergeren' en 'convergent zijn' worden door elkaar gebruikt, met soms voorkeur voor 'convergerende rij' en 'convergente reeks')

Reeks (twee afbeeldingen): van rij naar somrij (partieelsommenrij), en van rij naar reeksvorm.
In de combinatie: 'de reeks' + 'van' + een rij-aanduiding, dus in "de reeks van ${\textstyle \,(a_{n})_{n\geq 1}}$ " of in "de reeks van de harmonische rij " ,
verwijst het woord 'reeks' naar:

de afbeelding die aan een getallenrij de rij van partiële sommen toevoegt^[29]^[30]^[31]^[32]^[33]
(de afbeelding die aan bijvoorbeeld de rij ${\textstyle \,({\frac {1}{n}})_{n\geq 1}\,}$ de rij ${\textstyle \,(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}})_{n\geq 1}\,}$ - de rij der harmonische getallen - toevoegt),

of naar

de afbeelding die aan een getallenrij een bijbehorende reeksvorm toevoegt
(de afbeelding die aan bijvoorbeeld de rij ${\textstyle \,({\frac {1}{n}})_{n\geq 1}\,}$ de reeksvorm ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\ }$ of ${\textstyle \ 1{+}{\tfrac {1}{2}}{+}{\tfrac {1}{3}}{+}\ldots ({+}{\tfrac {1}{n}}{+}\ldots )\,}$ toevoegt).

De betekenissen van 'convergent' en 'convergeren'
De complexe situatie rond de betekenissen van de term 'reeks' valt niet los te zien van de omstandigheid dat ook de termen 'convergent' en 'convergeren' in verschillende betekenissen gebruikt zijn (worden?).
Niet algemeen bekend lijkt dat volgens Cauchy een oneindige getallenrij waarvan de partieelsommen naar een limiet gaan, convergent genoemd dient te worden (Frans origineel: "sera dite convergente"). Ook in veel latere Nederlandse wiskundeboeken is dit gebruik van 'convergent' (= 'sommeerbaar') te vinden.^[34]^[35]
Opmerkelijk is, dat Cauchy zelf het werkwoord 'convergeren' gebruikte voor een rij met een limiet. Ook Gauss heeft geschreven over hoe hij 'convergent' en 'convergeren' in verschillende situaties gebruikte.^[36]

Bronnen, noten en/of referenties

↑ Smaasen(1855), B.L.de Vries(1859), Vorsterman van Oyen(1868), Van Laar(1904), Belinfante(1925), Artikel in voorloper 'Euclides', jrg.1, pp.142-160
↑ Derksen/de Laive(1907), Van Thijn(1918), Osinga(1918), Wijdenes/De Lange(1921), Wijdenes(1921), Yntema/Drewes/Bloten(1926), H.C. Derksen(1926), Van Beek/Van Heek(1926), Van Velthoven(1935), Alders(1935), Wijdenes(1935), De Groot/De Jong(1936), Vredenduin/Van Haselen(1946, 1957), Coster/Van Dop(1950), Meurs/De Vries(1950), Jansen/Van Brink(1951), Dijkshoorn/Kiers/Kleyn(1952,1953), Stoelinga/Van Tol(1955, 1961), Wansink(1955), Coster/Van Dop/Streefkerk(1956), Alders/Hietbrink(1958), Alders(1959), Peusken/De Boer(1959), Smit(1960), Munk/Schaafsma(1960,1963), Ter Hennepe/Oostenga(1962), Vergoossen(1963). Zie hier voor de boektitels.
↑ Cours d'Analyse blz. 123: Met reeks (Frans: série) wordt bedoeld: een oneindige getallenrij (Frans: suite) waarvan de termen door een voorschrift zijn gegeven. [1]
↑ C. Méray, Nouveau précis d'analyse infinitesimale p. 19: "Une série est une suite de quantités réelles ou imaginaires en nombre illimité".
↑ C.F. Gauss (1777-1855), 'Werke', Band X Abteilung 1, blz. 400: "Ich werde unter Convergenz, einer uneinlichen Reihe schlechthin beigelegt, nichts anderes verstehen, als die beim unendlichen Fortschreiten der Reihe eintretende unendliche Annäherung ihrer Glieder an die 0."; "pages":[406,"view":"toc"}
↑ H. von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919 blz. 171: Elke afbeelding op de natuurlijke getallen heet een oneindige reeks (Duits: unendliche Reihe).
↑ H. von Mangoldt, K. Knopp, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (vanaf 6. Aufl. 1932 ingrijpend bewerkt door Konrad Knopp), 11. Aufl. 1958 blz. 198 voetnoot: Die Worte 'Folge' und 'Reihe' werden, wie im täglichen Leben so auch in der Mathematik, nicht immer streng geschieden. So spricht man statt von der Folge der natürlichen Zahlen auch häufig von der natürlichen Zahlenreihe. Es ist aber für unsere Zwecke unerlässlich, hier einen Unterschied zu machen. In den letzten Jahrzehnten hat sich in der Mathematik allgemein ['Folge' statt 'Reihe' und eine neue Bedeutung für 'Reihe'] im Sprachgebrauch durchgesetzt.
↑ S. Schwartzmann, The Words of Mathematics (1994). Pag.196: "In older usage, series sometimes meant what we would now call a sequence; for example, the Fibonacci 'series' is actually a sequence."
↑ De onder het sigma-teken staande vermelding van de index van de beginterm, hoort bij de beschrijving van de rij.
↑ H. von Mangoldt, K. Knopp, ibid. 11. Aufl. 1958 blz. 196: "Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ " .
↑ J.R. Britton, R.B. Kriegh, L.W. Rutland, Calculus and Analytic Geometry 1963, blz. 835: "An expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\ldots \,=\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ is called an infinite series" .
↑ W. Rudin, Principles of mathematical analysis 1965, blz. 51: "The symbol ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ we call an infinite series, or just a series".
↑ F. Bowman, F.A. Gerard, Higher calculus 1967, blz. 98: "An expression of the form ${\textstyle \ u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series" .
↑ Sze-Tsen Hu, Calculus 1970, blz. 614: "For any sequence ${\textstyle \,u:N\to R\,}$ , the expression ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is known as the (infinite) series with ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ as terms.
↑ The Open University, U.K., Sequences and limits II 1971, blz. 38: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ " .
↑ C. Blatter, Analysis I 1980, Kapitel 7: "Ist ${\textstyle (a_{k})}$ eine Folge von Zahlen oder Vektoren, so heisst der Ausdruck ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ eine Reihe" .
↑ D.B. Small, J.M. Hosack, Calculus - An integrated approach 1990, blz. 569: "An infinite series or just series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ or, using the summation notation, ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ ".
↑ W. Walter, Analysis 1, 5. Aufl. 1999, blz. 86: "Wir nennen das Symbol ${\textstyle \,\sum _{n=p}^{\infty }a_{n}\,}$ oder $\,a_{p}{+}a_{p+1}{+}a_{p+3}{+}\ldots \,$ eine unendliche Reihe".
↑ G.B. Thomas Jr, Calculus - Eleventh edition 2005, blz. 763: "Given the sequence of numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}}$ , an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is an infinite series ".
↑ C.H. Edwards, D.E. Penney, Calculus - Early Transcendentals, 7th edition 2008, blz. 732: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ " .
↑ C. Caenepeel, J. De Beule, I. Goyvaerts, Wiskunde: Voortgezette Analyse (Vrije Universiteit Brussel) 2017, blz. 8: "Gegeven de numerieke rij ${\textstyle \,(u_{n})}$ . Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}\ldots \,}$ of, korter, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ noemt men een numerieke reeks.
↑ B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1 1994, blz. 285: "Dit houdt in dat ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ dus twee betekenissen heeft, nl. het getal ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ en de rij ${\textstyle \,\{S_{n}\}\,}$ ".
↑ W. Rudin, ibid. 1965, blz.51: "For ${\textstyle \,\{s_{n}\}}$ we also use the symbolic expression ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ or, more concisely, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ .
↑ JHJ Almerink, H Bavinck, RW Goldbach, Analyse, 1993, pag. 514: "Uitgaand van een rij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ kan men een nieuwe rij ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ construeren [...], aangeduid met ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ " ; [2]
↑ M. Veraar, Wiskundige structuren (TU Delft) 2016, module 6.1: "Laat ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ een rij reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen [...] zullen we noteren als ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\ }$ " ; [3]
↑ B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1 1994, blz. 284: "Men noemt de getallen ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ de termen van de reeks. (N.B. Dit zijn ook de termen van de rij ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ . De termen van de rij ${\textstyle \,\{S_{n}\}\,}$ zijn echter ${\textstyle \,S_{1},S_{2},S_{3},\ldots \,}$ " .
↑ Hier dient 'som van de reeksvorm ...' gelezen als 'waarde van de reeksvorm ...', of als 'som van de in de reeksvorm ... beschreven rij'.
↑ Hier dient 'convergeren van de reeksvorm ...' gelezen als 'getalwijzend (getalaanduidend? getalbeschrijvend?) zijn van de reeksvorm ...', of als 'sommeerbaar zijn van de in de reeksvorm ... beschreven rij'.
↑ In deze betekenis wordt in plaats van 'reeks' ook 'somrij' gebruikt, steeds in de combinatie 'de somrij van de rij ...'. 'Somrij' is niet de naam voor een bepaald soort rij (want iedere rij is de somrij van z'n eigen verschilrij).
↑ S. Haschler, schule 2005-06, blz. 3 'Reihen': "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{k})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{k})\,}$ ."
↑ M. Veraar, Wiskundige structuren (TU Delft) 2016, module 6.1: "Laat ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ een rij reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen ${\textstyle \,(s_{n})_{n\geq 0}\,}$ wordt de reeks van ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ genoemd"; [4]
↑ B. Keller, Folgen und Reihen 2017 blz. 4: "Die Folge ${\textstyle (s_{n})\,}$ [...] nennen wir Reihe der Folge ${\textstyle (a_{n})\,}$ ."
↑ J. Leydold, Grundlagen 2017, blz. 34: "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."
↑ W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra, derde deel 1e druk 1931 en 3e druk 1939, blz. 100, 108: "Een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks; [...] Een reeks, waarbij ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat, heet convergent."
↑ P. Wijdenes, Nieuwe School-algebra, deel III, 2e druk 1928, blz.96 en 113 (idem deel II, 12e druk 1942, blz. 160 en 183): "Een rij van getallen, die volgens een bepaalde wet gevormd worden, heet een reeks; [...] Men zegt, dat de meetkundige reeks voor ${\textstyle |r|<1}$ convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat."
↑ C.F. Gauss (1777-1855), 'Werke', Band X Abteilung 1, blz .400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenzwerthe"; "pages":[406,"view":"toc"}

-- Hesselp (overleg) 26 dec 2018 18:21 (CET)Reageren

Commentaar bewerken

Kun je dit eindeloze onleesbaar verhaal ook vertalen in een aantal duidelijke voorstellen, compleet met recente Nederlandstalige bronnen? Want in deze versie is mijn antwoord simpelweg: nee, ik maak bezwaar. The Banner Overleg 26 dec 2018 18:31 (CET)Reageren

Zo denk ik er ook over. Madyno (overleg) 26 dec 2018 19:53 (CET)Reageren

De arbcom gaf Hessels als advies "Probeer overlegbijdragen verder kort, duidelijk en ter zake te houden." En wat doet Hesselp, die komt met een edit op deze overlegpagina van 17802 byte. Kom eerst maar eens met een nieuw voorstel want dit voorstel is onnodig complex om zo in behandeling te nemen. Kortom, in deze variant is voorstel niet acceptabel. - Robotje (overleg) 26 dec 2018 20:02 (CET)Reageren

Even wat feedback, in principe eenmalig, op persoonlijke titel, als relatieve leek op wiskundig gebied:

Hesselp verdient veel waardering voor al het bronnenonderzoek
De bezwaren hierboven vind ik onvoldoende onderbouwd en gedeeltelijk onredelijk.
- Dat oudere bronnen zijn gebruikt lijkt me redelijk omdat het hier mede gaat om een beschrijving van de historische situatie. Ik zou niet weten waarom je niet naar Gauss en Cauchy zou mogen verwijzen
- De verwijzing naar de lengte van de overlegbijdrage in bytes vind ik flauw, het overgrote deel bestaat immers uit een tekstvoorstel en brononderbouwing.
Niet alle gegeven bronnen hoeven wat mij betreft linea recta in het artikel te komen. Liever niet zelfs, overdaad schaadt. Ik zou een beperkte selectie maken, waardoor ook de leesbaarheid verbeterd.
Het tekstvoorstel van Hesselp lijkt vooral waarde te hebben als toevoeging aan het artikel, maar minder als een manier om de manco's die hij ziet direct te verhelpen.
De onvolledige zinnen Synoniem voor getallenrij. In Nederland (...) en Een uitdrukking (expressie, vorm) in wiskunde-symbolen, (...) zou ik tbv de leesbaarheid volledig maken.
De tekst vind ik moeilijk te begrijpen en enigszins verwarrend. Allerlei termen lopen na eerste lezing door elkaar: rij, getal, partiële sommen, afbeelding, uitdrukking, convergeren...
- De ambitie lijkt te zijn om het volledige taalgebruik omtrent reeksen in kaart te brengen, maar dit laat mij als lezer in verwarring achter. Als lezer ben ik niet in de eerste plaats geïnteresseerd in het juiste taalgebruik, maar in het begrijpen van de wiskunde.
- Het begrip "afbeelding" zou in ieder geval nog uitgelegd moeten worden in dit artikel.
- Is de alinea beginnend met Gangbaar taalgebruik bij reeksvormen (...) wel nodig? Indien van wezenlijk belang, zou ik de gegeven voorbeelden plaatsen in de vorm van een eenvoudige tabel.
De tekst zou voor mij begrijpelijker worden wanneer aan het begin van dit hoofdstuk voor elk van de drie betekenissen een korte definitie gegeven wordt vergezeld van 1 eenvoudig voorbeeld. Allerlei details kunnen daaronder uitgewerkt worden: varianten in terminologie, vertalingen, notaties...
Het voert voor mijn gevoel te ver om in te gaan op het taalgebruik van individuele wiskundigen (hoe Gauss en Cauchy de term "convergeren" gebruikten).

Met vriendelijke groet, Josq (overleg) 28 dec 2018 21:40 (CET)Reageren

Reactie op de feedback-punten van Josq.

Mijn beschrijving hierboven van de verschillende betekenissen van 'reeks' in de wiskunde is bedoeld als kader voor overleg over eventuele aanpassingen van het artikel: (*) zijn de genoemde betekenisbeschrijvingen juist?, (*) ontbreken er nog belangrijke andere betekenissen?, (*) is de bebronning voldoende?, (*) in hoeverre moet ingegaan op de zwevende betekenis van 'convergent'? en zo meer. Het is niet geschreven als zo goed mogelijk bijgeschaafde tekst ter plaatsing in het artikel: het aantal en soort bronvermeldingen zal daar anders moeten zijn, de lay-out bevat meerdere facetten die in een artikel ongewenst zijn, er is nog nauwelijks gelet op 'links' (bij 'Afbeelding' zeker nodig), het wel/niet in zichtbare tabelhokjes presenteren van het deel 'gangbaar taalgebruik'.

Nav. opmerkingen van Josq over lastige leesbaarheid heb ik geprobeerd om de lay-out (voornamelijk in de secties 'Reeks (vorm)' en 'Reeks (twee afbeeldingen)' nog wat sprekender te maken.

Dan nog bij punt 6-a van Josq: "graag meer uitleg bij de wiskundige inhoud dan het centraal stellen van taalgebruik". Dat is echter behoorlijk lastig, niet alleen in dit Wikipedia-artikel, maar evenzeer in elk hoofdstuk Series in een Calculus-boek. Want alle wiskundige inhoud is al aan de orde geweest bij 'rij (wiskunde)', bij 'limiet van een rij', bij 'convergeren van een rij', bij partieelsommenrij van een rij', bij 'sommeerbaarheid van een rij', bij 'som van een rij', bij 'somrij' en 'verschilrij van een rij'.

Het langdurig (eeuwenlang) in verschillende betekenissen gebruiken van het woord 'convergent' (misschien een verschil tussen Frans en Duits?) heeft geleid tot een zwalkende en vaak niet scherp beschreven betekenis van het woord 'reeks'. Zie bijvoorbeeld de ca. 30 bebronde betekenissen in deze lijst. Een definitie baseren op het woordkoppel 'formele som' (waarvan niemand een relevante betekenis blijkt te kunnen geven)geeft ook geen nader 'wiskundig begrip'. Op de Engelse Wikipedia is de sectie 'Definition' na langdurige discussie maar helemaal geschrapt uit het artikel 'Series (mathematics)' (20 May 2017).

In deze situatie is een lezer (m.i.) het meest geholpen bij een vertaal-lijst van woordcombinaties mét 'reeks', naar een uitleg zónder 'reeks' (dus de regels na 'Gangbaar taalgebruik'). Dat is echt geen uitvinding (POV) van mij, er zijn ook oudere bronnen voor te vinden (even uit m'n hoofd: Wijdenes, Van der Blij, Meulenbeld/Grootendorst, Van Rooij, N.G. de Bruijn, Dijksterhuis, Bockwinkel, Vredenduin, Buck, Spivak, Heuser). -- Hesselp (overleg) 29 dec 2018 23:39 (CET)Reageren

En weer een onleesbaar verhaal. The Banner Overleg 30 dec 2018 02:09 (CET)Reageren

Hesselp probeert hier een discussie die al heeft plaatsgevonden (deze OP is de meest omvangrijke artikel-OP die ik ken) opnieuw aan te zwengelen. 'Betekenis 1' van reeks is verouderd (zoals ook Hesselp constateert) dus moet worden gezien als een voormalige betekenis. Voor betekenis 2 geldt dat deze volgens Hesselp is: "een uitdrukking (expressie, vorm) in wiskunde-symbolen, met het teken

{\textstyle \,\sum ^{\infty }\,}

en een rij-beschrijving". Die sequentie van woorden is een typische Hesselp-zinsconstructie, maar het is uitdrukkelijk NIET een betekenis. De 'betekenis 3' van Hesselp volgt logisch uit de definitie, het zou misleidend zijn om dat te positioneren als een afzonderlijke betekenis.

En in zijn algemeenheid ben ik ertegen om de discussie uit 2015/2016 opnieuw te gaan voeren. Bob.v.R (overleg) 31 dec 2018 00:25 (CET)Reageren

Gelet op de zeer beschamende opstelling van Hesselp zo'n 2 à 3 jaar terug, waarin op dit artikel extreem hardnekkig pov werd gepushed, en van de overige gebruikers heel erg veel energie noodzakelijk was om dit artikel niet volledig en schandalig te laten ontsporen, is momenteel mijn uitdrukkelijke voorstel dat Hesselp zelf geen enkele wijziging aanbrengt op de artikelpagina. Ik zie de reacties graag tegemoet. Bob.v.R (overleg) 29 dec 2018 00:09 (CET)Reageren

Mijn idee! Wat mij betreft gaat H. zich toeleggen op geitenfokken, of een andere tijdvullende bezigheid, als het maar geen wiskunde of muziekleer is. Muziek mag wat mij betreft, zelfs met bladmuziek in Klavarskribo. Madyno (overleg) 30 dec 2018 00:09 (CET)Reageren

Klavarskribo is echter ook een reclamevehikel. The Banner Overleg 30 dec 2018 02:09 (CET)Reageren

@The Banner: Madyno doelt hier denk ik op het door H. maken van muziek (evt. geschreven in klavarskribo), ter afwisseling van het fokken van geiten. Bob.v.R (overleg) 30 dec 2018 06:34 (CET)Reageren

De laatste bijdrage van Hesselp op deze overlegpagina is 3615 byte groot. Opnieuw een overlegbijdrage die duidelijk niet voldoet aan de kenmerken 'kort, duidelijk en ter zake'. Zo gaat het dus niets worden. Wellicht is het beter als de Arbcom aanvullende maatregelen neemt over het mogen bewerken van een artikel, het aantal byte dat hij per dag aan overlegbijdrage mag doen, etc. - Robotje (overleg) 30 dec 2018 09:40 (CET)Reageren

Opmerking: Hesselp voegt in deze bewerking diverse thinspaces toe. Mocht er uiteindelijk consensus zijn over de tekst, dan dient er om gedacht te worden dat deze zonder de thinspaces dient te worden geplaatst. M.vr.gr. Brimz (overleg) 30 dec 2018 20:34 (CET)Reageren

Wat bedoelt Bob.v.R met 'DE definitie' ? bewerken

Waar verwijst Bob.v.R in zijn voorlaatste zin van deze bijdragenaar, met zijn 'DE' definitie?
Wellicht zal ik ook in dit nieuwe jaar op m'n vingers getikt worden wegens het blijven stellen van zulke vragen. En zal met 'Maatregelen' geprobeerd worden mij daarvan af te laten zien ("laat de zaak dan rusten", "verstoring van de werksfeer"). Het zij zo.
Vier verdere vragen:
- Bij "uitdrukkelijk NIET een betekenis": De auteurs van de twaalf genoemde bronnen zouden het allemaal mis hebben?
Ik hou het erop dat uit de bronnen blijkt dat een aanzienlijk deel van de wiskunde-gebruikers deze vorm-betekenis hanteert.
- Bij "De 'betekenis 3' van Hesselp": Aan welke van de twéé afbeeldingen (rij-naar-partieelsommenrij, rij-naar-reeksvorm) refereert Bob.v.R met "DE 'betekenis 3'" ?
Verwijst Bob.v.R met zijn "de definitie" naar wat anders dan de zin in de huidige lemma-tekst, met "formele som" als kern?
- Bij "het opnieuw voeren van de discussie uit 2015/2016": Tot nu toe is door Bob.v.R op deze overlegpagina over het door hem in 'de definitie' geïntroduceerde (maar nergens bebronde) 'formele som', niets anders geschreven dan:
"een partieelsommenrij a₁, a₁ + a₂, a₁ + a₂ + a₃, ... is m.i. iets anders dan een formele oneindige som. Ze hebben met elkaar te maken, maar dat ze op elkaar zouden lijken gaat mij (veel) te ver." "M.b.t. B", 3 dec 2015 20:42‎
Deze 'toelichting' lijkt me volstrekt onvoldoende om het 'formele som' in de huidige artikel-definitie mee te verdedigen. Kan Bob.v.R (of een ander) inmiddels wat concreters zeggen (met bronnen) over wat een lezer denken moet bij 'formele som' ?

Dat het niet echt een fluitje van een cent is om de huidige in de wiskunde gebruikte betekenis(sen) van 'reeks' te benoemen, moge blijken uit de verschillen in vier talen:
la série de terme général u_n een andere naam voor de partieelsommenrij van rij (u_n) ;
eine Reihe een rij die de somrij is van z'n verschilrij — dus élke (!) rij van termen waarvoor een optelling bestaat;
a series het achtereenvolgens optellen van oneindig veel termen;
de met rij (a_n) geassocieerde reeks de met rij (a_n) geassocieerde formele som; uit enwikipedia: zie "M.b.t. A", 3 dec 2015 20:42‎, hoewel daar 'formal sum' inmiddels uit de definitie geschrapt is: 22:34, 15 April 2017‎ en 01:29, 15 May 2017‎.

Ten slotte verwijs ik nog naar: Harro Heuser, Lehrbuch Analysis Teil 1, 14. Auflage, 2001. Hij schrijft op blz. 187 "Keinesfalls ist a₀+a₁+a₂+··· als eine Summe von unendlich vielen Summanden aufzufassen — ein Unbegriff, der nur Verwirrung stiftet."
-- Hesselp (overleg) 1 jan 2019 18:18 (CET)Reageren

Aangezien 1) bovenstaande discussie al eens is gevoerd, 2) Hesselp niet ingaat op gestelde vragen, maar toch zijn eigen plan trekt, 3) deze pagina inmiddels zo lang is dat mijn browser erover struikelt en 4) Hesselp vooral uit lijkt te zijn op filibusters in plaats van inhoudelijk overleg, wil ik anderen oproepen niet meer te reageren. Verdere discussie heeft slechts als resultaat dat deze overlegpagina nog langer wordt; inhoudelijk zal het het artikel niet verbeteren. Alvast bedankt voor de medewerking. Brimz (overleg) 1 jan 2019 18:34 (CET)Reageren

Waar zijn de Nederlandstalige bronnen? The Banner Overleg 1 jan 2019 22:39 (CET)Reageren

Veel vragen, maar geen antwoorden. - Bob.v.R (overleg) 2 jan 2019 00:45 (CET)Reageren

Geen consensus bewerken

Laatste bericht: 5 jaar geleden1 bericht1 persoon in discussie

Gelet op de bewust misleidende interpretaties die Hesselp koppelt aan het al of niet door andere gebruikers reageren op lappen tekst, kennelijk bedoeld om goedwillende gebruikers te laten afhaken bij inhoudelijk overleg, verklaar ik hierbij het op voorhand oneens te zijn met alle toekomstige voorstellen van Hesselp die Hesselp op deze OP zal doen, met uitzondering van die voorstellen waarbij ik expliciet zal aangeven het er wel mee eens te zijn. Het is geen fijne maatregel, maar na drie jaar gedram van Hesselp en het door Hesselp stug en star negeren van adviezen, is dit mijn reactie. En waar nodig zal ik op andere OP's een vergelijkbare mededeling doen. Bob.v.R (overleg) 3 jan 2019 01:37 (CET)Reageren

'Convergeren' is bij reeks wat anders dan bij rij bewerken

Laatste bericht: 5 jaar geleden86 berichten7 personen in discussie

Het noemen van een zestal concrete manco’s in de artikeltekst (zie OP 26 december 2018) heeft tot nu toe niet geleid tot aanpassingen. Met name de verwijzing met 'formele som' naar een inhoudelijke betekenis van het woord 'reeks' in de wiskunde, is nog op geen enkele wijze duidelijk gemaakt. (Ik vond ook geen enkele bron waarin dat gebeurd.)

In genoemde OP-bijdrage van 26 dec 2018 gaf ik een drietal mogelijke beschrijvingen van het vakwoord 'reeks'. Mede met inachtname van het daarop gevolgde commentaar, heb ik die tekst nu (zie onderstaand uitklap-gedeelte) uitgebreid tot een overzicht van het wiskundig taalgebruik waarin het woord 'reeks', en het daarmee vaak nauw samenhangende 'convergent', een rol speelt.
De zes genoemde manco’s lijken me hierin ondervangen. Op elk onderdeel heb ik geprobeerd een voldoende onderbouwing te geven met citaten uit bronnen. Bij het gebruik van dit overzicht als lemma-tekst, zal een groot deel van die bronnen waarschijnlijk achterwege kunnen blijven.

Reeks (wiskunde) - bronnen bij de betekenisontwikkeling van 'reeks', 'rij' en 'convergent'

0 Oneindige reeks of kortweg reeks is in de wiskunde de oude, ook nu nog wel gebruikte naam voor: een oneindige rij met getallen^[1] als termen. ^[2] ^[3] ^[4] ^[5] ^[6] ^[7] De variërende betekenis van de woorden 'convergent' en 'convergeren' ^[8] leidt tot onregelmatige nomenclatuur en meerduidige notaties.

1 Onregelmatig woordgebruik^[9]
1.1 'Convergente (termconvergente) rij' naast 'convergente (somconvergente) reeks'
Het gangbare taalgebruik, ook buiten het Nederlands^[10], maakt betekenisverschil tussen 'convergente rij' ^[11] (soms: 'convergerende rij' ^[12]) en 'convergente reeks' ^[13] (soms: 'convergerende reeks' ^[14]) .
In deze combinaties gaat het bij het woord 'rij' om het convergeren van de aparte termen ( ${\textstyle \,t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\cdots \,}$ ), en bij het woord 'reeks' om het convergeren van de samengenomen termen (de partiële sommen ${\textstyle \,t_{1},\ t_{1}{+}t_{2},\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3},\,\cdots \,}$ ).
Ofwel: 'rij' + 'convergent' duidt op een termlimiet, en 'reeks' + 'convergent' op een somlimiet.

1.2 'Sommeerbare rij' naast 'sommeerbare reeks'
Ter vermijding van verwarring door de dubbele betekenis van 'convergent' is vanaf midden 20e eeuw 'sommeerbare rij' ^[15] een alternatief voor 'convergente reeks' .

'Sommeerbare reeks' komt al eerder voor, als benaming voor een getallenrij waarvan de partieelsommen geen limiet hebben maar waar de een of andere alternatieve 'sommatiemethode' wel tot een limiet leidt^[16]: Cesàro-sommeerbaar, Abel-sommeerbaar, Borel-sommeerbaar en andere.^[17]

1.3 'Komma-notatie' naast 'plusteken-notatie'^[18]
Voor schriftelijke notaties geldt het volgende:
Als een oneindige getallenrij 'rij' genoemd wordt, is gebruikelijk^[19]:
$\quad t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\cdots \quad \ \$ of $\quad t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\cdots ,\,t_{n},\,\cdots \quad \quad$ of $\quad (t_{n})_{n=1,2,\cdots }$
en als een oneindige getallenrij 'reeks' genoemd wordt:
$\quad t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots \quad$ of $\quad t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots {+}t_{n}{+}\cdots \quad$ of $\quad \Sigma \,t_{n}\,$ ^[20] .

2 Meerduidige notatie
De formulevorm ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}$ kan, net als de vormen $\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots \$ en $\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots {+}t_{n}{+}\cdots \,$ , drie dingen betekenen:
(1) de rij ${\textstyle \,(t_{n})\,}$ , (2) de somrij (rij van partiële sommen) van de rij ${\textstyle \,(t_{n})\,}$ , (3) de limiet van de somrij van de rij ${\textstyle \,(t_{n})\ }$ .
Voorbeeld:

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

is de som van

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

indien

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

convergeert

staat voor

het getal

{\textstyle \,\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}t_{n}\,}

is de som van de rij

{\textstyle \,t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\cdots \,}

indien de rij

{\textstyle \,t_{1},\ t_{1}{+}t_{2},\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3},\,\cdots \,}

convergeert

en met de haakjes-notatie voor rijen

het getal

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

is de som van de rij

{\textstyle \,(t_{n})_{n}\,}

indien de rij

{\textstyle \,(\sum _{n=1}^{k}t_{n})_{k}\,}

convergeert.

3 Absolute convergentie, absolute sommeerbaarheid
Een getallenrij ${\textstyle \,(t_{n})\,}$ waarvoor geldt dat de rij ${\textstyle \,|t_{1}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|{+}|t_{3}|,\,\cdots \,}$ een limiet heeft, wordt traditioneel een absoluut convergente reeks genoemd; meer recent ook wel een absoluut sommeerbare rij ^[21]. Een dergelijke rij is zelf eveneens sommeerbaar en de som blijft onveranderd onder welke permutatie van de termen dan ook.

4 Termen van een rij/reeks, som van een rij/reeks, limiet van een rij
In combinatie met "de termen van de . . ." of met "de som van de . . ." maakt "rij" dan wel "reeks" geen verschil in betekenis:
- de 7e term van de omgekeerde-kwadratenrij = de 7e term van de omgekeerde-kwadratenreeks,
- de som van de omgekeerde-kwadratenrij = de som van de omgekeerde-kwadratenreeks.
In combinatie met "de limiet van de . . ." wordt voornamelijk "rij" gebruikt. Want bij "reeks" kan er twijfel zijn of het om de limiet van de termen of om de limiet van de partieelsommen gaat, een duidelijke conventie op dit punt ontbreekt.^[22]

5 Vroeger anders
Tot ruwweg het eind van de 19e eeuw werd een rij met een termlimiet nooit aangeduid met 'convergente rij', 'convergerende rij', 'convergente reeks' of 'convergerende reeks' .^[23] Men wilde irrationale grootheden willekeurig dicht benaderen met oneindig doorlopende breukenrijen^[24], waarbij bleek dat het eenvoudiger is om de bedoelde grootheid te beschrijven als limiet van partieelsommen (soms partieelproducten) van een rij, dan als limiet van de termen van een rij. Met 'convergentie' werd de belangrijkste eigenschap van de rij bedoeld: het sommeerbaar zijn (het hebben van een somlimiet).
De gangbare notatie met plustekens (soms komma's^[25] of alleen spaties^[26]) tussen de begintermen past bij dit hoofdgebruik van getallenrijen.

Tot in het begin van de 19e eeuw komt 'convergente (convergerende) reeks' voor als aanduiding voor een rij getallen met 0 als limiet, een nulrij.^[27] Gauss heeft expliciet gewezen op het meerduidige gebruik van 'convergente reeks'.^[28]

In het verleden werd met 'sommeerbare reeks' en 'niet-sommeerbare reeks' het al dan niet bestaan van een 'gesloten vorm' voor de partieelsommen-limiet aangeduid. Waarbij het gesloten vorm geleidelijk aan een ruimere interpretatie kreeg.^[29]

6 Grote variatie in beschrijvingen van wat met "oneindige reeks" bedoeld kan zijn
De geleidelijke, eind 19e eeuw begonnen, betekenisverschuiving van de woorden "convergent" en "convergeren" - van somlimiet-hebbend naar termlimiet-hebbend – heeft geleid tot een enorme verscheidenheid aan pogingen om 'de' betekenis van de aanduiding "oneindige reeks" vast te leggen. De volgende varianten zijn in de (leerboeken-)literatuur te vinden, op volgorde van gevonden oudste vermelding:

a - een combinatie van wiskunde-symbolen (expressie) van de vorm
${\textstyle \quad \sum _{n=1}^{\infty }}$ $a_{n}\$ , ${\textstyle \,\sum (a_{n})_{n\geq 1}\,}$ , $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,$ of $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \$
met een context-afhankelijk betekenis^[30]
b - het resultaat van het onbegrensd laten groeien van de term-index^[31]
c - een veelterm met een oneindig aantal termen^[32]
d - een oneindige rij, gegeven door z'n verschilrij^[33]
e - de som van een oneindig aantal termen^[34]
f - het resultaat van het vormen van de rij der partieelsommen^[35]
g - het koppel van een rij en z’n somrij^[36]
h - een geïndiceerde som^[37]
i - een rij waarvan de termen opgeteld dienen te worden^[38]
j - een formele som^[39]
k - een bepaalde formele uitdrukking^[40]
l - een rij van zijn partiële sommen^[41]
m - een rij waarvan de termen de partieelsommen zijn van een andere rij ^[42]
n - de som van de termen van een rij^[43]
o - een oneindige som^[44]
p - het resultaat van het optellen van de termen van een oneindige rij^[45]
q - een wiskundig proces dat vraagt om een oneindig aantal optellingen^[46]
r - een rij van termen waaruit een rij van partiële sommen is afgeleid^[47]
s - een som van een aftelbaar aantal termen^[48]
t - de afbeelding die aan een rij z’n somrij (partieelsommenrij) toevoegt^[49]
u - het resultaat van het vormen van de som van alle termen van een rij^[50]
v - een oneindige optelling van getallen^[51]
w - de limiet van de somrij van een sommeerbare rij^[52]
x - het resultaat van het belangstelling hebben voor de partiële sommen van een rij^[53]
y - de bewerking van het een voor een toevoegen van termen van een rij^[54]
z - de optelling van een oneindige rij termen^[55]
aa - een som met oneindig veel termen^[56]
bb - een recurrente rij^[57]
cc - diversen^[58]
dd - geen poging tot betekenis-beschrijving^[59].

7 Reeksvoorstelling en reeksontwikkeling
Voorzover er aan de woorden 'reeksvoorstelling' en 'reeksontwikkeling' een verschillende betekenis wordt toegekend, komt dit neer op het onderstaande. De namen 'rijvoorstelling' en 'rijontwikkeling' worden niet gebruikt.

7.1 Een reeksvoorstelling van een getal of van een functie
Een irrationaal getal kan op veel verschillende manieren worden voorgesteld / weergegeven / gerepresenteerd. Het klassieke drietal^[60] is:
- reeksvoorstelling: als limiet van de partiële sommen van een gegeven rij;
- productvoorstelling: als limiet van de partiële producten van een gegeven rij;
- kettingbreukvoorstelling: als limiet van de partiële stapelbreuken van een gegeven rij.
Voor de laatste geldt dat ieder irrationaal getal een unieke kettingbreukvoorstelling heeft.

Voorbeelden van reeksvoorstellingen:
Het getal ${\textstyle \,\pi ^{2}/6\,}$ kan ook beschreven als 'de limiet van de partieelsommen van de rij der omgekeerde kwadraatgetallen',
in formulevorm: $\quad \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {1}{k^{2}}}\quad$ of $\quad \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}\quad$ of $\quad {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\cdots \,$
De functie ${\textstyle \,x\mapsto \sin x\,}$ kan ook beschreven als 'de limiet van de partieelsommen van een zekere rij machtsfuncties',
in formulevorm: $\quad x\mapsto \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {(-1)^{k-1}}{(2k-1)!}}\,x^{2k-1}\quad$ of $\quad x\mapsto \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k-1}}{(2k-1)!}}\,x^{2k-1}\quad$ of $\quad x\mapsto {\tfrac {1}{1!}}x-{\tfrac {1}{3!}}x^{3}+{\tfrac {1}{5!}}x^{5}-\cdots$
Bij elk getal en elke functie zijn oneindig veel reeksvoorstellingen mogelijk: zo zijn ${\textstyle \,{\frac {1}{4}}{+}{\frac {1}{8}}{+}{\frac {1}{16}}{+}\cdots \,}$ en ${\textstyle \,{\frac {1}{3}}{+}{\frac {1}{9}}{+}{\frac {1}{27}}{+}\cdots \,\ }$ allebei reeksvoorstellingen voor 'een half'.
En voor het irrationale getal ${\textstyle \,\pi ^{2}\,}$ zijn het bijvoorbeeld ${\textstyle \,{\frac {6}{1^{2}}}{+}{\frac {6}{2^{2}}}{+}{\frac {6}{3^{2}}}{+}\cdots \,}$ en ${\textstyle \,{\frac {8}{1^{2}}}{+}{\frac {8}{3^{2}}}{+}{\frac {8}{5^{2}}}{+}\cdots \,}$ en ${\textstyle \,{\frac {12}{1^{2}}}{-}{\frac {12}{2^{2}}}{+}{\frac {12}{3^{2}}}{-}\cdots \,}$ .

7.2 De reeksontwikkeling van een functie
Als voorbeeld van een reeksontwikkeling dient hier de reeksontwikkeling 'volgens Taylor'.
Zij $\,f\,$ een functie die in een domeinpunt $\,a\,$ oneindig vaak differentieerbaar ('glad') is, dan heet de functie-rij

Tf(x;a)\ =\ \left({\tfrac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x{-}a)^{n}\right)_{n=0,1,2,\,\cdots }

de Taylorontwikkeling van functie f in punt a. Doorgaans genoteerd als

\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x{-}a)^{n}\quad

of

\quad f(a)+{\tfrac {f'(a)}{1!}}(x{-}a)+{\tfrac {f''(a)}{2!}}(x{-}a)^{2}+{\tfrac {f'''(a)}{3!}}(x{-}a)^{3}+\cdots \

.

De Taylorrij kan al dan niet sommeerbaar zijn (vaak afhankelijk van de afstand tussen x en a). En als de rij voor een zekere x een som heeft, hoeft die som nog niet gelijk te zijn aan f(x). Als dat wél het geval is, heet functie f analytisch; de termen van de reeksontwikkeling van f kunnen dan gebruikt in een reeksvoorstelling van f.

Bronnen, noten en/of referenties

↑ Noot: Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'reeks' in Nederlandstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'rij' :
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Eene menigte grootheden, waarvan ieder volgende naar eene zekere wet, aan alle gemeen, bepaald wordt, draagt den naam van rij of reeks, " .
– P.J. Prinsen, Anoldus Bastiaan Strabbe's Eerste beginselen van de arithmetica of rekenkunst, vierde deel, 4e druk 1832, blz. 163: "Eene oneindige reeks is een vervolg van breuken, die steeds in een bestendige orde voortgaan, ".
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 25: "Men noemt in het algemeen eene reeks eene opeenvolging van termen die volgens eene bepaalde wet van elkander afhangen, en die op eene gegevene wijze op elkander volgen."
– B.L.de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 146: "Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens zekere wetten van elkander afhangen."
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: &thinsp"Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens eene zekere wet van elkaâr afhangen."
– J. Versluys, Tijdschrift voor vormleer, rekenkunde en de beginselen der wiskunde, 1882 Jrg.4, blz. 45: "Wil men een bepaling van reeks geven, dan zou men kunnen zeggen, dat een rij van getallen een reeks is."
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 1: "Elke rij van getallen, positieve of negatieve, geheele of gebroken, meetbare of onmeetbare, die op de een of andere wijze van elkaar afhangen, kan men een reeks noemen."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 167: "Een reeks is een opvolging van getallen die aan een bepaalden wet van wording voldoen."
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige reeksen Bijvoegsel van het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde gewijd aan onderwijsbelangen, 1924/25, jrg.1 nr. 4, blz. 142-160: "een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk (d.w.z. positief geheel) getal) een grootheid toeordent."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, deel 1, 2e druk 1933, blz. 119: "Is u_n een functie van het indexgetal n, dan heet de rij getallen: u₁, u₂, u₃ ....u_n,.... een oneindig voortloopende reeks van constante getallen u_n."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, leerboek voor de acte wiskunde l.o., deel II, 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".
– O. Donker, Handleiding no. 3, analyse - reeksen, 1948, blz. 5: "Een rij is een verzameling van een oneindig aantal onsamenhangende termen. Een reeks is een verzameling van een oneindig aantal samenhangende termen. Een reeks is dus op te vatten als een geordende rij. De termen van een reeks zijn samenhangend; d.w.z. een volgende term is steeds uit een voorgaande af te leiden."
– B.Marius, A.C.Valkenaars, Algebra voor de kweekschool, 1961, blz. 87: "Een reeks is een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd is."
↑ In Nederlandse schoolboeken, tot de introductie van het woord 'rij' rond 1960, werd een oneindige getallenrij uitsluitend met 'reeks' aangeduid:
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra met vraagstukken, deel 4, 2e1907
– A. van Thijn, Leerboek der Algebra, met vraagstukken, deel 3, 2e1918
– S. Osinga, Beknopt leerboek der algebra, 1e1918
– S. Osinga, Rekenboek voor aspirant-machinisten en machinisten ter koopvaardij, 2e1919
– P. Wijdenes, D. de Lange, Leerboek der algebra, deel 3, 4e1921
– P. Wijdenes, Middelalgebra (ééndelig), 1e1921
– L. Yntema, A.J. c.s., 'Algebra voor VHMO, deel 3: 1e1926
– H.C. Derksen, Algebra /vraagstukken met theorie, deel 3, 3e1926
– C.A. van Beek, W.H.C. van Heek, Algebra /voor Onderwijzersopl. en Hoofdakte-studie, 2e1926
– J.C. van Velthoven, Overzicht der algebra/voor het eindexamen gymnasium en hbs, 1e1935
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 1e1935
– P. Wijdenes, Lagere algebra II (Vergelijkingen, Functies, Grafieken, Reeksen), 3e1935
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra /ten dienste der hbs, deel 3, 2e1936
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra IV-gymn., 1e1946
– B. Coster, A. van Dop, Algebra voor het eindexamen, 1e1950
– G.N. Meurs, S. de Vries, Algebra (serie: Op hoger plan, voor U.L.N.O…) deel 2, 5e1950
– P. Jansen, G.W. van Brink, Beknopte theorie der rekenkunde, 9e1951
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-bèta, 1e1952
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-alfa, 1e1953
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 8e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 3 4e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 2 7e1956
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Algebra voor het eindexamen, 3e1956
– P.J.G. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra voor VH&MO, deel 3, 2e1957
– C.J. Alders, G.J. Hietbrink, Algebra voor kweekscholen, 2e1958
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 32e-35e druk 1959
– E.J. Peusken, A.J. de Boer, Leerboek der algebra (serie B, v. V&M Nijverh.O), 3e1959
– G. Smit, Verzameling van algebraïsche vraagstukken met de theorie, deel 3, 21e1960
– C. Munk, J. Schaafsma, Algebra /bestemd voor het kweekschoolonderwijs, 1e1960, 2e1963
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 11e1961
– G. ter Hennepe, J.W. Oostenga, Algebra /leerboek voor het ulo-onderwijs, deel 3, 1e1962
– H. Vergoossen, Algebra (UTO-reeks), deel 2, 4e1963
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'Reihe' in Duitstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'Folge' :
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, ca. 1800, blz. 390-395: "... man beschränkt daher in der höhern Mathematik den Ausdruck Reihe auf den Inbegriff solcher Grössen, die, insofern man jeder derselben ihre eigene Stelle anweiset, d.i. die erste, zweite, dritte Grösse u.s.f. unterscheidet, alle nach einem Princip bestimmt werden. "
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 113: "Eine Reihe heisst eine Folge von Zahlen, welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– J.C. Fischer, Reine Elementar-Mathematik, 1820, blz. 165: "Unter einer Reihe oder Progression (series s. progressio) versteht man eine Menge von Grössen oder Gliedern (termini), welche ingesammt von einem allgemeinen Gesetze abhangen."
– J. von Gott Bundschue, Lehrbuch der Arithmetik,1824, blz. 203-204: "Eine Menge von Grössen, derer jede nach einem allgemeinen Gesetze bestimmt ist, wird eine Reihe (Series) oder eine Progression (Progressio, von progredior - fortgehen) genannt; ".
– D.F. Hecht, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, . . ., 3.Aufl. 1853, blz. 61: "Eine Progression oder Reihe ist jede Folge von Grössen oder Gliedern, die alle nach einem gemeinschaftlichen Gesetze [...] bestimmt werden,".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz.2: " Reihe = jede Folge von Grössen, welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind."
– C. Spitz, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, erster Theil, 1874, blz. 412: "Eine Folge von Grössen oder Zahlen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze fortschreiten, heisst eine Reihe oder Progression."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Man nennt "Reihe" eine unbegrenzte Folge von Zahlgrössen u₀, u₁, u₂, u₃, etc..... , welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Xav. Pfeifer, Der goldene Schnitt, 1885, blz. 4: "Die mathematische Reihe ist eine Folge von gleichartigen Grössen, welche nach einem bestimmten Gesetze fortschreitet."
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 178: "Unter einer Reihe versteht man eine unbegrenzte Folge von Zahlgrössen u₁, u₂, u₃, u₄, . . . welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Es seien u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n die aufeinander folgenden Glieder einer Reihe, so gebildet, dass jedes Glied aus dem vorhergehenden in gesetzmässiger Weise abgeleitet werden kann."
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "Eine Reihe besteht aus einer Anzahl von Gliedern, die nach demselben Gesetze gebildet sind." blz. 159:"Die Anzahl der Glieder einer Reihe kann unendlich wachsend angenommen werden. Man erhält dann eine unendliche Reihe."
– H. Weber, Encyklopädie der elementaren Algebra und Analysis, 2. Aufl. 1906, blz. 395: "Unter eine Zahlenreihe verstehen wir eine gesetzmässige Aufeinanderfolge von Zahlen irgend welcher Art: ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\,}$ und nennen diese Zahlen auch die Glieder der Reihe."
– P. Epstein (oorspr. Italiaans E. Pascal), Repertorium der höheren Analysis, 1. Hälfte, 2. Aufl. 1910, blz. 421: "Eine nach irgendeiner Vorschrift gebildete Folge von Zahlen ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ heisst eine Reihe. "
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919, idem 3. Aufl. 1921, blz. 171: "[...] ${\textstyle \,u_{1};\ u_{2};\ u_{3};\ \cdots \ }$ [...] heisst jedesmal eine unendliche Reihe ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 189: "Bildet man bei einer arithmetischen Reihe die Summen, die sich nacheinander durch Hinzunahme von immer mehr Gliedern ergeben, so entsteht eine neue Zahlenfolge oder Reihe."
– G. Kowalewski, Die klassische Probleme der Analysis des Unendlichen, 3. Aufl. 1938, blz. 1: "so findet man a, aq, aq², . . . Dies ist eine geometrische Reihe ... ."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Dabei ist nun jede komplexe Zahlenfolge (u_n)_n eine unendliche Reihe . . .".
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'série' in Franstalige studieboeken, vóór circa 1880:
– A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, u₂, u₃, &c. ... qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée. "
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 486), blz. 520: "On appelle suité infinie, série infinie, ou simplement suite, série, une expression composée d'un nombre illimité de termes. La série est dite régulière, lorsqu'à partir d'un certain terme tous les suivants peuvent être formés d'après une même loi."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 25: "On appelle série une suite de grandeurs déterninées dont le nombre est indéfini."; blz. 437: "On appelle série une suite de termes positifs ou négatifs, dont le nombre est infini."
– Ch. Sturm, Cours d'analyse, tome I; 2me édition, 1863, blz. 40: "Une série est une suite composée d'un nombre infini de termes formés tous après une loi déterminée."
– C. Méray, Nouveau précis d'analyse infinitésimal, 1872, blz. 19: "Une série est une suite de quantités réelles ou imaginaires en nombre illimité se calculant successivement suivant une loi donnée."
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, ··· u_n, ··· formées suivant une loi déterminée."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est une suite illimitée de nombres se succédant d'apres une loi déterminée;" .
– G. Dubois, Définition des series formelles, 2015 (of later): "Une série formelle (à coefficients dans ${\textstyle \,A\,}$ ) est tout simplement un élément de l'espace produit ${\textstyle \,A^{\mathbb {N} }}$ . Donc une série formelle est une suite ${\textstyle \,S=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ . Nous rappelons qu'une telle suite n'est rien qu'n autre nom pour une application de ${\textstyle \,\mathbb {N} \,}$ dans ${\textstyle \,A\,}$ .
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'series' in Engelstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'sequence' :
– A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation, [...] ".
– J. Wood, The elements of algebra, 12th edition 1845, blz. 232: "An infinite series is a series of terms proceeding according to some law, and continued without limit."
– W.M. Buchanan, A Technological Dictionary: explaining . . ., 1846, blz. 655: "SERIES, - 2. In analysis, a succession of terms, or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– H.L. Horton, Mathematics at work; first edition, 1949, blz. 2-23: "A series is a succession of terms whose formation is governed by the Law of the Series, each term being derived from one or more preceding terms by the provision of this law."
– A.A. Klaf, Arithmetic refresher for practical men, 1964, blz. 266: "What is a series? A succession of terms so related that each may be derived from one or more of the preceding terms in accordance with some fixed rule or order."
↑ Beschrijvingen van de wiskundige betekenis van het Latijnse 'series' :
– Groot en volledig woordenboek, 1758, blz. 324: "ONEINDIGE Ry, REEK of SCHAKELING, Infinita Series, is eene Ry van oneindige Getalen, die na een zekere Order geduurig voortgaan, zoodanig, dat men dezelven daar door duidelyk begrypen, en van alleen anderen Ryen der Getallen onderscheiden kan. "
– Paulus Mako, Compendiaria matheseos institutio, editio tertia 1771, blz. 209 Caput V, De seriebus: "Series est ordo quantitatum certa aliqua, et constanti lege excipientium. E.g. progressiones arithmeticae, et geometricae sunt series".
↑ (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet, (3) (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.
↑ – R.C. Buck, Advanced calculus, 1956, blz. 105: "An infinite series is often defined to be "an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }a_{n}}$ ". It is recognised that this has many defects.
- P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In het Nederlandse V.H.M.O wordt doorgaans tussen rijen en reeksen geen duidelijk onderscheid gemaakt."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The terminology introduced in this definition [a sequence is summable if the sequence of its partial sums converges] is usually replaced by less precise expressions;".
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Het taalgebruik t.a.v. reeksen is traditioneel slecht. [...] Het lukt overigens niet goed om 'reeks' als substantief op te vatten. Het is vaak een soort metaterm, zoals 'linkerlid', waarmee men spreekt over de expressies die men heeft opgeschreven."
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1 1994, blz. 284: "Men noemt de getallen ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ de termen van de reeks. (N.B. Dit zijn ook de termen van de rij ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ . De termen van de rij ${\textstyle \,\{S_{n}\}\,}$ zijn echter ${\textstyle \,S_{1},S_{2},S_{3},\ldots \,}$ ") .
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker:Teil 1, 2006, blz.156: "Eigentlich sind Reihen nichts anderes als spezielle Folgen..."
– A. van Rooij, Nieuw archief van wiskunde, 5/10 nr.1, 2009, blz. 63: "Logischerwijze is de derde term van de reeks ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ op deze manier ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}\,}$ , maar in de boeken is hij steevast ${\textstyle \,a_{3}\,}$ ."
– M. Ryan, "Calculus for dummies", 2nd edition 2014, blz. 326: "By the way, if you're getting a bit confused by the terms sequence and series and the connection between them, you're not alone. [...] The reason for getting into the somewhat confusing notion of a sequence of partial sums is that the definitions of convergence and divergence are based on the behavior of sequences, not series."
– G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "La distinction entre suite et série est donc bien mince. Les séries sont des suites particulières et toute suite peut être vue comme une série."
– J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "Sequences and series is often a difficult topic for students. It is easy to get sequences and series confused since a lot of the same terminology is used for both. A sequence is a list of numbers while an infinite series is a sum." [Commentaar: wat wordt bedoeld met 'a sum' ?]
↑ Noot: Vertalingen van 'reeks' zijn: Frans série, Engels series, Duits Reihe. En van 'rij': série, series, Folge.
↑ Vroege voorkomens van 'convergente rij':
– J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable, 1886, blz. 44: "Soit u₁, u₂, ..., u_n, ... , une suite infinie quelconque; si elle est convergente et a pour limite le nombre U, [...]".
– O. Biermann, Vorlesungen über mathematischen Näherungsmethoden, 1905, blz. 2: "Allgemein sagt man, eine Reihe [Commentaar: let op "Reihe".] von Grössen ${\textstyle \,c_{0},c_{1},c_{2},\cdots \,}$ die nach einem bestimmten Gesetze hergestellt seien, bildet eine konvergente Zahlenfolge, wenn nach Angabe einer willkürlich kleinen . . . " .
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 23: "Die Folge (1) [ ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \,}$ ] heisst dann eine konvergente Zahlenfolge oder eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, und man setzt ${\textstyle \,A=\lim _{n=\infty }a_{n}\,}$ ."
– G. Kowalewski, Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen, 1910 (idem 2.Aufl. 1921, idem 3. Aufl. 1938), blz. 77-78: "...wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist, " .
– G. Kowalewski, Das Integral und seine geometrischen Anwendungen, 1910 (serie Forschung und Studium Heft 1), blz. 1: "Man nennt die Folge konvergent und g ihren Grenzwert. Man sagt auch, dass die Folge (oder x_n) nach g konvergiert."
– O. Perron, Irrationalzahlen, 1921 (idem: 2. Aufl. 1939), blz. 48: "Eine Folge von Zahlen heisst konvergent, wenn sie einen endlichen Grenzwert hat,".
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (gelijksoortig: 5.Aufl. 1964, blz. 64-65), blz. 60: "Ist (x_n) eine vorgelegte Zahlenfolge und steht sie zu einer bestimmten Zahl ξ in der Beziehung, dass (x_n−ξ) eine Nullfolge bildet, so sagt man, die Folge (x_n) konvergiere gegen ξ , oder sie sei konvergent mit dem Grenzwert ξ , oder sie (bzw. ihre Glieder) näherten sich dem (Grenz-) Werte ξ, sie strebten gegen ξ , hätten den Limes ξ ."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A.".
– A. Hurwitz, R. Courant, Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen, 3. Aufl. 1929, blz. 8: "Eine unendliche Folge komplexer Zahlen [...] wollen wir konvergent nennen, wenn [verwijst in voetnoot naar "Knopp, Unendliche Reihen, 2. Aufl.1924].
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 21-22: "...noemt men de getallenrij (a_n) , uitvoeriger geschreven: a₁, a₂, a₃, . . . ., a_n, . . . convergent, als er een vast eindig getal L bestaat...".
– D.N. van der Neut, Limitaties en sommaties (proefschrift), 1933, blz. 1: "Met het symbool [...] {x_n} [wordt steeds bedoeld] de oneindige rij der getallen x_n (n=0,1,2,....), onverschillig of [...] de rij convergent is."
↑ Vroege voorkomens van 'convergerende rij':
– A. Pringsheim, "pages":[54,"view":"info"} Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, zweiter Band Analysis, erster Teil], 1899, blz. 32: "Ist a irgend eine bestimmte Zahl, für welche die Folge f_n(a) konvergiert,".
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A.".
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 25: "Als de rij zelve convergeert, is ook de rij van de moduli der termen convergent; ".
↑ – A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s_n s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la série."
– A-L. Cauchy, Résumé des leçons ... sur le calcul infinitésimale, tome premier, 1823, blz. 145: [gelijk aan Cauchy 1821].
– A-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différentiel, 1829, blz. 10: [gelijk aan Cauchy 1821].
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 487), blz. 520: "Les series qui remplissent cette condition sont appelées convergentes."
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 27: "men noemt daarom eene oneindige reeks van termen wier som tot eenen bepaalden limiet nadert convergent."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée. [...] Lorsque la somme des termes de la série tend vers une limite finie et déterminée, on dit que la série est convergente."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 437: "On dit qu'une série est convergente, lorsque la somme des n premiers termes tend vers une limite déterminée".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: "Indien bij het toenemen van het aantal termen hunne som een bepaald getal nadert, dan noemt men de reeks convergent."
– J.K. Becker, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, zweiter Buch, 1877, blz. 133: "Man nennt eine solche Reihe mit endlicher Summe eine convergente Reihe."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Wenn alsdann für stets zunehmende Werte von n die Summe s_n sich einer gewissen Grenze s beliebig nähert, so werden wir die Reihe convergent nennen,"
– J.G. Hagen, Arithmetische uns Algebraïsche analyse, 1891, blz. 70: "Eine unendliche (einfache oder vielfache) Reihe heisst convergent, wenn sich die Summe ihrer Glieder mit wachsender Anzahl einem bestimmten Grenzwerthe nähert,".
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "Si, pour une valeur indéfiniment croissant de n, la somme s_n tend vers une limite finie et déterminée s, la série est dite convergente;"
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 179: "Ist die Summe einer Reihe [...] eine endliche Zahl, so nennt man die Reihe convergent,"
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra, vierde deel, 1899 (idem: 2e druk 1907), blz. 95: "Een rij van getallen noemt men een reeks, als elk der getallen, bij een bepaald getal te beginnen, volgens een vaste wet uit één of meer voorgaande kan afgeleid worden." Blz. 99: "Wanneer de som van n termen eener reeks bij het onbepaald grooter worden van n nadert tot een limiet, dan noemt men de reeks convergent."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Wenn [...] lim_n→∞ s_n = s ist, so heisst die Reihe (u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n) konvergent und s ihre Summe."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est convergente si la somme de ses n premier termes S_n tend vers une limite S,"
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 160: "Eine unendliche Reihe, die eine endliche Summe hat, heisst konvergent;"
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 169: "Indien nu, voor lim n = ∞, de waarde van S_n nadert tot een bepaalde limiet S, zoo noemt men de oneindig voortlopende reeks convergent en heet S hare som."
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919 blz. 174: "Eine uneindliche Reihe mit konstanten Gliedern heisst konvergent, wenne die Summe ihrer n ersten Glieder bei unbegrenztem Wachsen der ganzen positiven Zahl n einem Grenzwert zustrebt,"
– Hk. de Vries, Leerboek der differentiaalrekening en integraalrekening ..., deel 1, 1e dr. 1919, blz. 274-275: "Nadert de som der eerste n termen eener oneindige reeks bij steeds aangroeiende n tot een bepaalde, eindige limietwaarde, dan noemt men de reeks convergent; ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 197: "Eine unendliche Reihe, die in diesem Sinne eine endliche bestimmte Summe hat, heisst konvergent, "
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– R.H. Rooda, Analyse, I Differentiaalrekening, 1930 (?), blz. 91: "Een reeks is een rij van getallen of functies, welke volgens een bepaalde wet uit elkander kunnen worden afgeleid." Blz. 91: "Een reeks heet convergent, indien de som der eerste n termen nadert tot een standvastige, eindige grenswaarde, ".
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra, derde deel, 1931 (idem: 2e druk 1936, 3e druk 1939), blz. 100: "Een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks; Blz. 108: " Een reeks, waarbij ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat, heet convergent."
– P. Wijdenes, Nieuwe School-algebra, deel III, 2e druk 1928, blz.96 en 113 (idem deel II, 12e druk 1942, blz. 160 en 183): "Een rij van getallen, die volgens een bepaalde wet gevormd worden, heet een reeks; [...] Men zegt, dat de meetkundige reeks voor ${\textstyle |r|<1}$ convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat."
– Ph. Kohnstamm, Keur uit het didactisch werk van prof. dr Ph. Kohnstamm, 1935 (Rede ter opening van de lessen van het Nutsseminarium), blz. 367: "Een convergente reeks is een rij van getallen zo gebouwd, dat haar som, [...] van een bepaalde grens afligt."
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra III-H voor m.o., 3e druk 1951, blz. 76: "Een reeks is een rij getallen." Blz. 91: "Een oneindig voortlopende reeks, die een som heeft, heet convergent;" .
– Joh.H. Wansink, "Reken- en stelkunde – leerboek der algebra", 1956 dl.2, 7e druk, blz. 177: "Onder een reeks verstaat men elke getallenrij, volgens een bepaald voorschrift gevormd." Blz. 189: "Reeksen, waarvoor lim_n→∞S_n bestaat, noemen we convergente reeksen; ".
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 2e druk 1957, blz. 66: "Een rij getallen wordt ook wel een reeks genoemd." Blz.85: "Een oneindig voortlopende reeks heet convergent, als hij een som heeft, ".
– C.W. Wolfswinkel, J. Vermeer, De exacte vakken op het eindexamen H.B.S.-B, 1957 dl.1A, blz. 53: "Een reeks is een rij van getallen, die alle volgens een bepaald voorschrift worden afgeleid ". Blz. 53: "Als lim_n→∞S_n bestaat en eindig is, dan heet de reeks convergent, ".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 7e druk 1958, blz.307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks;" Blz. 323-324: "Men zegt, dat de meetkundige reeks voor |r|<1 convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat lim_n→∞ S_n bestaat."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."
↑ – J.G.C. Kiesewetter, Fortsetzung der Anfangsgründe der reinen Mathematik, 1818, blz. 24: "Eine Reihe, bei deren Fortschritt man sich immer mehr ihrem Gesmmtwerthe nähert, heisst konvergirend; ".
– L.C. Schulz von Strassnitzki, Arithmetik, 2. Aufl. 1848, blz. 498: "Dieses Nähern der Summe der Glieder einer Reihe, je mehr als man Glieder nimmt, nennet man das Convergiren der Reihe, und je rascher die Annäherung gehet, desto convergirender nennt man die Reihe."
- B.L. de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 199: "Eene reeks convergeert wanneer de som van hare termen voor eene limiet vatbaar is."
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. van Aller, Leerboek der hoogere stelkunde, 2e druk 1914, blz. 201: "Een reeks heet convergeerend, indien de som van de eerste n termen nadert tot een standvastige grens,".
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."
– S.T.M. Ackermans, J.H. van Lint, Algebra en analyse, 1970, blz. 222: "We zullen spreken van "de reeks ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots }$ " of "de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ". Als lim_n→∞ s_n bestaat (noem de limiet s) dan zeggen we dat de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ convergeert en we noemen s de som van de reeks."
↑ – P.J.G. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 188: "sommeerbare rij (voor: oneindige rij, waarvan de getallen een som hebben)".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 282: "een sommeerbare rij, d.w.z. lim_n→∞ s_k bestaat, "
– Wimecos-commissie (C.J. Alders c.s.), Ontwerp leerplan-wiskunde voor h.a.v.o., 1e druk 1966 (idem 3e druk 1969), blz. 12: "3.3 Klassen 4 en 5 [...] Sommeerbare meetkundige rijen."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The sequence {a_n} is summable if the sequence {s_n} converges. In this case lim_n→∞s_n is called the sum of the sequence {a_n}. Ook: absolutely summable, Cesaro summable, Abel summable, uniformly summable."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 5e druk 1967, blz. 90: "Als [...] dan heet de rij sommeerbaar. "
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 9e druk 1968, blz. 88: "Onder de som van een oneindige rij verstaan we ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ . Een oneindige rij heet sommeerbaar, als hij een som heeft."
– P.E. Lepoeter, Gids voor de algebra van de B-afdelingen van het v.h.m.o., 3e druk 1968, blz. 134: "Een oneindige rij heet sommeerbaar als lim_n→∞ s_k bestaat; " .
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 57: "Sommeerbare rijen ".
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1, 6e druk 1974 (idem 8e druk 1985), blz. 276: "Zij zeggen dan, indien lim_n→∞ S_n bestaat, [...] dat de rij {u_n} [...] sommeerbaar is."
– A. van Rooij, Analyse voor beginners, 2e druk 1989, blz. 71: "Stel nu eens dat deze rij s₁, s₂, ... een limiet heeft. Dan noemen we die limiet de som van de rij x₁, x₂, ..., en de rij x₁, x₂, ... heet sommeerbaar. "
– B. Kaper, H. Norde, Inleiding in de analyse, 1996, blz. 177-179: "Een oneindige som is een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}t_{4}{+}\cdots \,}$ , waarbij ${\textstyle \,t_{1},t_{2},t_{3},t_{4},\ldots \,}$ de termen van een rij zijn. [...] We noemen de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ sommeerbaar, als de rij van partiële sommen ${\textstyle \,(S_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , voortgebracht door de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , convergeert."
– Profi-team (Freudenthal-instituut), Trajectenboek Wiskunde N&G en N&T vwo, 1998, blz. 54: "Een rij heet sommeerbaar als de bijbehorende somrij (d.i. de rij van partiële sommem) een eindige limiet heeft."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 42: "De rij (a_n) heet in dit geval sommeerbaar."
– C.S. Kubrusly, Elements of operator theory, 2001, blz. 201: "If the sequence of partial sums {y_n} converges [...] then we say that {x_n} is a summable sequence" . "If the real-valued sequence {||x_n||} is summable, then we say that {x_n} is an absolutely summable sequence ".
– F. Spijkers, Wiskunde-web, versie: oktober 2002, "Als de somrij van t_n convergeert, dan noem je die rij sommeerbaar. "
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "A complex sequence ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is summable if and only if the series ${\textstyle \,\sum \{a_{n}\}\,}$ is convergent."
– A.C.M. van Rooij, Nieuw archief voor wiskunde 5/10 nr. 1, 2009, blz.62 regel 37-39: "In plaats van convergente reeksen heb je dan sommeerbare rijen, en alles is in orde. Een bonus is dat je het woord 'convergent' niet in twee betekenissen gebruikt."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "A sequence x₁, x₂, . . . of real numbers is summable if and only if the corresponding sequence of partial sums is a Cauchy sequence,".
– P.J. Bartlett, California Institute of Technology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "A sequence is called summable if the sequence of partial sums converges."
– gree, digiSchool-Mathématiques, Forum, 2015: "Soit ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,}$ une suite sommable de nombres complexes."
– K.P. Hart, Pythagoras (tijdschrift), 2014 nummer 6, blz. 24: "Een rij waaraan op deze manier een som is toe te kennen heet sommeerbaar."
– O. Riesen, Dokumente für den Unterricht, website 2019, sectie Zahlenfolge / 3. Teilsummen, Reihen / Skript / 3.3 Allgemeine Teilsummen von Folgen / 1) c): "Eine (beliebige) Folge (a_n) heisst summierbar, wenn der Grenzwert der Teilsummenfolge (s_n) existiert.
↑ – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 98: "Sogenannte Summierbarkeit von Reihen. Als eine direkte Verallgemeinerung des Begriffes Konvergenz einer unendlichen Reihe hat man in der neuesten Zeit den Begriff Summierbarkeit einer Reihe eingeführt. [...] so heisst die uneindliche Reihe summierbar mit der Mittelsumme S."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946, blz. 7: "De redenen, welke wiskundigen er toe gebracht hebben naast het begrip der convergentie dat der sommeerbaarheid te stellen, zijn veelvuldig en gegrond."
↑ Zo'n alternatieve som dient overeen te komen met de 'gewone' som, bij toepassing op een 'gewoon' sommeerbare rij.
↑ – A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, connected together by the signs plus ans minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, proceeding according to some law or determinate relation, as 3, 5, 7, 9, &c. " (Commentaar: waarom geen plus- en mintekens in het voorbeeld?)
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige Reeksen, 1925, artikel in Euclides jrg. 1 nr. 4 pp.142-160. blz. 143: "Wat is een oneindige reeks? De tegenwoordige wiskunde beantwoordt deze vraag aldus: een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk getal een grootheid toeordent." Blz. 146: "Al naar nu bij het onderzoek van een oneindige reeks het voornaamste doel is het bedrag van de opeenvolgende termen te leeren kennen, dan wel in hoofdzaak het bestaan van een som ons interesseert, spreekt men van fundamentaalreeks en van somreeks. Bij de laatste verbindt men de termen door + teekens."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946 (artikel), blz. 22: "De getallen van iedere rij vormen een convergente reeks, wanneer men er plus teekens tusschen plaatst en de volgorde niet wijzigt ".
- P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In de mathematische literatuur wordt onderscheid gemaakt tussen rijen en reeksen: ${\textstyle \ t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\ldots \ }$ is een rij, ${\textstyle \ \ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\ldots \ }$ is een reeks. "
– W. Maak, An introduction to modern calculus, (Duits 1960) 1963, blz. 40: "We have an infinite series if, between each two terms of an infinite sequence [...] we insert a plus sign: "
– L. Bers, Calculus, 1969, par. 4.1: "An infinite series is a sequence of numbers with plus signs between these numbers."
– M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz. 322: "Change the commas to addition signs and you've got a series;".
↑ Noot: Vaak krijgt de beginterm index 0 in plaats van 1, ter vereenvoudiging van de formule voor de algemene term.
↑ Oude voorkomens van het sommatie-teken:
– J. Liouville, Sur la sommation d'une série, 1837 (Journal de Liouville, Série 1, tome 2), blz. 107: "En représentant par ${\textstyle \,X_{0}+X_{1}z+etc.\,}$ ou par ${\textstyle \,\sum X_{n}z^{n}\,}$ le développement de ${\textstyle \,(1-2xz+z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,}$ , " .
– J. Bertrand, Règles sur la convergence des séries, 1842 (Journal de Liouville, tome septième), blz. 39 "donc la série ${\textstyle \,\sum u_{n}\,}$ a tous ses termes plus Petits que ceux de la série convergente ${\textstyle \,\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}\,}$ ".
↑ – M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 397: "In more formal language, the sequence {a_n} is absolutely summable if the sequence {|a_n|} is summable."
– H. König, Analyse 1, 1984, blz. 94: "Eine komplexe Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}\,}$ ist dann und nur dann absolut summierbar, wenn die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ absolut konvergent ist."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 43: "We noemen de rij (a_k) absoluut sommeerbaar indien de rij der absolute waarden (|a_k|) sommeerbaar is. "
↑ – J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "examples to demonstrate the difference between the limit and the sum of a series."
– Mathematics Support Centre (Maynooth Univ. Ierland), Handout, 2019(?): "Limit of a Series. [...] its limit, that is ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ ."
– wikiHow, How to determine convergence of infinite series, 2019(?): "If the limit of a series is 0, that does not necessarily mean that the series converges."
↑ Wél kwam voor: het 'naar een limietwaarde streven' of 'naar een limietwaarde convergeren' van een expressie met een discrete variabele n, of van 'de som van de eerste n termen'.
– A.-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différential, 1829, blz. 91: "Or la somme de ses n premiers termes [...] convergera [...] ou cessera de converger [...]". Blz. 96: "Si, pour des valeurs croissantes de n, le rapport ${\textstyle \,{\frac {\rho _{n+1}}{\rho _{n}}}\,}$ converge vers une limite fixe ".
↑ – J. Harris, Lexicon technicum, or, An universal English dictionary of arts and sciences : explaining not only the terms of art, but the arts themselves, 1708, blz. 717: "SERIES, properly speaking, is an orderly Process or continuation of things one after another. 'Tis commonly in Algebra connected with the Word Infinite, and there, by Infinite Series, is meant certain Progressions, or Ranks of Quantities orderly proceeding, which make continual Approaches to, and if infinitely continued, would become equal to what is inquired after."
– E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences; volume the second, 1728 (idem 6th edition 1750), blz. 59: "SERIES, in Algebra, a Rank or Progression of Quantities, increasing or decreasing in some constant Ratio, which, in its Progress, approaching still nearer and nearer some sought Value, is called a Converging Series, and if infinitely continued, becomes equal to that Quantity; whence its usual Appellation of Infinite Series: Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."
– D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1765, volume XV blz. 93: "SERIE ou SUITE, en Algebre, se dit d'un ordre ou d'une progression de quantité, qui croissent, ou décroissent suivant quelque loi : Lorsque la suite ou la série va toujours en approchant de plus en plus de quelque quantité fini , & que par conséquent les termes de cette série, ou les quantités dont elle est composée, vont toujours en diminuant, on l'appelle une suite convergente, & si on la continue à l'infini, elle devient enfin égale à cette quantité. Ainsi 1, ½, ¼, ⅛, &c. est une série convergente."
↑ – A.-L. Cauchy, Cours d'analyse, 1821, blz. 124: "[...] pour que la série ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2}\ldots u_{n},u_{n{+}1},\,\&\mathrm {c} .\,\ldots \,}$ soit convergente, il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme ${\textstyle \,s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\,\&\mathrm {c} .\,\ldots {+}u_{n-1}\,}$ vers une limite fixe s ".
Kennelijk gaat het bij de keuze tussen komma's en plustekens niet om een inhoudelijk verschil maar om de voorkeur van de auteur. Want waar N.H. Abel (in Untersuchungen über die Reihe ... 1826) A.-L. Cauchy (Cours d'analyse 1821) citeert, veranderen de komma's in bovenstaande reeks-notatie in plustekens: ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ ; zie "pages":[328,"panX":0.406,"panY":0.972,"view":"info","zoom":0.917} Crelle's Journal, voetnoot op blz. 316].
– M. Ohm, Versuch eines vollkommen consequenten Systems der Mathematik, zweiter Theil, 1829, blz. 1: "Eine Reihe von Ausdrücken von der Form ${\textstyle \,a,\,a+d,\,a+2d,\,a+3d,\,a+4d,\,\mathrm {etc.etc.} \,[...]\,}$ ,".
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "So sind ${\textstyle \,a,2a,3a,4a,5a,\ldots \,;\quad 1,2x,3x^{2},4x^{3},\ldots \,}$ Reihen," .
– J.M. Reichert, Analyse, vraagstukken met beknopte aanduiding der theorie ..., 1945 (of 1946), blz. 31: "Ga na of de reeks: ${\textstyle \,x\,\mathrm {sin} \,x,\,x^{2}\,\mathrm {sin} \,2x,\,x^{3}\,\mathrm {sin} \,3x\ldots \,}$ convergent of divergent is voor x = [...] (T.H. 1928). (Commentaar: in de beschrijving van de oplossing zijn de komma's vervangen door plus- en mintekens.)
↑ – E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences, 1728 (idem 6th edition 1750), bij trefwoord 'Series': "Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which Always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."
↑ – D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1754, volume IV blz. 165: "CONVERGENT, adj. en algebre, se dit d'une série, lorsque ses termes vont toûjours en diminuant. Ainsi 1, ½, ¼, ⅛, &c. est une série convergente."
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Zamenloopende of convergerende reeksen zijn dezulke, welker opeenvolgende leden gedurig in waarde afnemen. "
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 120: "Nur konvergirende, das ist, abnehmende Reihen können Grenzen (ihrer Summen) haben, weil ihr sogenanntes letztes Glied verschwindet; ".
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Ich werde unter Convergenz, einer unendlichen Reihe schlechthin beigelegt, nichts anderes verstehen, als die beim unendlichen Fortschreiten der Reihe eintretende unendliche Annäherung ihrer Glieder an die 0. "
– De 'nulrij'-betekenis van "convergente Reihe" wordt ca. 1914 verouderd genoemd. In een voetnoot op blz. 833 van deel II-1.2 van de Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften zegt H. Burkhardt: Das Wort Konvergenz gebraucht übrigens Gauss bekanntlich noch im alten Sinne, in dem es sich nur auf die unbegrenzte Abnahme der Reihenglieder, nicht auf die Existenz eines Grenzwertes für die Reihensumme bezog." .
↑ C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenz-werthe".
↑ – J.-J. de Marguerie, "Mémoires de l'académie royale de marine, tome premier; Mémoire sur les suites, 1773, blz. 142-240: "Les suites sont une des plus grandes parties de calcul; la plus importante opération que l'on fasse sur elles, est de les sommer: mais de toutes les suites qui se rencontrent en cherchant à résoudre un problème, le nombre des suites exactement sommables est si petit, que les Géomètres ont tourné toute leur attention vers les suites insommables." [Commentaar: opvallend is het gebruik van 'suite' en niet 'série'.]
– A. Rees, The CYCLOPAEDIA; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literature, vol. XXXII, 1819, lemma 'Series' vijfde tekstkolom: "[...] that James [Bernoulli], having turned his attention to the doctrine of series, had discovered a few which were summable, and which he proposed to his brother;".
– G.S. Klügel, C.B. Mollweide, Mathematisches Wörterbuch, vierter Theil, 1823, blz. 560: "Summierbare Reihe ist, deren Summe durch einen endlichen Ausdruck sich angeben lässt."
– J. de Gelder, Beginselen der differentiaal-, integraal- en variatie-rekening, tweede deel, 1850 (bewerkt door Verdam), blz. 390: "Eene oneindig voortloopende reeks wordt gezegd sommeerbaar te zijn, wanneer de som van al derzelver termen in eene bepaalde stelkundige of transcendentale functie der veranderlijke grootheid, van welke de termen der reeks afhangen, volkomen en naauwkeurig wordt voorgesteld."
– D. Bierens de Haan, 'De Gids' boekbespreking: J. de Gelder, D&I-rekening deel 2, 1850, jrg.14 blz. 650: "Latere wiskundigen (onder anderen Prof. Schlömilch) noemen het voorstellen eener oneindige reeks onder den vorm van eene bepaalde integraal, dat is, van eene geslotene uitdrukking, het sommeren derzelve [...] kan dan zulk eene integraal door eene stelkundige of transcendentale functie worden voorgesteld - iets dat niet altijd het geval is - zoo is de reeks gesommeerd volgens de vroegere, minder algemeene bepaling."
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 86: "Solche Reihen, deren Summe in geschlossener Form dargestellt werden konnte, wurden in früheren Zeiten "summierbar" genannt; dieser Begriff ist aber wohl von dem modernen Begriffe der Summierbarkeit einer Reihe [Cesàro-sommeerbaarheid] zu unterscheiden."
– M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of mathematical functions", 1965, Dover edition blz. 1005, sectie 27.8.6: "Sectie-hoofdje Summable Series, gesloten vormen voor de som van een zestal rijen."
– A.D. Wheelon, Tables of summable series and integrals involving Bessel functions, 1968, blz. 3: "A surprisingly number of infinite series can be summed in closed form, just as many integrals can be done analytically."
↑ – J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable I, 2ième éd. 1904, blz. 114: "on désigne sous le nom de série un symbole tel que $\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,$ " [Commentaar: In de 1ière édition 1886, blz.45 is nog géén sprake van 'un symbole'; wél, in één zin: "la suite infinie ${\textstyle \,s_{1},s_{2},...,s_{n},...,\,}$ est convergente", voorafgegaan door het definiërende: "La série ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ , est dite convergente,".]
– E. Cesàro, Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung, 1904, blz. 118: "Eine der wichtigste Anwendungen der Theorie der Grenzwerte besteht darin, zu untersuchen, welche Bedeutung einem Aggregat von unendlich vielen Zahlen ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ beigelegt werden muss, und ob auf ein solches Aggregat, welches man als eine Reihe bezeichnet, immer die Eigenschaften die aus einer endlichen Anzahl von Teilen zusammengesetzten Summen anwendbar sind."
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (idem: 5.Aufl. 1964, blz. 100) blz. 93-94: " Unendlichen Reihen. Das sind Zahlenfolgen, die auf folgende Art gegeben werden. [...] Man gebraucht fur diese Folge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ die Symbolik $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,$ oder kürzer $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,$ oder noch kürzer und prägnanter ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ und nennt dies neue Symbol eine unendliche Reihe;" . [Commentaar: dezelfde naam voor een rij en voor een symbool !]
– F. Schuh, Lessen over de hoogere algebra III 1926, blz. 181: "De uitdrukking u₁+u₂+u₃+ ··· of ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }u_{n}\,}$ wordt een oneindige reeks (ook wel oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks) genoemd."
– TEGENSTEM: Door E.J. Dijksterhuis wordt de tekst van Schuh over 'reeksen' in alle opzichten volledig afgekraakt in een boek-recensie in het BIJVOEGSEL van het NTvW, 3e jrg. 1926/27 nr. 3-4, blz. 98 vanaf 'Intusschen ...'.
– P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Men noemt deze uitdrukkingen [ ${\textstyle u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ ] oneindig voortlopende reeksen, of kortweg reeksen."
– W.K. Morrill, Calculus, 1956, section 15.2: "If ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\cdots ,u_{n},\cdots \,}$ is a given neverending sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– H. von Mangoldt, K. Knopp, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (vanaf 6. Aufl. 1932 ingrijpend bewerkt door Konrad Knopp), 11. Aufl. 1958 blz. 196: "Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ " .
– L.J. Adams, P.A. White, Analytic geometry and calculus, 1961, blz. 566: ". . .the expression ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– J.R. Britton, R.B. Kriegh, L.W. Rutland, Calculus and Analytic Geometry 1963, blz. 835: "An expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\ldots \,=\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ is called an infinite series" .
– L. Kuipers, Handboek der wiskunde, 1963 (idem 2e druk 1966), blz. 220: "Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}u_{4}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ heet een (oneindige) reeks."
– E. Hille, Analysis, volume I, 1964, blz. 276: "With the sequence ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ we define the series ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ , which is usually written ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}\,}$ . This symbol ..." .
– W. Rudin, Principles of mathematical analysis 1964, blz. 51: "The symbol ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ we call an infinite series, or just a series".
– F. Bowman, F.A. Gerard, Higher calculus 1967, blz. 98: "An expression of the form ${\textstyle \ u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series" .
– F. van der Blij, J. van Tiel, Infinitesimaalrekening, 1969, blz. 213: "De uitdrukking ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ , ook wel geschreven als ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ , noemen we een reeks; ".
– Sze-Tsen Hu, Calculus 1970, blz. 614: "For any sequence ${\textstyle \,u:N\to R\,}$ , the expression ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is known as the (infinite) series with ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ as terms.
– The Open University, U.K., Sequences and limits II 1971, blz. 38: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ " .
– J.H.J. Almering c.s., Analyse, 2e druk 1977 (idem 1e druk 1974), blz. 216: "De aldus gevormde rij ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ wordt aangegeven met ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ en deze symbolische uitdrukking wordt reeks genoemd."
– H.-J. Schell, Unendliche Reihen, 1978, blz. 9: "Einen solchen Ausdruck nennt man eine unendliche Reihe (oft auch kurz Reihe)."
– C. Blatter, Analysis I 1980, Kapitel 7: "Ist ${\textstyle (a_{k})}$ eine Folge von Zahlen oder Vektoren, so heisst der Ausdruck ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ eine Reihe" .
– R.E. Larson, R.P. Hostetler, Calculus with analytic geometry, 1986, section 10.3: "If ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is an infinite sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series (or simply a series)."
– D.B. Small, J.M. Hosack, Calculus - An integrated approach 1990, blz. 569: "An infinite series or just series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ or, using the summation notation, ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ ".
– W. Swokowsky, Calculus, fifth edition 1991, blz.533: "An ínfinite series (or simply a series) is an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots }$ , or, in summation notation, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ or ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ " .
– Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik, 14. Aufl. 1995, "Ein solcher Ausdruck heisst unendliche Reihe."
– W. Walter, Analysis 1, 5. Aufl. 1999, blz. 86: "Wir nennen das Symbol ${\textstyle \,\sum _{n=p}^{\infty }a_{n}\,}$ oder $\,a_{p}{+}a_{p+1}{+}a_{p+3}{+}\ldots \,$ eine unendliche Reihe".
– V.A. Zorich, Mathematical analysis I, 2002, blz. 95: "The expression ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ is [...] usually called a series or an infinite series".
– H. Maassen, Calculus 1 en 2, 2004, blz. 42: "Een uitdrukking als ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ heet een reeks."
– G.B. Thomas Jr, Calculus - Eleventh edition 2005, blz. 763: "Given the sequence of numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}}$ , an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is an infinite series ".
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "We use variations [of ${\textstyle \,\left(\sum f\right)(n)\,}$ or ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}\,}$ ] , such as ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}_{n\geq 1}=\{\sum _{j=1}^{n}f(j)\}_{n\geq 1}\,}$ ."
– C.H. Edwards, D.E. Penney, Calculus - Early Transcendentals, 7th edition 2008, blz. 732: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ " .
– J. Stewart, Calculus, early transcendentals; 6th edition, 2008, blz. 687: ". . . an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ which is called an infinite series (or just series) ".
– J. Barnard (Univ. of South Alabama), Calculus III, 2012: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a1+a2+a3+\cdots \,}$ ."
– K. Hambrook (Univ. of Rochester-NY), Lecture notes, 2013, p.1: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ".
– P.W. Hemker, Echte wiskunde, 2013, blz. 67: " 'oneindige reeks' betekent: een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \ }$ of ${\textstyle \,\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$ "
– P. Shunmugaraj, Indian Inst. of Technology, Kanpur, Mathematics I, MTH 101A, Lecture Notes, 2016, Lecture 11-13 blz. 1: "Let (a_n) be a sequence of real numbers. Then an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ [...] is called a series."
– C. Caenepeel, J. De Beule, I. Goyvaerts, Wiskunde: Voortgezette Analyse (Vrije Universiteit Brussel) 2017, blz. 7: "Gegeven is de numerieke rij ${\textstyle \,(u_{n})}$ . Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}\ldots \,}$ of, korter, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ noemt men een numerieke reeks.
↑ – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 85: "Ist in (3) [ ${\textstyle s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}}$ ] n eine endliche Zahl, so heisst die Summe rechter Hand eine endliche Reihe; lässt man aber in dieser Formel den Stellenzeiger n über jede Grenze hinauswachsen, so entsteht die unendliche Reihe ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ ."
↑ – G. Schouten, De grondslagen der rekenkunde, 1916 (idem in 2e druk 1927): "Wanneer tusschen elk paar opvolgende termen eener onbegrensde getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat er een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 1960 (idem: 5e druk 1967), blz. 92: "Wanneer tussen elk paar opvolgende termen ener oneindige getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks of kortweg reeks ."
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 60: "We spreken nu af, dat we de 'oneindige veelterm' ${\textstyle \,{\frac {1}{2}}{+}{\frac {1}{4}}{+}{\frac {1}{8}}{+}{\frac {1}{16}}{+}\ldots \,}$ een convergente reeks zullen noemen, omdat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }s_{n}\,}$ bestaat. Let wel: De woorden 'oneindige veelterm' slaan op de vorm van de notatie; ze definiëren nog niets!"
↑ – H.B.A. Bockwinkel, Kollege integraalrekening, 1932, blz. 2: "Onder een oneindige reeks verstaat men een oneindige rij, die gegeven is door zijn verschilrij."
↑ – J. Bloemsma, Mathematisch tijdschrift 'Christiaan Huygens', jrg.1934-1935 nr.VI, blz. 289: "Een reeks bestaat uit de som harer oneindig aantal termen, waarbij de laatste gedefinieerd zijn voor hun rangnummer in de som,".
– TEGENSTEM: P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Zulk een reeks moet niet gedefinieerd worden als de som van een oneindig aantal termen, maar als limiet van de som van een eindig aantal termen. "
– L.A. Lyusternik, A.R. Yanpols'skii, Mathematical analysis, (Russisch 1961) Engels 1965, blz. 85: "Infinite series, or simply series, are closely connected with sequences, e.g. ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \ =\ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ }$ is "the sum of an infinite number of terms". "
– TEGENSTEM: H. Meschkowski Mathematik als Bildungsgrundlage, 1965, blz. 54: "Unsere Paradoxie macht deutlich, dass ein Grenzwert einer Folge von Summen keine Summe ist, selbst wenn man sie formal als Summe schreibt."
– TEGENSTEM: H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Keinesfalls ist ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \ }$ als eine "Summe von unendlich vielen Summanden" aufzufassen — ein Unbegriff, der nur Verwirrung stiftet."
– TEGENSTEM: H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Sie [die Notationen] sind ausserdem suggestiv bis an die Grenze der Gefährlichkeit, erwecken sie doch den Anschein, man würde aus der unendlichen Folge der Summanden a_n durch unendlich viele Additionen die Summe a erhalten; das sind aber selbstverständlich nur leere Worte."
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "Voordat we aan een reeks, dwz. aan zo'n som van oneindig veel getallen, een getalwaarde kunnen toekennen, [...]."
↑ – O. Haupt, Differential und Integralrechnung, I. Band, 1938, blz. 49: "Vom Begriff der Folge ist scharf zu unterscheiden der Begriff der (unendlichen) Reihe. Eine solche Reihe entsteht aus einer vorgegebenen Folge {a_ν}, indem man die Folge {s_n} der Teilsummen [...] bildet, und die "Reihe" ist — wenigstens für uns — gleichbedeutend mit der Folge der Teilsummen; . [...] Wir haben so den Begriff der Reihe zurückgeführt auf den Begriff der Folge (der Teilsummen)."
↑ – N. Bourbaki, Éléments de mathématique (première partie), Livre III (Topologie générale), Chapitre III (Groupes topologiques), éd. 1, 1942, blz. 42; éd. 2, 1951 blz. 42; éd. 3(revue et augmentée) 1960, blz. 66: "On appelle série définíe par la suite (x_n), ou série de terme générale x_n (ou simplement série (x_n), par abus de langage, s'il ne risque pas d'y avoir de confusion), le couple des suites (x_n) et (s_n) ainsi associées."
– M. Zamansky, Introduction à l'algèbre et l'analyse modernes, 1958, blz. 279: "On appellera série le couple des deux suites (u_n) et (s_n)."
– R.C. Buck, Advanced calculus, second edition, 1965, blz.158: "An infinite series of real numbers is a pair of real sequences ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{A_{n}\}\,}$ whose term are connected by the relations [...] ".
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, second edition, 1974, blz. 185: "The ordered pair of sequences ({a_n}, {s_n}) is called an infinite series."
– K. Maurin, Analysis, part I, 1976 (Pools 1973), blz. 116: "A pair ${\textstyle \,(\,(y_{n})_{0}^{\infty },\,(S_{n})_{0}^{\infty })\,}$ is called a series with the general term ${\textstyle \,y_{n}\,}$ ."
– M.H. Protter, C.B. Morrey, A first course in real analysis, 1977, blz. 210:" "An infinite series is an ordered pair ${\textstyle \,(\,\{u_{n}\},\,\{s_{n}\})\,}$ of infinite sequences in which ${\textstyle \,s_{n}=u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}\,}$ for each ${\textstyle n}$ ."
– Encyclopaedia of Mathematics, 1992, volume 8 blz. 284: "A pair of sequences of complex numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{s_{n}\}\,}$ [...] is called a (simple) series of numbers " .
– E.D. Gaughan, Introduction to analysis (1st ed. 1968) 5th ed. 1998, blz. 173: "An infinite series is a pair ${\textstyle (\,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\ \{S_{n}\}_{n=1}^{\infty })\,}$ [...]."
↑ – L.M. Kells, Calculus, 1943, blz. 397: "A series is the indicated sum of a succession of terms related by a law."
– R.R. Middlemiss, Differential and integral calculus, 1946, blz. 392: "The indicated sum of a sequence is called a series. "
– L. Zippin, Uses of infinity, 1962 (MAA nr.7), blz. 65: "A sequence of terms with indicated additions (or substractions) is called a series."
– L.A. Pipes, L.R. Harvill, Applies mathematics for engineers and physicists, third edition, 1970, blz. 820: "A series is the indicated sum of the terms of a sequence."
– F. Ayres, Differential and integral calculus, in SI metric units, 1972, blz. 220: "The indicated sum ${\textstyle \,\sum s_{n}\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }s_{n}\ =\ s_{1}{+}s_{2}{+}s_{3}{+}\ldots {+}s_{n}{+}\ldots \,}$ of an infinite sequence ${\textstyle \,\{s_{n}\}}$ is called an infinite series."
– J.R. Lee, Advanced calculus with linear analysis, 1972, blz. 22: "An infinite series is an indicated sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ =\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}\ =\ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\,}$ ."
– J.E. Weber, Mathematical analysis, 4th edition 1982, blz. 317: "a series is the indicated sum u₁+u₂+ ··· of the terms of a sequence. "
– J. Daintith, R.D. Nelson, The Penguin dictionary of mathematics, 1989, blz. 292: " series = The indicated sum of the terms of a sequence.".
– G. James, R.C. James, Mathematical dictionary, 5th edtion, 1992, blz. 357: " Series = The indicated sum of a finite or infinite sequence of terms."
– W. Kaplan, Advanced calculus; fifth edition, 2003, blz. 375: "An infinite series is an indicated sum of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ , going on to infinitely many terms."
↑ – H. Looman, Beginselen der hogere wiskunde, deel II, 2e druk 1946, blz. 18: "Onder een reeks verstaat men een onbegrensd voortgezette rij van getallen u₁, u₂, u₃, ..., die opgeteld moeten worden,".
– J.H.C. Lisman, Wiskundige propaedeuse voor econometristen, 2e druk 1963, blz. 18, 21: "Een opvolging van elementen [...] noemt men een rij. Zodra men deze gaat sommeren spreekt men van een reeks ".
– The universal encyclopedia of mathematics, 1964 (Duits 1960), blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence." Blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series."
– J. Marsden, A. Weinstein, Calculus II, 1985, sectie 12.1 blz. 561: "An infinite series is a sequence of numbers whose terms are to be added up.".
↑ – L.V. Ahlfors, Complex analysis, 1953 blz. 133 (idem 2nd ed. 1966, blz. 35): "An infinite series is a formal infinite sum"
– The universal encyclopedia of mathematics 1964 (Duits 1960), blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series." Blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence."
– R.A. Adams, Calculus, a complete course; fifth edition, 2003, blz. 527: "An infinite series, usually just called a series, is a formal sum of infinitely many terms."
– Wikipedia-nl, Reeks (wiskunde), Definitie: "Voor iedere rij ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som ${\textstyle \ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots }$ ."
↑ – G.E.F. Sherwood, A.E. Taylor, Calculus, 3rd edition 1954, blz. 383: "This [u₁+u₂+u₃+ ··· +u_n+ ··· ] formal expression is called an infinite series."
– J.H. Mathews, R.W. Howell, Complex analysis for mathematics and engineering; fourth edition, 2001, Chapter 4: "The formal expression ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }z_{k}\,=\,z_{1}{+}z_{2}{+}\cdots {+}z_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series,"
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker: Teil 1, 2006, blz. 156: "Man nennt den formalen Ausdruck ${\textstyle \,a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \,}$ eine unendliche Reihe".
↑ – G.R. Veldkamp, Inleiding tot de analyse, 1957, blz. 259: "Een reeks is dus niets anders dan de rij van zijn partiële sommen." ["Zijn" verwijst naar het te definiëren object: cirkeldefinitie.]
↑ Bij deze omschrijving van de betekenis worden twee aspecten genegeerd: (1) het feit dat een rij altijd bestaat uit de partieelsommen van een andere rij (de verschilrij van de eerste) en er dus geen sprake is van een speciaal soort; (2) het strijdig zijn met iedere logica om de a_n' s aan te duiden als 'de termen van de nieuwe rij (s_n)', en om z'n eventuele limiet aan te duiden met 'z'n som'.
– W.J. Vollewens, Repertorium der wiskunde voor ingenieurs, deel I, 1950, blz. 195: "Is een variant [= oneindige rij] gegeven [...] dan kan met daaruit afleiden de zg. somvariant [...] Deze somvariant heet een reeks;" .
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, a modern approach to advanced calculus, 1957, (6th printing 1973) blz. 355: "A sequence {s_n} formed in this way is called a series (or an infinite series)."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 297: "Een reeks is een rij die volgens een bepaald optellingsschema uit een andere rij is afgeleid." (Dit verschilt van 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".)
– T.M. Apostol, Calculus, volume I, One-variable calculus, with an introduction to lineair algebra; second edition, 1967, blz. 384: "The sequence {s_n} of partial sums is called an infinite series, or simply a series ".
– M. Rosenlicht, Introduction to analysis, 1968, blz. 141: "If ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,}$ is a sequence of real numbers, by the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ also denoted ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ , we mean the sequence ${\textstyle \,a_{1},\,a_{1}{+}a_{2},\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\,\ldots \,}$ ."
– C.W. Burrill, J.R. Knudsen, Real variables, 1969, blz. 121: "The sequence {s_n} is called an infinite sum or infinite series or simply a series of the elements of {a_n}."
– N.P. Zwikker, J.B. Ham, Analyse 2, 1970, blz. 79: "de rij {S_n} heet dan een reeks."
– K. Endl, W. Luh, Analysis I, 1973, p.31: "Die Folge ${\textstyle \,\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ [...] nennen wir eine unendliche Reihe und bezeichne sie mit ${\textstyle \,\sum _{\nu =1}^{\infty }a_{\nu }\,}$ ."
– M. Barner, F. Flohr, Analysis I, 1974, blz.141: "Es sei ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ eine Zahlenfolge. Durch die Festsetzung ${\textstyle \,s_{n}=\,\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ wird eine Zahlenfolge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ definiert, die man als die zu ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ gehorende unendliche Reihe bezeichnet."
– H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Die unendlichen Reihe - oder kurz die Reihe - mit den Gliedern ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots \,}$ , in Zeichen ${\textstyle \ \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\ }$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ , bedeutet eine Folge, nämlich die Folge der Teilsummen ${\textstyle \,s_{n}\,:=\,a_{0}{+}a_{1}{+}\cdots a_{n}(n=0,1,2,\cdots )}$ .
– J.F. Hurley, Intermediate calculus, 1980, section 2.3: "An infinite series [...] is a sequence (s₁, s₂, ...,s_n, ...) where s₁ = a₁, s_n = a_n+s_n-1".
– O. Foster, Analysis 1, 4. Auflage 1983, blz. 23-24: "Die Folge [...] der Partialsummen heisst (unendliche) Reihe und wird mit ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ bezeichnet."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79 "Die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ist also nichts anderes als die Summenfolge ${\textstyle \,(u_{n})_{n}\,}$ der Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}}$ ."
– J.H.J. Almering, H. Bavinck, R.W. Goldbach, Analyse, 5e druk 1986 (idem 6e druk 1989), blz. 514: "Uitgaand van een rij (a_n) kan men een nieuwe rij (s_n) construeren [...]. Deze nieuwe rij noemen we de bij a_n behorende reeks (Engels: series).
– H.-G. Friedemann, Arithmetik, 1990, blz. 299: "Die Folge (s_n) der Partialsummen s₁, s₂, s₃, ..., s_n heisst die zu (a_n) gehörende Reihe.
– L. Leithold, The calculus, with analytic geometry; sixth edition, 1990, blz. 701: "If {u_n} is a sequence and . . . then the sequence {s_n} is called an infinite series."
– D. Dijkstra e.a., Dictaat analyse B (universiteit Twente), 1999, blz. 1: "De getallenrij (s_k) wordt de bij de getallenrij (a_n) behorende reeks genoemd."
– S.R. Lay, Analysis, with an introduction to proof, 2001, blz.268: "We also refer to the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ of partial sums as the infinite series (or simply the series) ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ."
– O. Riemenschneider, Analysis I, 2.Aufl. 2004, blz. 13: "Außerdem kann man aus Folgen durch Addition ihrer Glieder neue Folgen bilden, die man Reihen nennt."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "series are sequences of partial sums,".
–- L. Grüne, Analysis I und II, 2012, blz. 57: "Für eine reelle Folge ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ heisst die Folge ${\textstyle \,b_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ (unendliche) Reihe."
– U. Reif c.s., Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I, II, 2015 (TU-Darmstadt), blz. 82: "Man bezeichnet die Folge (s_m)_m als die Reihe".
– Wikipedia-de, Reihe: "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."
↑ – Fr.A. Willers, Willers Elementar-Mathematik, 12.Aufl. 1965, par. 47: "Die Summe der Glieder einer geometrische Zahlenfolge nennt man geometrische Reihe."
– E.J. Borowski, J.M. Borwein, Collins dictionary of mathematics, 1991, blz. 533: " series = the sum of a finite or infinite sequence of terms" .
– Wikibooks, Calculus/Definition of a Series, 2019, regel 1: "A series is the sum of the terms in a sequence."
↑ – P. Lax, S. Burstein, A. Lax, Calculus with applications and computing, volume I, 1976, blz. 21: "the infinite sum, traditionally called infinite series, "
– P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: " series = Generally, but not always, an infinite sum."
– S.I. Grossman, Calculus, second edition, 1981, blz. 628: "the infinite sum ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\ =\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series (or, simply, series)."
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Let ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ be an infinite sequence. We refer to the infinite sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ as an infinite series."
– Wikipedia-en, Series, Basic properties: "An infinite series or simply a series is an infinite sum, represented by an infinite expression of the form $\,a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$ "
↑ – Skolöverstyrelsen, Matematik-terminologi i skolan, 1979, blz. 115: "En serie erhålls, när elementen i en oändlig talföljd successivt adderas." (Een reeks ontstaat wanner de elementen van een oneindige getallenrij achtereenvolgens worden toegevoegd.).
– M. de Gee, Wiskunde in werking, 1995, blz. 5: "Sommeren we alle termen van een oneindige rij dan krijgen we een reeks: ".
– A. Croft, R. Davidson, Mathematics for engineers, 2004, blz. 883: "When the terms of an infinite sequence are added we obtain an infinite series."
↑ – P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: "A mathematical process which calls for an infinite number of additions."
↑ – W. Ledermann, S. Vajda, Handbook of applicable mathematics, volume IV: Analysis, 1982, blz. 13: "A series consists of a sequence (a_n) of terms from which a sequence (s_n) of partial sums is derived,".
↑ R.S. Borden, A course in advanced calculus, 1983, blz. 300: "An infinite series, more commonly, a series is a sum of a countable number of terms."
↑ In deze betekenis wordt 'de reeks' steeds direct gevolgd door 'van' en vervolgens de aanduiding van een rij. Het opvatten van 'reeks' als de naam van een zekere afbeelding maakt het onmogelijk om een betekenis te geven aan combinaties als 'termen van een reeks', 'som van een reeks', 'convergentie van een reeks' .
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Een mogelijkheid om met behoud van het woord reeks samenhangend te spreken is: overgaan op het begrip 'reeks van een rij'. [...] Men doet er verstandiger aan de terminologie en notatie op het gebied van reeksen als 'typografische afkortingen' te beschouwen."
– E. Fisher, Intermediate real analysis, 1983, blz. 151: "If ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ is a real sequence, then the sequence ${\textstyle \,\langle S_{n}\rangle }$ , [...] is called the infinite series of terms of the sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ ."
– S. Haschler, schule 2005-06, blz. 3 'Reihen': "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."
– R. Mayer, Infinite series, 2006 (Reed College), " $\,\sum$ is actually a function that maps complex sequences to complex sequences."
– M. Veraar, Wiskundige structuren (TU Delft), 2016, module 6.1: "Laat ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ een rij reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen ${\textstyle \,(s_{n})_{n\geq 0}\,}$ wordt de reeks van ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ genoemd ".
– B. Keller, Folgen und Reihen 2017 blz. 4: "Die Folge ${\textstyle (s_{n})\,}$ [...] nennen wir Reihe der Folge ${\textstyle (a_{n})\,}$ ."
– J. Leydold, Grundlagen 2017, blz. 34: "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."
↑ – O. Teller, Vademecum van de wiskunde, Prisma 1033, 13e druk 1994, blz. 32: "'Vormt men de som van alle termen [van een meetkundige rij], dan ontstaat een meetkundige reeks."
↑ – L.J. Goldstein, D.C. Lay, D.I. Schneider, N.H. Asmar, Calculus & its applications, 11th edition, 2007, blz. 569: "An infinite series is an infinite addition of numbers ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ "
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Note here that sequences and series are intimately connected, but that they represent different concepts. A sequence is always just an infinite list of numbers without any additional structure; a series always refers to an infinite addition of numbers."
↑ – P.J. Bartlett, CALifornia institute of TECHnology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "If it does [converging partial sums], we then call the limit of this sequence the series associated to ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ ,".
– M. Karow, Analyse I für Ingenieure (Folien), 2018(?), Thema: unendliche Reihen: "Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen ".
↑ – A Eickhoff-Schachtebeck, A Schöbel, Mathematik in der Biologie, 2014, p. 75: "Interessiert man sich nicht für die einzelnen Glieder a₁, a₂, a₃, ... einer Folge, sondern für deren Summe a₁+a₂+ ··· +a_n bis zum Glied n, so erhällt man eine Reihe."
↑ – Wikipedia-en, Series, zin 11: "a series, which is the operation of adding the a_i one after the other"
↑ – M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz.324: "simply the adding up of the infinite number of terms of a sequence."
– Wikipedia-nl, Reeks (wiskunde), zin 1: "Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen."
↑ – P. Levrie, Pythagoras (tijdschrift), 2014 jrg. 53 nummer 5, blz. 8: "Wat is een reeks? Een reeks in de wiskunde is een som met oneindig veel termen."
– Wikibooks, Einführung in die Funktionentheorie/ Folgen und Reihen, 2015: "Unter einer unendlichen Reihe versteht man – wie im Reellen – eine Summe mit unbeschränkt vielen Summanden, die nach einer bestimmten Vorschrift (Bildungsgesetz) berechnet wurden."
↑ – G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "Les 'séries' sont les suites ${\textstyle \,(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,}$ récurrentes définié par une relation de type: ${\textstyle \,s_{0}=u_{0}\ ,\ s_{n}=s_{n{-}1}+u_{n}\,}$ ".
↑ – P. Wijdenes, Middel-algebra, deel II, 4e druk 1949, blz. 118: "Om te kennen te geven, dat we aan de partiële sommen aandacht schenken, noemen we de oneindige rij getallen een oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks " .
– D.A. Quadling, Mathematical analysis, (first published 1955) reprint 1968, blz. 85: "When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINIE SERIES. The series is denoted by the symbol ${\textstyle \,\sum u_{r}\,}$ ; no numerical value is associated with this symbol, which is simply a convenient name for the series whose r-th term is u_r."
– R.E. Johnson, F.L. Kiokemeister, Calculus, with analytic geometry; fourth edition, 1969, blz. 448: "This leads to a study of the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ associated with each sequence ${\textstyle \,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots \,}$ ."
– H.J. Keisler, Elementary calculus, 1976, blz. 529; idem 2012, blz. 501: "We can go from this example to the general notion of an infinite sum. When we wish to find the sum of an infinite sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ we call it an infinite series and write it in the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ ."
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "In de wiskunde is er wel een duidelijk verschil [in betekenis tussen de woorden "rij" en "reeks" ]: wanneer we praten over een reeks, dan wordt daarmee meteen aangegeven dat we de intentie hebben om de getallen van de rij op te tellen. Laat ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n\geq 0}\,}$ een rij complexe getallen zijn. De daarbij horende reeks wordt genoteerd als . . .". (Commentaar: onvermeld blijft wat bedoeld wordt met 'de daarbij horende reeks'.)
↑ – T.J.I. Bromwich, An introduction to the theory of infinite series, 1908, blz. 15: "if the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ is convergent and has the limit ${\textstyle \,S\,}$ , the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,=\,\sum _{1}^{\infty }a_{n}\,=\,\sum a_{n}}$ , is convergent; and ${\textstyle \,S\,}$ is called the sum of the series."
– É. Goursat, Cours d'analyse mathématique I, 2e édition, 1910, blz. 9: "Étant donnée une suite infinie quelconque, dont le terme général est u_n, on dit que la série u₀+u₁+···+u_n+··· est convergente, si la suite formée par les sommes successives des termes de cette série [...] est elle-même convergente."
– K.A. Ross, Elementary analysis: the theory of calculus, 1980, blz. 68: "The infinite series ${\textstyle \,\sum _{n=m}^{\infty }a_{n}\,}$ is said to converge provided [...] ".
– D. Varberg, E.J. Purcell, S.E. Rigdon, Calculus, 8th edition 2000, blz. 436: " [...] consider the infinite series " .
↑ – P. Epstein (oorspr. Italiaans E. Pascal), Repertorium der höheren Analysis, 1. Hälfte, 2. Aufl. 1910, blz. 421: "Kapitel VI. Reihen, Produkte, Kettenbrüche."

-- Hesselp (overleg) 25 mrt 2019 12:57 (CET)Reageren

Een uitvoerige studie. In ieder geval kan een deel hiervan in een sectie "Geschiedenis" worden opgenomen. Verder denk ik dat een concreet voorstel voor een wijziging van de tekst - een tegelijk - gedaan moet worden; als dat tenminste de bedoeling is.Madyno (overleg) 27 mrt 2019 10:10 (CET)Reageren

De opmerking van Bob.v.R in Café Exact, 4 apr 2019 01:14‎ over de link tussen 'reeksen' en 'sommatie' kan wat mij betreft resulteren in het (ook) al in de intro opnemen van de zin: "De studie van reeksen/rijen had aanvankelijk (18e eeuw) als hoofddoel het vinden van willekeurig scherpe rationale benaderingen voor de waarde van niet-rationale grootheden door opsplitsing in oneindig veel (snel genoeg klein wordende) rationale termen."

Op Bob.v.R's vraag naar 'de bedoeling van zijn tekst': het geven van die informatie welke van belang kan zijn voor iemand die om wat voor reden ook de rubriek 'Reeks' opzoekt, met vermijding van de hierboven al eerder genoemde 'manco's' in de huidige tekst. -- Hesselp (overleg) 6 apr 2019 23:04 (CEST)Reageren

Ingaan tegen adviezen bewerken

Reactie op deze bijdrage van Bob.v.R op WP:OV, 6 apr 2019 21:49‎.

Op Bob.v.R's eerdere opmerking over het vroeg noemen van 'sommatie' reageerde ik al hierboven. Wie is de volgende die hier een inhoudelijk onderdeel van de huidige artikeltekst aanwijst dat volgens hem/haar niet of onvoldoende in mijn 'uitklappen'-concept voorkomt? Hoeft van mij niet beslist op volgorde van boven naar onder, dat lijkt me niet zo praktisch.

Het op deze manier aan de orde laten komen van bezwaarpunten in dit overleg, lijkt me ver af te staan van wat Bob.v.R omschrijft als: "een integraal pushen van zijn lap [pov] tekst". -- Hesselp (overleg) 7 apr 2019 11:12 (CEST)Reageren

Ik ben na de inleiding gestopt met lezen. Het taalgebruik is veel te ingewikkeld en moeizaam van opbouw, waardoor de tekst verzand en slecht begrijpelijk wordt De introductie zin verzwijgt dat een reeks een optelling is, terwijl dat nu wel in het artikel staat. Na de eerste zin staat dat er onenigheid is over de nomenclatuur, terwijl dat nu juist, ondanks het overdonderende bronnengebruik, niet is voorzien van een bron, terwijl het wel zo belangrijk wordt geacht dat het in de introductie moet worden opgenomen.

Op eventueel weerwoord op bovenstaande zal geen antwoord van mij komen. Ik heb mijn argumentatie gegeven. Mochten die argumenten in de wind worden geslagen en de inleiding niet worden veranderd, dan is er geen consensus over de te plaatsen tekst. Groet, Brimz (overleg) 7 apr 2019 13:10 (CEST)Reageren

a. Bij 'ingewikkeld en moeizaam' in zin 2 van Brimz. Graag voorbeelden van dat 'ingewikkeld en moeizaam' in het door Brimz gelezen 'inleiding'-gedeelte. (Ik zie ze niet.)

b. Bij "dat een reeks een optelling is" in zin 3 van Brimz. De huidige beginzin spreekt van "is een uitbreiding van de optelling"; waar bij die 'uitbreiding' aan gedacht moet worden blijft in het midden. Ik vond juist ook bronnen die benadrukken dat 'een reeks' juist niet als 'optelling' (of als 'som') gezien moet worden. Zie bij 'TEGENSTEM' (4x) in voetnoot 36 onder mijn 'uitklappen'-overzicht.

c. Bij: "onenigheid over nomenclatuur" in zin 4 van Brimz. In mijn concept-intro staat: "onregelmatige nomenclatuur" ; dus vrijwel hetzelfde als het kopje boven de er direct op volgende hoofdsectie "Onregelmatig woordgebruik" met een tiental bronnen. Die bronnen acht ik daar beter op hun plaats dan in de inleiding; die inleiding mag/moet kort en globaal zijn (wellicht geldt dat minder voor de beginzin, de inhoudsomschrijving van het hoofdwoord). -- Hesselp (overleg) 8 apr 2019 11:05 (CEST)Reageren

Hesselp is weer bezig met een trucje. Tegen alle adviezen in dropt hij een lap tekst, met als doel om de huidige tekst, waarover na peilingen de concensus expliciet is vastgesteld (!!) te vervangen. En het trucje is nu dat de andere gebruikers dit in hapklare brokken 'moeten' gaan hakken om overzicht in de discussie te krijgen. Hallo? Dat is niet wat wordt bedoeld met het een voor een aanbieden van wijzigingen. Hesselp wenst de facto de adviezen te negeren. Goede trouw is kennelijk niet aan de orde bij Hesselp. Bob.v.R (overleg) 7 apr 2019 13:25 (CEST)Reageren

Hesselp heeft aangeven een lap tekst in de hoofdnaamruimte te willen gaan plaatsen waarbij een of meer Wikipedia-artikelen als bron worden opgevoerd. Dat is een van de redenen waarom ik bezwaar maak tegen de voorgenomen artikelbewerking. - Robotje (overleg) 7 apr 2019 17:56 (CEST)Reageren

Hm, ja. Er worden vijf artikelen op de Nederlands-, Duits- en Engelstalige Wikipedia aangehaald. Kan Hesselp voor ieder artikel uitleggen waarom dit zo gedaan is? Het zal neem ik aan bekend zijn dat Wikipedia niet te gebruiken is als betrouwbare bron. Encycloon (overleg) 7 apr 2019 19:34 (CEST)Reageren

@Robotje, @Encycloon. Eerst een vraag(je) aan Robotje: vallen de twee door mij genoemde bronnen die tot 'Wikibooks' behoren volgens jou ook onder de 'verboden' bronnen? (Ik weet niet wat de relatie tussen Wikibooks en Wikipedia is, evenmin wat die in jouw ogen is.)

Het antwoord op de opmerking van Robotje en de vraag van Encycloon lijkt me voor een goed verstaander aanwezig in de laatste zin boven die 'lap (uitklappen-)tekst': Bij het gebruik van dit overzicht als lemma-tekst, zal een groot deel van die bronnen waarschijnlijk achterwege kunnen blijven. Drie zinnen eerder staat die lap tekst aangeduid als overzicht van het wiskundig taalgebruik waarin het woord 'reeks', en het daarmee vaak nauw samenhangende 'convergent', een rol speelt. In dat taalgebruik-overzicht leek mij - en lijkt mij - het bepaald niet oninteressant om te tonen wat zuster-Wikipedia's als 'reeks-definitie' brengen. Mocht ik dit overzicht - qua vorm inderdaad dicht tegen de vorm aan van een concept-artikeltekst - na een overlegperiode klaar willen maken ter plaatsing, dan zal ik die vijf (ik telde er óók vijf, Encycloon) verwijzingen eruit halen. Beiden bedankt voor het attenderen hierop.

PS. Die vijf bronnen worden als onvoldoende betrouwbaar geacht om te dienen ter ondersteuning van uitspraken in de tekst; okee. Wat anders lijkt het me wanneer die anderstalige 'reeks-definities' aangehaald worden ter adstructie van de sterke variatie in de pogingen om te beschrijven wat een reeks ECHT IS. Is er in die situatie toch nog steeds bezwaar tegen? Of kunnen het dan 'voetnoten' heten, en geen 'bronnen'? -- Hesselp (overleg) 7 apr 2019 20:56 (CEST)Reageren

Over Wikibooks: dat is evenals Wikipedia een project van Wikimedia en vrij bewerkbaar waardoor de betrouwbaarheid van de auteur(s) niet duidelijk, of soms zelfs twijfelachtig is. Derhalve behoren die inderdaad ook tot de categorie 'onbetrouwbare bronnen'.

Je hebt de Wikipedia-artikelen dus alleen aangehaald als voorbeeld? In dat geval kun je ze beter weghalen lijkt me, het is voor de lezer relevant wat betrouwbare/gezaghebbende bronnen erover zeggen, niet wat Wikipedia-vrijwilligers ervan gemaakt hebben. Encycloon (overleg) 7 apr 2019 21:07 (CEST)Reageren

@Encycloon, Dank voor je duidelijke antwoord. Het lijkt me goed om daar rekening mee te houden. -- Hesselp (overleg) 7 apr 2019 23:56 (CEST)Reageren

Als ik de lijst met bronnen zo eens doorneem, lijkt mij er veel meer op te staan die slechts aangehaald zijn als voorbeeld. Veel bronnen zijn geen bronnen, maar tonen slechts aan dat een term ergens (be)staat. De context waarin die bewering is gedaan ontbreekt, zodat de "bron" meer een lege doos is, zonder echte inhoud. Niet alle bronnen zijn "leeg", maar een groot deel wel. Ik denk dat het goed is om het kaf van het koren te scheiden. Groet, Brimz (overleg) 7 apr 2019 21:35 (CEST)Reageren

@Brimz, Met je "tonen slechts aan dat een term ergens (be)staat" kan ik het geloof ik een heel eind heen eens zijn. Uit een eerste grove scan lijkt me te volgen dat het geldt voor alle bronnen/citaten in de voetnootnummers 3, 11-15, 18, 22, 25, 26, 27, 29(?). En ook nog voor de voetnootnummers 30-59, hoewel het me hier toch wel informatief lijkt om (minstens?) één of twee praktijkvoorbeelden per omschrijvings-variant te handhaven. Misschien de oudste en/of de meest recente? Hoe sterk is de voorkeur om een Nederlandstalige bron te laten voorgaan?

Dit zou een, niet onwenselijke, zeer forse opruiming betekenen. Hoewel . . . ik zie nu dat Encycloon hieronder een bezwaar noemt tegen het samenvattend kort beschrijven van de informatie uit een lange lijst vindplaatsen. Ga ik morgen over nadenken en op reageren, ik sluit voor vandaag. -- Hesselp (overleg) 7 apr 2019 23:56 (CEST)Reageren

Niet jokken Hesselp. Je schreef toch echt recentelijk aan de moderatoren: "Daarom hier mijn verzoek aan moderatoren om deze keer voorafgaand te laten weten of plaatsing door mij op de artikelpagina Reeks (wiskunde) van de in het 'uitklappen'-gedeelte van deze OP-bijdrage van mij dd. 25 mrt 2019 11:57 getoonde tekst, wederom blokwaardig gevonden wordt." Bij dat officieel uitziende verzoek ging het om het plaatsen van het 'uitklappen'-gedeelte in dat artikel, en dus niet slechts om een niet nader omschreven selectie daarvan. En ja, Wikibooks is wat mij betreft net zo onacceptabel als bron als Wikipedia. Met alleen weglaten van die zaken ben je er volgens mij nog lang niet. Bijvoorbeeld omdat je, zoals anderen ook al aangaven, in een keer een hele lap tekst wil introduceren in plaats van kleine stukjes per keer waarmee je dus handelt in strijd met het dringend advies/opdracht van de arbcom. Zo gaat dat het dus niet worden. Zonde van jouw tijd en moeite maar ook die van je collega's hier op nl-wiki. - Robotje (overleg) 8 apr 2019 05:43 (CEST)Reageren

@Robotje. Wáár heb ik toch de indruk gewekt (dat zou echt onbedoeld zijn) dat ik met het plaatsen op 25 maart van dat 'uitklappen'-overzicht op de Overleg-pagina, wat anders beoogd zou hebben dan het uitlokken van overleg en commentaar over de inhoud ervan? (Graag hier een antwoord op.) Met de bedoeling om op grond van het resultaat van dat overleg en commentaar te gaan bekijken of er iets van overblijft, of uit voortkomt, waarvan ik plaatsing zinvol zou vinden.

Na 10 dagen (en 8 dagen na mijn CaféExact-verzoek) stond de teller van het aantal inhoudelijke reacties nog steeds op nul, en heb ik om een oordeel van moderatoren gevraagd. Jij vond/vindt dat ik daar te snel mee was? -- Hesselp (overleg) 8 apr 2019 11:05 (CEST)Reageren

Op 4 april 2019 om 17:40:29 heb je Wikipedia:Verzoekpagina voor moderatoren/Overige bewerkt en met deze edit schreef je daar toen o.a.

... Daarom hier mijn verzoek aan moderatoren om deze keer voorafgaand te laten weten of plaatsing door mij op de artikelpagina Reeks (wiskunde) van de in het 'uitklappen'-gedeelte van deze OP-bijdrage van mij dd. 25 mrt 2019 11:57 getoonde tekst, wederom blokwaardig gevonden wordt. ...

Het ging daar op 4 april toch echt over de tekst van het uitklapgedeelte en niet over een selectie daarvan. Daarmee heb je voor mij duidelijk de indruk gewekt dat stuk integraal te willen toevoegen aan dat artikel als er geen blok of zo zou gaan volgen. Wat je beoogd hebt met je edit van 25 maart is wellicht wat anders, maar daar ging het op 4 april niet meer over. Verder denk je nog altijd zelf te kunnen besluiten wat een inhoudelijke reactie is. Twee dagen later kwam Madyno met een reactie met o.a. de opmerking "In ieder geval kan een deel hiervan in een sectie "Geschiedenis" worden opgenomen." maar ook als kanttekening het advies om met kleine stapjes ("een tegelijk") met tekstvoorstellen te komen. Dat is dus een inhoudelijke reactie maar jij herkent dat niet. Je schreef immers hierboven "Na 10 dagen (en 8 dagen na mijn CaféExact-verzoek) stond de teller van het aantal inhoudelijke reacties nog steeds op nul, ..." Dat is een probleem dat steeds weer optreed bij discussies met jou. Jij denkt te kunnen inschatten/bepalen of een edit van een ander een inhoudelijke reactie betrof en daar gaat het keer op keer fout. Vandaag dus ook weer. Het komt nogal asociaal op mij over als je het doet voorkomen alsof je geïnteresseerd bent in reacties van je collega's maar dan zo reageert als er een of meer reacties komen. Ik weet niet of dat een deel van je tactiek is, hopen dat er de volgende keer geen reacties meer komen op een voorstel van je zodat je kan doen wat je wilt. Ik hoop van niet. - Robotje (overleg) 8 apr 2019 12:49 (CEST)Reageren

Een casus erbij gepakt bewerken

Ter vermijding van verwarring door de dubbele betekenis van 'convergent' is vanaf midden 20e eeuw 'sommeerbare rij' [15] een alternatief voor 'convergente reeks'.

Vervolgens zie ik in de bronnen in voetnoot 15 alleen citaten van werken die dit woord gebruiken, maar geen bron die de bewering ondersteunt dat dit vanaf midden 20e eeuw een alternatief is. Het lijkt daardoor op origineel onderzoek; er wordt een conclusie getrokken op basis van meerdere voorbeelden. Klopt dit of zie ik het verkeerd? Encycloon (overleg) 7 apr 2019 21:47 (CEST)Reageren

Klopt, zoals ik 3 jaar geleden al op deze OP aangaf bij eerdere pogingen van Hesselp om eigen interpretaties toe te voegen. Mvg, Trewal 7 apr 2019 22:20 (CEST)Reageren

Terzijde: deze overlegpagina zou van mij wel weer eens gedeeltelijk gearchiveerd mogen worden... Encycloon (overleg) 7 apr 2019 22:33 (CEST)Reageren

Ehm, bijna driekwart van deze pagina wordt ingenomen door het ingeklapte voorstel van Hesselp van 25 maart jl. Als je op grond van bovenstaande bevindingen vindt dat dat voorstel niet langer bediscussieerd hoeft te worden, kan het gearchiveerd worden. Anders zal archiveren niet zoveel helpen, vrees ik. Mvg, Trewal 7 apr 2019 23:17 (CEST)Reageren

Aha, vandaar. Dat voorstel staat in vrijwel dezelfde vorm ook op Gebruiker:Hesselp/Kladblok Betekenis(sen) 'reeks' (de voetnoot 15 is daar 16 en 17. @Hesselp: zou je je ingeklapte voorstel tbv de laadbaarheid van de pagina willen weghalen en/of archiveren? Encycloon (overleg) 7 apr 2019 23:31 (CEST)Reageren

@Encycloon. Ik heb je vraag mbt. 'laadbaarheid' gezien, en ook die mbt. 'origineel onderzoek'. Op beide moet ik me nader oriënteren, nadere reactie volgt. -- Hesselp (overleg) 8 apr 2019 11:05 (CEST)Reageren

@Encycloon. Hier nog alleen over je 'laadbaarheid'-verzoek. Mijn kennis mbt. problemen met inklap-teksten en laadbaarheid, is gering. Ik heb deze inklap-optie een aantal keer, en ook recent op 25 maart, toegepast, mede na een verzoek van gebruiker Maiella (deze OP, 18 aug 2016 10:22 (CEST)). Welke problemen er, bij welke bestandsomvang, kunnen zijn weet ik niet; jij wel, daar ga ik van uit. Uiteraard wil ik bij echte problemen meewerken aan een oplossing.

Jouw "en/of" lijkt te wijzen op een keuze tussen (1) weghalen zonder archiveren, (2) archiveren zonder weghalen, (3)archiveren én weghalen. Ik ben er lang niet zeker van dat je dat zó bedoelt, en ik overzie evenmin de consequenties van de drie keuzes; kun je me die toelichten? En wat zijn de consequenties van het voortzetten van de discussie op deze OP over mijn overzicht/concepttekst wanneer die tekst alleen op een van mijn Kladblokpagina's te vinden is?

Ik stel er hoge prijs op dat die tekst voor alle Wikipedia-gebruikers even direct/makkelijk te vinden blijft, ook in een (lange) toekomst, als in de situatie van dit moment (er zitten méér dan 'een paar uurtjes' werk in). Misschien kan dat best eenvoudig, maar ik kan het niet overzien, wil graag meer zekerheid vóór ik een keuze maak als gevraagd in je verzoek. -- Hesselp (overleg) 8 apr 2019 17:12 (CEST)Reageren

Het laadbaarheidsprobleem kwam simpelweg door de hoeveelheid brontekst die op de overlegpagina gezet was. Daarvoor maakt een inklapper dus niet echt een verschil. Ik zag dat Brimz het nu heeft opgelost door naar jouw kladblok4 te verwijzen middels een sjabloon; dat lijkt me prima nu.

Met en/of doelde ik inderdaad alleen op (1) en (3); door het te laten staan was het probleem niet opgelost. Encycloon (overleg) 8 apr 2019 17:20 (CEST)Reageren

@Encycloon, (a) Ik zie geen verwijzend sjabloon in de sectie "'Convergeren' is bij reeks wat anders dan bij rij" hierboven; wél de ongewijzigde 'inklapper' als voorheen. Ik weet niet wáár ik naar wát moet zoeken.

(b) Ik heb geen ervaring met de (on-)mogelijkheden van 'archivering'. Is het mogelijk om alleen de grote uitklapper van 25 maart 2019 te archiveren? Want de OP-tekst vanaf de sectie "Serieuze manco's in huidige artikeltekst" (26 dec 2018) zou ik, als direct deeluitmakend van het huidige overleg, hier nog ongearchiveerd willen laten staan (inclusief de veel kortere uitklapper van 26 dec 2018, met het commentaar daarop van Josq, etc.). Mocht dat niet kunnen, dan zou ik graag zien dat alles vanaf 26 dec 2018 zo lang als technisch mogelijk is, blijft staan. Zie ik varianten over 't hoofd?

(c) Kan ik verlangen dat, bij het voeren van vervolgoverleg aan de hand van mijn overzicht/concepttekst op mijn Kladblok4-pagina, anderen dan ikzelf daar niet in gaan wijzigen? (zoals vanmiddag wél gebeurde). -- Hesselp (overleg) 8 apr 2019 18:28 (CEST)Reageren

(a) Dan werkt het dus. Zie deze bijdrage, waarmee deze overlegpagina meteen 130.207 bytes kleiner werd.

(b) Niet meer nodig dus. Maar anders had je wat mij betreft een link kunnen plaatsen met 'de hier voorgestelde tekst is gearchiveerd naar <link>'.

(c) Daar kun je op zich naar vragen; hoewel Wikipedia in principe overal vrij bewerkbaar is, is het de gewoonte om niet ongewenst aan een gebruikersnaamruimte te komen. In dit geval was dit misschien best handig geweest om te weten waar kritiekpunten zitten. Met deze en deze bijdrage werd de brontekst overzichtelijker/kleiner gemaakt, zonder dat het resultaat veranderde. Ik weet ook niet zo goed waarom je de <br> en in de tekst hebt gezet, misschien doordat je teksten eerst in een andere tekstverwerker hebt opgesteld? Encycloon (overleg) 8 apr 2019 18:52 (CEST)Reageren

Duidelijk bewerken

Deze bewerking maakt wel pijnlijk duidelijk waar het probleem zit. Kennelijk is het niet de bedoeling om de tekst aan te passen, of om aan te geven waar de pijnpunten in de tekst zitten, maar is het de bedoeling om de tekst als geheel intact te laten en integraal te plaatsen in het artikel. Als Hesselp serieus wil dat er naar zijn tekst wordt gekeken en serieus van zins is om gezamenlijk tot een compromis, of consensus over de inhoud te komen, dan moet hij die bronvragen van mij terugzetten. Doet hij dit niet, dan is er bij voorbaat elke kans op consensus verkeken en is alle verdere overleg zinloos en verspilling van tijd en moeite. Hesselp, de bal is aan jou. Brimz (overleg) 8 apr 2019 23:27 (CEST)Reageren

@Brimz. Jouw hierboven vermelde vermoeden over mijn intenties, wijkt sterk af van hoe ik daar zelf tegenaan kijk. "Makkelijk gezegd" zul je nu denken, je wilt uiteraard ook zien dat het uit mijn handelen blijkt. Ik heb toch die 'uitklapper' ter overleg/commentaar op de OP getoond; en kort daarna hetzelfde op Café Exact? Alleen om de discussie overzichtelijk te laten blijven leek/lijkt het me wenselijk om die tekst zelf intact te laten, vandaar mijn reverts op mijn (door jou geopende) 'Kladblok4'. Jouw bewerkingen op die tekst, drie duidelijk gescheiden soorten, heb ik de laatste uren uitvoerig bekeken, en gepuzzeld over de vraag hoe en waar mijn reacties erop vorm te geven en te plaatsen. Het komt, alsook wat op Encycloons 'lijkt op OO'. Nu echter eerst weer even rust. -- Hesselp (overleg) 9 apr 2019 00:52 (CEST)Reageren

Over: de (mijn) bedoeling met de 'uitklappen'-tekst.

Op 25 maart stond die tekst in de regels erboven aangekondigd met: "een overzicht van het wiskundig taalgebruik waarin het woord 'reeks', en het daarmee vaak nauw samenhangende 'convergent', een rol speelt. Ook met het kopje " 'Convergeren' is bij reeks wat anders dan bij rij" en met de tekst-titel "Reeks (wiskunde) - bronnen bij de betekenisontwikkeling van 'reeks', 'rij' en 'convergent' " probeerde ik aan te geven dat het bepaald (nog) niet om een panklare artikeltekst ging. Ik verwachtte (misschien had ik dat meer expliciet moeten aangeven) dat lezers in eerste instantie de juistheid en volledigheid ervan zouden becommentariëren. Zoals op punten als:

- is het wáár dat 'in de praktijk' het woord convergeren samen met reeks wat anders zegt over de termen, dan in combinatie met rij ?

- lijken de bronnenseries die praktijk redelijk te representeren? (of had ik een sterk gekleurde bril op bij het zoeken);

- zijn we het erover eens dat de beschrijvingen in leerboeken en naslagwerken van wat met "oneindige reeks" bedoeld wordt, een zeer brede variatie vertonen?

- en idem, dat met "een uitbreiding van de optelling [ ] tot het geval van een oneindige rij termen" gevolgd door "formele som", nou niet direct veel helderheid geboden wordt (ook niet in de weinige bronnen die eveneens 'formele som' als hoogste wijsheid geven);

- mbt. de volledigheid: welke - in een Reeks-artikel beslist thuishorende - onderdelen komen niet aan bod in het 'uitklappen'-overzicht, maar wél in de huidige artikeltekst?

Het is toch zinvol (m.i.) om eerst te kijken of 'we' het zowat eens zijn over de praktijk-rol van het woord 'reeks', vóórdat we proberen daar een artikeltekst uit af te leiden. Een moeilijkheid bij het vaststellen van die praktijkfunctie, is de omstandigheid dat (n.m.m.) dit woord in echte wiskundeteksten (van de laatste decennia) maar zo weinig voorkomt. Of zie ik dat verkeerd?

Onder de aanname dat er geen goed gefundeerde bezwaren tegen de inhoud van de 25maart-tekst zouden zijn, komt als volgende aan de orde: het werken aan een plaatsbare tekst. De vormgeving van die 25maart-tekst gaf daar al enigszins een voorzetje voor. En Brimz gaf gister met twee 'bronvragen' (zie deze bewerking) ook een bijdrage in die richting. Op beide hier een reactie (A en B) van mij:

A. In zin 1 van de concept-intro vraagt Brimz om een bron bij het "ook nu nog wel gebruikte". In één van mijn zandbakken had ik al iets in die richting in concept staan. Samen met een toevoeging naar aanleiding van het 'sommatie-is-essentieel'-verzoek van Bob.v.R, kan ik me een intro voorstellen als volgt:

Oneindige reeks of kortweg reeks is in de wiskunde een oude, inmiddels grotendeels door 'rij' vervangen, naam voor: een oneindige rij met getallen^[1] als termen.^{[de omvang van de bronnen nog nader te bepalen]} Reeks heeft de voorkeur behouden in onder meer: 'reeksvoorstelling van een getal' ^[2], 'reeksontwikkeling van een functie', 'taylorreeks', 'fourierreeks', 'machtreeks' en 'binomiaalreeks'.
De studie van reeksen/rijen had aanvankelijk (18e eeuw) als hoofddoel het vinden van willekeurig scherpe rationale benaderingen voor de waarde van niet-rationale grootheden, en wel door opsplitsing in oneindig veel (snel genoeg klein wordende) rationale termen.^{[Bronnen: onder meer 1851 Schultz von Strasznitzki]} De variërende betekenis van de woorden 'convergent' en 'convergeren' ^[3] leidt tot onregelmatige nomenclatuur en meerduidige notaties.

Bronnen, noten en/of referenties

↑ Noot: Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies
↑ Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ . Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal.
Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ :
– kettingbreuk-voorstelling, als limiet van de 'getrapte breuken'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}1/(a_{2}{+}1/(\cdots {+}a_{n})/n\,}$
– oneindigproduct-voorstelling, als limiet van de 'partieelproducten'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \,\cdots \,\cdot a_{n})\,}$
– cesàrosom-voorstelling, als limiet van de gemiddelde partieelsommen; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,}$ .
↑ (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet, (3) (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.

Toelichting bij noot 2 bij 'reeksvoorstelling'. Ik ben zelf niet helemaal tevreden meer met de slotsectie in de uitklapper (Reeksvoorstelling en reeksontwikkeling). Mijn voorkeur heeft nu om die sectie (voorlopig?) helemaal weg te laten, met in plaats daarvan de info over 'reeksvoorstelling' in die voetnoot, en voor meer info over 'reeksontwikkeling' alleen de link naar het eigen lemma.

B. Bij de opmerking over 'onregelmatige nomenclatuur' vraagt Brimz: "Bron? graag bron voor het feit dat convergent leidt tot onregelmatige nomenclatuur. Wie schrijven dat?".

Flink wat toelichting bij de met 'convergent' samenhangende taalkundige onregelmatigheid, staat (1) in de noot bij 'convergeren' in de intro, (2) in de (tien) noten bij het direct volgende eerst sectie-kopje, en (3) in de drie zinnen onder het eerste subkopje. Uit het "Wie schrijven dat." van Brimz, maak ik op dat hij graag een bron erbij wil hebben waarin de relatie tussen 'convergent' en 'onregelmatige nomenclatuur' zo expliciet mogelijk aan de orde komt. Het beste wat ik vinden kan is de zin "Een bonus is dat je het woord ‘convergent’ niet in twee betekenissen gebruikt." van A. van Rooij (em. hoogleraar wiskunde) hier, ca. regel 42 e.v.

Laatste: ik overweeg om een (uiteraard tijdelijke) nummering te plaatsen bij de secties en subsecties in de uitklapper-tekst, ter vereenvoudiging van verwijzingen. Ja? -- Hesselp (overleg) 9 apr 2019 16:50 (CEST)Reageren

te kijken of 'we' het zowat eens zijn over de praktijk-rol van het woord 'reeks' - Dat is dus wat ik bedoel met Geen Origineel Onderzoek: het gaat er niet om dat 'wij' het hierover eens zijn, maar wat de bronnen erover zeggen. En als de meningen van wetenschappers daarover verschillen, kan dat ook genoemd worden ('volgens wiskundige A zit het zo en zo, maar B meent dat...'). Wellicht kunnen dit gedeelte over primaire en secundaire bronnen en dit gedeelte over synthese van gepubliceerd materiaal het nog wat meer verduidelijken.

Een nummering lijkt me een goed idee! Encycloon (overleg) 9 apr 2019 17:08 (CEST)Reageren

@Hesselp, jouw manier van werken sluit niet aan bij wat de gewoonte is op Wikipedia. Het is jammer te moeten constateren dat na meer dan 7 jaar overleggen je dat nog steeds niet doorhebt en het artikel in al die tijd geen meter is opgeschoten.

Je plakt een hele lap tekst ter vervanging van een al bestaande tekst, maar zegt er niet bij dat het niet echt ter vervanging is, maar verwacht van de medegebruikers op Wikipedia dat ze wel helemaal gaan uitzoeken waar de verschillen liggen en wat er klopt en wat er niet zou kloppen aan jouw tekst. Dat is echt te hoog gegrepen hoor; dat is een leuk voor een wetenschappelijk onderzoek, maar val daar de vrijwilligers op Wikipedia niet mee lastig. En dat blijkt ook, want na al die jaren is er nog steeds niet of nauwelijks inhoudelijk op jouw punten gereageerd. Je maakt het te moeilijk.

Wat meer succes zou hebben is:

Niet meer dan één alinea per keer te bespreken;
In 1 of twee zinnen aangeven wat er in die alinea niet klopt, bijvoorbeeld beginnend met: "volgens mij is X niet juist, want Y";
Ondersteun je mening met een bron, die onomwonden hetzelfde stelt als wat jij vindt;
Eén bron is genoeg, het gaat niet om de kwantiteit, maar om de kwaliteit van die bron;
Vraag anderen om hun mening en probeer tot een overeenstemming te komen over alleen dat ene onderwerp;
Als er overeenstemming (consensus) is, vraag je een ander om de bewuste tekst aan te passen;
Beperk je tot 1 onderwerp per keer. Pas als dat opgelost is, ga je naar het volgende onderwerp.

Ik denk dat bovenstaande veel meer zal leiden tot succes dan maar lukraak enorme lappen tekst plaatsen en van anderen verwachten dat ze dat allemaal gaan ontcijferen. Ik zal je uit de droom helpen; dat gaat niemand doen. De anderen gaan in de remmen en blokkeren je voorstel, zie de afgelopen 7 jaar.

Doe wat je wilt met bovenstaande, maar bedenk je dat de sleutel bij jou ligt. Als jij vindt dat je zo door kunt gaan, is ook prima, dan staat over 7 jaar het artikel er nog net zo bij, dat is zeker. Groet, Brimz (overleg) 9 apr 2019 19:28 (CEST)Reageren

@Brimz. Jij kwam gister met twee duidelijke 'bronvragen'. Daarop reagerend gaf ik aan wat daar m.i. antwoorden op zouden kunnen zijn (A en B). Die antwoorden negeer je, omdat (geparafraseerd) mijn manier van werken niet aansluit bij wat de gewoonte is op Wikipedia.

Vandaag kom je met een andere voorzet: je tijdelijk beperken tot "dat ene onderwerp"; ik ga het weer proberen. Want wat mij betreft kunnen we inderdaad met één onderwerp beginnen: welke beschrijving van het vakwoord reeks past bij het praktijkgebruik van die term?

Nu horen we van Encycloon dat dat niet de goede insteek is, daarom – inhakend op de stapje-voor-stapje-voorkeur van jou en anderen – wil ik de uitwisseling van visies over dat onderwerp starten onder het volgende kopje met een wat anders geformuleerde vraagstelling. Zou dat, zoals je vermoedt, "meer succes hebben" ? -- Hesselp (overleg) 9 apr 2019 23:05 (CEST)Reageren

@Encycloon. Hier wat respons op deze, 7 apr 2019 19:47‎ en deze, 9 apr 2019 15:08‎ bijdrage van jou.
Over je casus 'Sommeerbare rij'. Ik kan je redenering wel volgen, geloof ik: Noot 15 noemt 22 bronnen van auteurs die 'sommeerbare rij' gebruiken ipv. 'convergente reeks', allemaal niet ouder dan 1959. (Afgezien van nogal wat vindplaatsen uit de eerste helft 19e eeuw.) Uit WP:GOO lijkt dan te volgen dat dit in het artikel niet samengevat mag worden (een (klein?) beetje met een natte vinger, inderdaad) tot "vanaf het midden van de 20e eeuw" (wegens: 'synthese van gepubliceerd materiaal'). Wel heb ik het gevoel dat er een grens moet zijn aan het in extremum doorvoeren van deze geen-conclusie-zonder-expliciete-bron-daarvoor-richtlijn. Iets daarvan meen ik te horen doorklinken in de woorden "alle materiaal dat ter discussie staat of waarvan dat te verwachten is, moet ..." (WP:GOO, 10 regels onder kopje 'Brongebruik'). Is het reëel om te verwachten dat dat 'midden-20e-eeuw' ergens twijfels oproept?
Overigens is je casus minder actueel (denk ik) wegens de opmerking van Nomenclatuur-commissie-voorzitter Piet Vredenduin (Euclides, 1967, jrg. 43, nr. 1, blz. 22 regel 5 vo) dat hij zelf de invoering van de term geïnitieerd heeft. De formulering zou daarmee kunnen zijn: "...in Nederland is vanaf rond 1960 aanbevolen en in gebruik gekomen ...".
Andere vraag. In hoeverre acht je GOO van toepassing op de huidige beginzin (ingekort): "Het begrip reeks is een uitbreiding van de optelling [ ] tot het geval van een oneindige rij termen"? Ik ken daar geen enkele (betrouwbare, gezaghebbende) bron bij, het lijkt wel ergens uit de lucht geplukt.

Dan bij je tweede edit. "het gaat om wat de bronnen erover zeggen" - Dat staat te lezen in sectie 6 van mijn 'uitklap'-overzicht. Uiterst divers en tegenstrijdig. De vraag is nu: hoe maakt een handvol Reeksartikel-geïnteresseerden daar de meest informatieve, neutrale, door bronnen onderbouwde, artikeltekst van? Daartoe leek/lijkt het me dienstig om na te gaan waar 'we' het wél over eens zijn: is er iets als een grootste gemene deler te peuren uit die dertig varianten in sectie-6? Je zou mijn uitklaptekst ten dele kunnen zien als een blauwdruk (een draft-versie) daartoe.
De 'meningen van wetenschappers' zijn maar zelden zo expliciet en welomschreven als dat jij, Encycloon, het je mogelijk voorstelt. Ze halen haast altijd hun schouders op, als ik de verwarring rond de term 'reeks' aankaart, of ze worden op z'n minst knorrig. De teksten achter je links heb ik (nog weer eens) tot me genomen. -- Hesselp (overleg) 11 apr 2019 00:21 (CEST)Reageren

Bedankt voor deze reactie, dat verduidelijkt het inderdaad wel redelijk. Ik zal het verder overlaten aan de wiskundigere gebruikers dan ikzelf. Mvg, Encycloon (overleg) 11 apr 2019 00:34 (CEST)Reageren

Het is veelzeggend, dat andere wetenschappers bij het door Hesselp aankaarten van de zgn. verwarring rond de term 'reeks' haast altijd hun schouders ophalen of op z'n minst knorrig worden... Kennelijk vindt Hesselsp zienswijze, net als hier, ook bij hen geen gehoor. Mvg, Trewal 11 apr 2019 08:07 (CEST)Reageren

@Trewal. De volgende keer spreek je me aan met 'Don Quichotte' , wedden?

Verder herhaal ik nóg maar weer eens dit citaat uit deze Arbcom-tekst, 24 jul 2018 20:32: "Bovendien zou bij het volgen van de brede definitie niet langer de beste argumentatie de hoofdrol spelen in een discussie over de inhoud, maar de stem van een op een willekeurige overlegpagina aanwezige meerderheid." -- Hesselp (overleg) 11 apr 2019 20:09 (CEST)Reageren

Het is eveneens veelzeggend dat er op de tekst van Piet Vredenduin in Euclides Euclides, 1967, jrg. 43, nr. 1 na, niet tot nauwelijks iets te vinden is over onduidelijkheid in de nomenclatuur, ofwel de definitie van rij en reeks. De recente bronnen die het begrip reeks beschrijven ondersteunen allemaal de inhoud van het artikel op Wikipedia. Dus of er is geen probleem, maar alleen Hesselp ziet een probleem, of het probleem is al decennia geleden opgelost en alleen Hesselp blijft nog halsstarrig in de oude situatie leven. In beide gevallen leent Wikipedia zich niet als uitdrager van een dergelijk probleem, want origineel onderzoek is niet toegestaan. M.vr.gr. Brimz (overleg) 11 apr 2019 09:03 (CEST)Reageren

@Brimz. Bij jouw "niets tot nauwelijks iets". In voetnoot 9 van mijn 'Overzicht' vind je er nog een tiental. Als elfde zou ik kunnen toevoegen de tweede zin uit de beginpagina van de ook door jou gevonden TUDelft-bron: "EIGENLIJK komt een reeks neer op het optellen van oneindig veel getallen." Dat door mij gekapitaliseerde beginwoord vat alle vaagheden en inconsequenties mooi samen. Zowat tien zinnen verder volgt nog de waarschuwing "probeer rijen [afbeeldingen op N] en reeksen [eigenlijk het optellen van ...] goed uit elkaar te houden". Zó evident duidelijk is dat onderscheid kennelijk niet.

Bij jouw "De recente bronnen ... ondersteunen allemaal...". Volstrekte larie. Kijk maar in de in de noten van sectie 6 van dit 'Overzicht' genoemde werken (van de laatste decennia). Begin maar bij de noot-nummers 30, 36, 42 en 49. Al vier totaal verschillende opvattingen.

En de kloof tussen sommeerbare rij in het voortgezet onderwijs en convergente reeks in het hoger onderwijs, wijst evenmin op het opgelost zijn van alle problemen. -- Hesselp (overleg) 11 apr 2019 20:09 (CEST)Reageren

Van die 10 voetnoten zijn er:

6 niet in het Nederlands; hoeveel zegt dat over het gebruik van rij en reeks in de Nederlandse taal?
4 meer dan 40 jaar oud; hoeveel zegt dat over het huidige taalgebruik?
Ten minste 3 (de andere kon ik niet controleren) die het hebben over een logische verwarring tussen de termen omdat ze zo verwant zijn aan elkaar, maar het niet hebben over een onduidelijke nomenclatuur. Ze geven juist aan dat er een definitieverschil tussen beide is, maar dat het wel logisch is dat er verwarring bestaat. Is het dan niet de taak van Wikipedia om die verwarring niet nog groter te maken?
1 een reactie op een artikel van ene Hessel Pot. Hoeveel zegt dat over de betrouwbaarheid van die noot?

Als 11e noot wil je met het woord "eigenlijk" bewijzen dat er onduidelijkheid in de definitie bestaat. Het woord eigenlijk kun je ook interpreteren als "het is niet heel moeilijk, de definitie is als volgt:". Dat uit het woord "eigenlijk" vaagheid en inconsequentie en dus onduidelijkheid in de definitie blijkt, is dus geheel je eigen interpretatie en juist de manier waarop je een bron zou moeten gebruiken. De waarschuwing is van hetzelfde niveau; het waarschuwt ervoor dat de begrippen erg nauw aan elkaar gerelateerd zijn en dat je ze makkelijk met elkaar kunt verwarren. Het betekent niet dat de begrippen daardoor zelf onduidelijk zijn gedefinieerd, zoals je wel suggereert.

Kortom; je manier van bronnen interpreteren overtuigt me geenszins. Groet, Brimz (overleg) 11 apr 2019 22:13 (CEST)Reageren

Ik zou zeggen dat 'een afbeelding op N ' een wiskundig begrip van een totaal andere orde is dan een begrip 'het optellen van oneindig veel getallen'. Heel moeilijk te verwarren. Maar goed, smaken verschillen.

PS. "Wanneer je getallen uit een RIJ gaat sommeren spreek je van een REEKS ..dit is enkel een taalkundig mathematisch neuzeltje....voor mijn part mag je ook spreken over de som van een rij getallen ipv een reeks getallen." Bron: 2010, Gerard M. regel 24-26 -- Hesselp (overleg) 11 apr 2019 23:57 (CEST)Reageren

Precies; hij vindt het taalkundig geneuzel, maar daarmee zegt hij dan toch impliciet dat een reeks de som van een rij is? Hij noemt het geneuzel, omdat hij het niet relevant vindt hoe de begrippen worden genoemd. Of het nu rij heet, of reeks, dat is hem om het even. Dat in tegenstelling tot Hesselp, die het al 7 jaar een halszaak maakt hoe de begrippen worden genoemd. Wederom een niet heel sterke manier van bron-interpretatie. Groet, Brimz (overleg) 12 apr 2019 07:57 (CEST)Reageren

@Brimz. - Nee, hij zal niet impliciet bedoeld hebben dat een reeks de som van een rij is. Want met "de som van een getallenrij" wordt een getal bedoeld, niet een rij/reeks. De schrijver zal ook weten dat er géén getallensoort is die door wiskundigen "reeks(en)" genoemd wordt.

Wanneer je, Brimz, blijft nalaten te voldoen aan mijn 'dringend verzoek' (zie mijn bewerkingssamenvatting hier, 11 apr 2019 21:57) zal ik aan moderatoren vragen of het blijven terugzetten door mij in mijn bijdragen van (m.i. leesbaarheidsbevorderende) verlengde spaties, als uiteindelijk blokwaardig gezien wordt. -- Hesselp (overleg) 12 apr 2019 11:15 (CEST)Reageren

@Brimz, bij je eerste • hier, 11 apr 2019 20:13‎. - Het onderwerp betreft een onderdeel van terminologie in de wiskunde; zie de beginzinnen [5] en [6] en het kopje "Reeks (wiskunde)". En de taal van de wiskunde is in Nederland veelal niet het Nederlands. Die anderstalige commentaren in deze voetnoot 9 zijn voor lezers van de Nederlandstalige Wikipedia-variant evengoed relevant. Bij het door jou in twijfel trekken ervan, gaat het je daarom in mijn ogen alleen om onzakelijke stemmingmakerij.

Bij je "hoe de begrippen worden genoemd", in deze bijdrage, 12 apr 2019 05:57. Met dat meervoud begrippen, doe je m.i. aan framing, net als Madyno waar hij het heeft over "beide begrippen" (zie mijn commentaar daarop in mijn punt 2,12 apr 2019 17:35‎). Vroeger heette dat het bewust geven van een scheve voorstelling van zaken. Het gaat mij om (en dat heb ik toch al een paaaar keer eerder gesteld) het onbepaald - en daarom 'leeg' - zijn van de inhoud van dat woord 'reeks', voorzover gesuggereerd wordt dat die anders zou zijn dan "oneindige rij optelbare dingen". Zie als bron voor deze stelling, sectie-6 hier. -- Hesselp (overleg) 13 apr 2019 13:37 (CEST)Reageren

@Encycloon. Toch nog graag even over jouw OO-vermoeden bij mijn "vanaf midden 20e eeuw", in je Eén casus erbij gepakt, 7 apr 2019 19:47‎. Stel dat ik niet de bron gevonden had waarin Vredenduin zich de bedenker van de aanduiding 'sommeerbare rij' noemt (ter vermijding van een dubbele betekenis voor 'convergent'). Was dan het vermelden in een artikeltekst van de 'conclusie' "vanaf midden 20e eeuw", op basis van 15 aangewezen voorkomens, niet toelaatbaar geweest (volgens jouw moderator-norm)?
Zou hier niet gelden dat het géén "materiaal betreft dat ter discussie staat of waarvan dat te verwachten is", en dat het google-resultaat met <sommeerbare rij> een eenduidig resultaat geeft?
Ik vraag je dit, omdat ik bij een streng moderator-antwoord van je, moet concluderen dat er in mijn concept-tekst heel veel zinnen staan met mededelingen die verwoord zijn op een manier die ik niet direct heel nauw aansluitend in door mij gevonden bronnen kan aanwijzen (maar die ik toch wél door de opgegeven bronnen onderbouwd acht). En geldt dan hetzelfde niet voor heel veel zinnen in heel veel andere WP-artikelen, neem bijvoorbeeld het huidige Reeks (wiskunde)? Graag enige duidelijkheid. Op je aanmerking hier, 9 apr 2019 15:08‎ op mijn woorden: "te kijken of 'we' het zowat eens zijn over de praktijk-rol van het woord 'reeks'", nog dit. Ik had wat preciezer moeten zijn, en had daar moeten schrijven: "te kijken of 'we' het zowat eens zijn over hoe de ons bekende bronnen de praktijk-rol van het woord 'reeks' beschrijven." Dan was het goed geweest? -- Hesselp (overleg) 14 apr 2019 00:36 (CEST)Reageren

Onder origineel onderzoek vallen ongepubliceerde feiten, termen, argumenten, concepten, stellingen of theorieën, of ieder andere vorm van niet-gepubliceerde analyse of synthese van gepubliceerd materiaal – of zoals in de woorden van Wikipedia-oprichter Jimmy Wales: "een nieuwe zienswijze of nieuwe historische interpretatie". Of die nou controversieel zijn of niet, Wikipedia is niet de plaats voor nog niet elders getrokken conclusies.

En ja, in die aanvulling kan ik me zeker vinden. Encycloon (overleg) 14 apr 2019 11:18 (CEST)Reageren

@Encycloon. Ja, mooi gezegd in WP:GOO en door Jimmy Wales. Maar het gaat hier heel praktisch om mijn vraag of mijn "vanaf midden 20e eeuw" (gebaseerd op 15 22 vindplaatsen en google-frequentie - in vier talen) in een eventueel door mij geplaatste tekst, door moderator Encycloon blokwaardig gevonden wordt, terwijl je "het begrip reeks is een uitbreiding van de optelling" in de huidige beginzin (zonder enige bron) door de vingers ziet.
Dat "vanaf midden 20e eeuw" is toch veeleer te zien als een feit, dan als een conclusie ? Of niet? -- Hesselp (overleg) 14 apr 2019 13:16 (CEST)Reageren

Het is pas een feit als je kan aantonen dat er toonaangevende bronnen zijn die dat ook vinden. Tot zolang is het een mening, gebaseerd op eigen onderzoek. Groet, Brimz (overleg) 14 apr 2019 13:24 (CEST)Reageren

Afgezien daarvan gaat het in de door Encycloon genoemde casus m.i. ook niet "slechts om de vraag of "vanaf midden 20e eeuw" feit of conclusie is voor het gebruik van 'sommeerbare rij', maar meer nog over de vraag of de bewering dat 'sommeerbare rij' als alternatief voor 'convergente reeks' werd gebruikt "[t]er vermijding van verwarring door de dubbele betekenis van 'convergent'". Dát is namelijk de essentie van de bewering die daar gedaan wordt. Als die bewering niet gedaan wordt in de bronnen, dan is ook dat een eigen conclusie of synthese die WP:GOO niet toestaat. De onder [15] genoemde bronnen gebruiken inderdaad 'sommeerbare rij', maar of zij dat doen "[t]er vermijding van verwarring door de dubbele betekenis van 'convergent' wordt door die bronnen zo te zien nergens beweerd. Mvg, Trewal 14 apr 2019 13:48 (CEST)Reageren

Of ik iets door de vingers zie, weet ik niet. Kennelijk vonden de (hopelijk deskundige) auteurs van dit artikel die beginzin passen en ik heb niet de kennis om dit inhoudelijk te beoordelen. In de aangehaalde casus kan ik echter wel op basis van je bronnen zien dat het om origineel onderzoek ging, omdat vanuit die vindplaatsen een nieuwe conclusie / een nieuw feit gepubliceerd wordt.

Het plaatsen van 'origineel onderzoek-informatie' is voor mij op zichzelf geen aanleiding voor een blokkade maar wel aanleiding om die geplaatste informatie weer weg te halen.

@Trewal: dat ook ja. Encycloon (overleg) 14 apr 2019 13:57 (CEST)Reageren

@Encycloon. (a). Bij "ik heb niet de kennis ... beoordelen". Okee, maar je hebt toch wél de mogelijkheid om te zien dat er geen enkele bron voor genoemd wordt, ook niet na mijn verzoeken daartoe? (b). Bij: "op basis van je bronnen". Had ik die bronnen er maar niet onder gezet, en gedaan alsof m'n neus bloed als er naar gevraagd zou zijn. (c). Bij: "geen aanleiding voor een blokkade". Als ik het, na het weghalen door jou weer terugzet, ben ik dan volgens jou wél blokkeerwaardig? (Ik zou het graag vantevoren weten.) -- Hesselp (overleg) 14 apr 2019 17:35 (CEST)Reageren

(a) Als de inleiding betwist wordt en tot op heden niet direct/onomstotelijk ondersteund wordt door bronnen geldt wat dat betreft toch het recht van de oudste: zolang het geen overduidelijke onzin is (en dat is het blijkbaar niet) kan het niet vervangen worden door een eveneens controversiële versie.

De handelingen bij (b) en (c) zijn in strijd met de Arbcom-uitspraak, vanwege respectievelijk maatregel 1 en maatregel 3.

Encycloon (overleg) 14 apr 2019 18:58 (CEST)Reageren

@Brimz, @Trewal. Zijn met de volgende twee zinnen jullie bezwaren vervallen?

Vanaf het midden van de 20e eeuw wordt een rij waarvan de partieelsommem convergeren, ook "sommeerbare rij" genoemd^{[22 bronnen]}. Het woord 'convergent' komt bij die auteurs uitsluitend voor in de combinatie 'convergente rij'.

Over problemen rond de niet eenduidige term 'convergent' schrijft Vredenduin, blz. 58 onderaan: "We kunnen deze term ook niet vervangen door convergente rij, want een convergente rij is een rij, waarvoor ... ". En Van Rooij, blz. 62 r.38-9: "Een bonus is dat je het woord 'convergent' niet in twee betekenissen gebruikt." Het bovenstaande is geplaatst door Hesselp (overleg) 14 apr 2019 17:35 (CEST)Reageren

Nee, omdat je niet een bron geeft die dat stelt, maar 22 voorbeelden en daaruit zelf de conclusie trekt. Dat is zo ongeveer de strekking van dit hele overleg. Brimz (overleg) 15 apr 2019 10:41 (CEST)Reageren

Mijn twee-zinnen-voorstel (zie mijn bijdrage 14 apr 2019 17:35 (CEST) hierboven) is een aanpassing van mijn eerdere, door Encycloon bekritiseerde zin: "Ter vermijding van verwarring door de dubbele betekenis van 'convergent' is vanaf midden 20e eeuw 'sommeerbare rij' [22 bronnen] een alternatief voor 'convergente reeks' ."

Ik kan niet zien dat er nu nog sprake zou zijn van (een) ongeoorloofde OO-conclusie(s). Voor wie dat toch anders ziet verwijs ik naar het, ook door Madyno opgevoerde, citaat van Van Rooij hier uit het Nieuw Archief voor Wiskunde, 5/10 nr.1 maart 2009, blz. 62 regel 37039 als ondersteunende secundaire bron. En eveneens, ook als secondaire bron, naar een artikel in hetzelfde wetenschappelijke tijdschrift uit 2008, onder de kopjes 'Mogelijke remedie' en 'Slot'. (Ja, de auteur ervan is mij bekend.)

Hebben Brimz, Trewal en Encycloon na deze toelichting, toch nog zodanig bezwaar dat gemeend wordt dat er na eventuele plaatsing een revert mee gerechtvaardigd kan worden? Het lijkt me vergezocht, en ben geneigd te stellen dat daar dan maar een uitspraak van de 'Hoge Raad' op moet volgen. -- Hesselp (overleg) 16 apr 2019 18:42 (CEST)Reageren

@Encycloon. Reactie op jouw punt (a) hier. Jouw "geldt het recht van de oudste" lees ik als een verwijzing naar "bij twijfel niet inhalen". Het gaat er dus om of hier redelijkerwijs sprake is van 'twijfel' bij het beoordelen van de vraag welke van beide intro-versies het meest op z'n plaats is in Wikipedia. In dit verband wijs ik op de volgende punten:
- De huidige beginzin wordt (afgezien van de - met de beginzin van mijn concept overeenkomende - vijfde/laatste zin) door NUL bronnen ondersteund; ook niet na verzoeken daartoe.
- In de richting van het door jou genoemde "onzin" gaat mijns inziens de omstandigheid dat het "reeks" genoemde subject, een wiskundig 'ding'/begrip, met het woordje "is" gelijkgesteld wordt aan: "een uitbreiding van de [gewone] optelling". Waarbij de term "optelling" gelinkt is aan het lemma met het werkwoord "Optellen" als titel. Dat wringt. In dat lemma wordt op twee plaatsen een betekenis van dat titelwoord genoemd: (1)"het bepalen van het totale aantal dat ontstaat ...", en (2)"De operatie van een abelse groep". Geen van die beide betekenissen van 'optellen'/'optelling' past bij het "uitbreiding van de optelling" in de huidige beginzin.
- Eveneens in de richting van dat "onzin" gaat de omstandigheid dat in zin 2, zin 3 en zin 4 van de huidige intro net gedaan wordt alsof door dat "een uitbreiding van de optelling tot een oneindige rij termen" de betekenis van het vakwoord "reeks" aan de lezer al voldoende bekend zal zijn.

Daarentegen wordt de als alternatief voorgestelde intro (zie hier voor de met twee zinnen aangevulde versie) door veel meer dan vijftig opgesomde bronnen gedragen. Met de aanvullende zinnen lijkt (tot nu toe) aan ingebrachte bezwaren tegen de eerdere korte versie tegemoetgekomen.
Encycloon, jij acht ook gezien mijn bovengenoemde punten het voorgestelde intro-alternatief nog steeds niet 'beter geschikt voor Wikipedia-lezers' ? -- Hesselp (overleg) 16 apr 2019 18:42 (CEST)Reageren

Nogmaals, inhoudelijk commentaar laat ik liever over aan de deskundigere gebruikers op deze pagina. Wel zie ik (maar corrigeer me gerust als ik ergens overheen lees) nog steeds geen bron die onomstotelijk de bewering ondersteunt: je zou met een citaat duidelijk moeten kunnen maken dat een gezaghebbende bron dit feit al eerder gepubliceerd heeft, in plaats van ondersteuning door (interpretatie van) voorbeelden/verschijningsgevallen. Encycloon (overleg) 17 apr 2019 01:07 (CEST)Reageren

@Encycloon. Kun je toch nog even expliciet zeggen waar je naar verwijst met je "de bewering" en "dit feit"; er zijn verschillende punten uit mijn concepttekst aan de orde geweest in de discussies.

Vooruitlopend: Het zou goed kunnen dat het door jou gevraagde 'citaat uit een gezaghebbende bron' voorkomt in de uitvoerige en nauwkeurige beschouwing over het aanduiden van de betekenis van het vakwoord "reeks", door wetenschapshistoricus E.J. Dijsterhuis (in 1927!). Zie Euclides jrg. 3, 1926/27, nr. 4, p. 98 regel 9 en verder. Ik citeer daaruit vijf passages ('variant' was een tijdlang een synoniem voor 'oneindige getallenrij') :

I. "Belangrijker lijkt mij een terminologisch bezwaar, dat men, als ik goed zie, zou kunnen inbrengen tegen de zeer fundamenteele definitie van oneindige reeks in het begin van de vijfde Les" [in een gerecenseerd boek van F. Schuh]

II. "Niet duidelijk is verder in de boven aangehaalde passage de zin: "heeft dan verder geen beteekenis". Wat is dan, als er geen limiet U bestaat, de beteekenis van u₁ + u₂ + u₃ ... , voordat we aan een verdere beteekenis toe zijn? De naam "oneindige reeks", gegeven aan een voorloopig zinledige uitdrukking, kan toch nog geen beteekenis heeten."

III. "Liefst toch moeten in de afspraken voor het oneindige gebied die voor het eindige als bijzondere gevallen besloten liggen."

IV. "Het is ook niet duidelijk, waarom het woord reeks (Reihe, series) eigenlijk zou moeten worden vastgekoppeld aan de bewerking optellen [Voetnoot: In het woord reeks zit toch eigenlijk niets, waardoor het van rij kan worden onderscheiden.]. Men kan toch met een oneindige getallenrij zooveel andere dingen doen, dan er door optelling van n termen een variant uit vormen, b.v. er een z.g. oneindig product^noot van maken of een oneindige kettingbreuk."

V. "Ten slotte moge worden opgemerkt, dat wellicht een meer eenvoudige en meer logische terminologie te verkrijgen ware, door een consequenter gebruik van het woord variant te maken. Men versta daartoe onder een reeks of rij van getallen een oneindige getallenrij u₁, u₂, u₃, ... bepaald door een voorschrift, dat in staat stelt, aan elk natuurlijk getal n een grootheid u toe te kennen. Bij de zoo gedefinieerde variant u hoort een somvariant U_n = u₁ + u₂ .... u_n . De variant heet sommeerbaar, als de somvariant convergeert. De limiet van de somvariant heet de som van de variant (of de reeks)." -- Hesselp (overleg) 17 apr 2019 12:13 (CEST)Reageren

Ik blijf bij mijn bezwaar om eerder genoemde reden. Brimz (overleg) 17 apr 2019 14:02 (CEST)Reageren

@Hesselp: Met 'bewering' doelde ik op de hieronder voorgestelde beginzin: Oneindige reeks of kortweg reeks is in de wiskunde de oude, ook nu nog wel gebruikte naam voor: een oneindige rij met getallen als termen (minus noot).

Een bron uit 1927 kan die bewering in ieder geval niet voor het heden dekken lijkt me. Encycloon (overleg) 17 apr 2019 15:03 (CEST)Reageren

@Encycloon. Jouw antwoord (hier, 16 apr 2019 23:07‎) op mijn vraag naar je oordeel over het door mij voorgestelde intro-alternatief, blijkt (helaas) niet gebaseerd te zijn op de door mij bedoelde - aangepaste - versie. Want zie de laatste drie zinnen van het aan jou gerichte tweede deel van mijn bijdrage dd. 16 apr 2019 16:43‎.

Ik had die drie zinnen als aparte alinea ingevoerd, maar dat werd door Brimz (in deze bewerking, 17 apr 2019 12:02) ongedaan gemaakt, samen met veel lay out-details in andere bijdragen van mij. (Kun jij Brimz niet manen om te stoppen met dat gerommel in mijn keuzes? Zowel in mijn bijdragen als mbt. de - bij terugzoeken erg handige - interlinie tussen opvolgende bijdragen in de brontekst.)

Dus voor de duidelijkheid nogmaals: ik vroeg/vraag je, @Encycloon:, oordeel over mijn hier(aangevulde) intro-concept (op 19 april opnieuw aangevuld), in vergelijking met de huidige intro.

Op de door jou gevoelde behoefte aan een recentere bron dan Dijksterhuis-1927, kan ik nog noemen:

- voetnoot 2 onder de huidige artikelversie: Schwartzmann-1994 "In older usage, series sometimes meant what we would now call a sequence; for example, the Fibonacci 'series' is actually a sequence." ;

- H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Dabei ist nun jede komplexe Zahlenfolge (u_n)_n eine unendliche Reihe" ;

- G. Dubois, Définition des series formelles, 2015 (of later): "Une série formelle (à coefficients dans ${\textstyle \,A\,}$ ) est tout simplement un élément de l'espace produit ${\textstyle \,A^{\mathbb {N} }}$ . Donc une série formelle est une suite ${\textstyle \,S=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ . Nous rappelons qu'une telle suite n'est rien qu'n autre nom pour une application de ${\textstyle \,\mathbb {N} \,}$ dans ${\textstyle \,A\,}$ ;

- de meer dan twintig bronnen als genoemd in deze noot 44.

En dan nog dit: Waarom vraag je, Encycloon, niet naar ondersteunende bronnen voor de huidige intro-tekst? Expliciete vermelding van dergelijke bronnen lijkt me nodig om te komen tot een zakelijke/inhoudelijke afweging van de merites van beide versies. -- Hesselp (overleg) 18 apr 2019 01:50 (CEST)Reageren

Over de huidige tekst heeft drie jaar geleden een peiling plaatsgevonden, met een duidelijke uitkomst. Bob.v.R (overleg) 18 apr 2019 02:16 (CEST)Reageren

@Hesselp: Ik weet eigenlijk niet meer of dit nu gaat over jouw reactie op Encycloons antwoord op jouw vraag naar zijn oordeel over het door jou voorgestelde intro-alternatief, dat (helaas) niet gebaseerd blijkt te zijn op de door jou bedoelde - aangepaste - versie. Madyno (overleg) 19 apr 2019 13:34 (CEST)Reageren

@Encycloon. Na je "recht-van-de-oudste-oordeel" (hier, punt (a), 14 apr 2019 16:58) heb ik mijn intro-voorstel (in totaal: flink) aangepast; nu staat het hier. Zonder noten en bronnen gaat het om deze drie - ingesprongen - zinnen:

Oneindige reeks of kortweg reeks is in de wiskunde een oude, ten dele door 'rij' vervangen, naam voor: een oneindige rij met getallen^[noot] als termen.^[bronnen] Reeks heeft de voorkeur behouden in onder meer: 'reeksvoorstelling van een getal'^[noot], 'reeksontwikkeling van een functie', 'taylorreeks', 'fourierreeks', 'machtreeks' en 'binomiaalreeks'; bij veel auteurs ook in andere situaties waarin de partiële sommen en/of de eventuele som van zo'n rij beschouwd worden.^[bronnen]

De variërende betekenis van de woorden 'convergent' en 'convergeren' ^[noot] leidt tot onregelmatige nomenclatuur en meerduidige notaties.

Op jouw vraag naar recentere bronnen dan Dijksterhuis-1927 noemde ik hier aan het slot, 17 apr 2019 23:50, nog: Schwartzmann / König / Dubois / meer dan 20 in sectie 6m . Je oordeel ("Nogmaals, ...") hier, 16 apr 2019 23:07‎ betrof - mogelijk door een verminking van eerdere tekst van mij - niet mijn met name aan Brimz en Trewal voorgelegde (14 apr 2019) twee-zinnen-variant.
Mede gezien het bovengenoemde kom ik tot de volgende drie vragen (A, B, C):
A. Kom je ook nu nog onverkort tot je "recht-van-de-oudste-" ("bij twijfel niet inhalen-")oordeel van 14 april? Graag met motivatie.
B. Waarom vraag je niet naar ondersteunende bronnen voor de huidige intro-tekst? Zie mijn eerdere vraag hier, laatste twee zinnen, 17 apr 2019 23:50.
C. Je al eerder aangehaalde oordeel van 14 apr 2019 16:58 eindigt met "...kan het niet vervangen worden door een eveneens controversiële versie.". Hoezo 'controversieel? Ik vraag je om aan te geven tegen welke INHOUDELIJKE punten in mijn meest recente concept jij zodanige bezwaren hebt dat je concludeert: "kan het niet vervangen worden".
Als je nu weer antwoordt dat je te weinig specialistische kennis hebt om de aard van die 'controverses' te beoordelen, dan heb ik er grote moeite mee dat je hier suggereert straks als moderator eventueel te gaan terugdraaien/vastzetten/blokkeren wegens overtreding door mij van BTNI. Dan zie ik je gronden niet degelijker dan "van horen zeggen". – De voorgaande bijdrage werd geplaatst door Hesselp (overleg · bijdragen)

A. Het lijkt me nu minder duidelijk BTNI - en dan kom ik toch met mijn 'excuus' van te weinig kennis om dit goed inhoudelijk te beoordelen - maar als andere gebruikers kunnen beargumenteren dat jouw versie niet direct uit de vermelde bronnen volgt kunnen zij dit alsnog terugdraaien. Voor de duidelijkheid: ik ga dat zelf dus niet terugdraaien en als ik de argumenten ('van horen zeggen') niet voldoende op waarde kan schatten laat ik dat over aan een moderator met meer wiskundige expertise.

B. en C. In die eerdere versie zag ik dus 'controversieel' brongebruik; de eerdere inleiding is dan niet zomaar slechter. Ik ga verder niet meer inhoudelijk op je conceptversie in, volgens mij zorgt dat eerder voor meer inefficiënt overleg dan dat het bijdraagt aan het bereiken van consensus over de tekst / de betrouwbaarheid van de bronnen. Encycloon (overleg) 22 apr 2019 00:15 (CEST)Reageren

Vergelijking van beginzinnen bewerken

Hier graag onderbouwde meningen over de vraag wélke van beide beginzinnen het sterkst door betrouwbare bronnen wordt gedragen:

1. Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen.

2. Oneindige reeks of kortweg reeks is in de wiskunde de oude, ook nu nog wel gebruikte naam voor: een oneindige rij met getallen^{[noot, zie hier]} als termen.^{[bronnen, zie hier]}

Wie begint? Brimz zelf? -- Hesselp (overleg) 9 apr 2019 23:05 (CEST)Reageren

Zin 2 dekt absoluut niet wat tegenwoordig onder reeks wordt verstaan. Dat is misschien wel een stokpaardje van HesselP, maar dat is voor Wikipedia niet van belang. De onder 3 bij de referenties genoemde bron noemt ook een oneindige som een reeks. Madyno (overleg) 9 apr 2019 23:21 (CEST)Reageren

@Madyno. Een snelle reactie van je, dank. Wel een reactie met een aantal (verborgen) vraagtekens. Want:

a. In welke bronnen staat uitgelegd wat "een oneindige som" (jouw woorden) voor een ding is? Ik bedoel: wat het IS (anders dan dat 'oneindige som' soms een synoniem is voor 'reeks'), niet hoe men het onbekende ding meestal NOTEERD. Zie hier, voetnoot 44, vijf citaten.

b. Waarom acht je de door jou aangehaalde bron Kuznetsov-Stienstra gezaghebbend en betrouwbaar? Ik neem aan dat je doelt op deze zin (blz. 9): "Voordat we aan een reeks, dwz. aan zo'n som van oneindig veel getallen, een getalwaarde kunnen toekennen, [...].". Onduidelijk blijft waar het 'zo'n' naar verwijst, want voorafgaand is alleen gezegd hoe het bedoelde ding genoteerd wordt, nog niet wat het is. Om verduidelijking vragen bij de auteurs schiet weinig op. Op mijn verzoek om nadere uitleg was het antwoord van auteur Stienstra niet anders dan: "bedankt voor uw commentaar op de manier waarop in dat dictaat wordt omgegaan met de terminologie betreffende reeksen. Ik ben het met uw kritiek eens." (27 juli 2016)

c. Jij verwijst naar het "zo'n som van oneindig veel getallen" van Kuznetsov-Stienstra met jouw woorden "een oneindige som". Waarom die wat andere aanduiding? Het verheldert voor mij niets: bij de vijf bronnen die ik vond met "oneindige som" (hier, voetnoot 44) is ook weer hoogstens te vinden hoe het ding veelal genoteerd wordt.

d. Ik vond tot nu toe zeven bronnen waar iets staat dat sterk lijkt op "som van oneindig veel getallen", zie hier, voetnoot 34. Vier ervan zijn expliciet negatief: "moet niet gedefinieerd worden als", "keine Summe ist", "ein Unbegriff", "nur leere Worte"; de andere drie laten na te zeggen wat voor wiskundig begrip er achter die woorden gedacht moet worden.

Madyno, leg hier nou eens uit wat je bedoelt met je "wat tegenwoordig onder reeks wordt verstaan". Gezien hebbend de pogingen van anderen hier, sectie 6. -- Hesselp (overleg) 10 apr 2019 13:15 (CEST)Reageren

Vragen, vragen, vragen! Je lijkt een groot vraagteken. Madyno (overleg) 10 apr 2019 14:22 (CEST)Reageren

Terwijl we tegelijkertijd zien dat antwoorden geven als andere gebruikers iets vragen, kennelijk iets is dat Hesselp zelf liever niet doet, zie Café Exact. - Bob.v.R (overleg) 10 apr 2019 17:52 (CEST)Reageren

Op Bob.v.R's "Klopt deze indruk"-vraag, 7 apr 2019 18:01‎ in Café Exact, was mijn eerste reactie deze, 7 apr 2019 19:10‎. En mijn tweede reactie deze, 8 apr 2019 09:47‎. Beter had/heb ik niet. -- Hesselp (overleg) 10 apr 2019 18:42 (CEST)Reageren

.... waaruit inderdaad blijkt dat Hesselp geen antwoord wenst te geven op een simpele vraag. Bob.v.R (overleg) 11 apr 2019 02:08 (CEST)Reageren

Betreffende bovenstaande vraag van Hesselp sluit ik mij volledig aan bij Madyno: het is ronduit schandalig en schaamteloos dat Hesselp hier serieus na jaren gedoe, zie daarvoor de gearchiveerde overlegpagina, blijft pushen dat volgens Hesselp 'reeks' niet een oneindige sommatie zou zijn. Doelbewuste misleiding van de lezer is niet waarvoor wikipedia in het leven geroepen is. Bob.v.R (overleg) 11 apr 2019 02:08 (CEST)Reageren

Met alle respect, Bob.v.R, maar in het laatste deel van je beginzin leg je me kromtaal in de mond; de soort kromtaal die ik nou juist zo graag uit Wikipedia-teksten verwijderd zou willen zien. Want het woord 'reeks' kun je niet gelijkstellen (met "IS") aan een begrip oneindige sommatie. Als ik het in negatieve vorm (niet...zou zijn) gestelde omdraai, staat er " 'reeks' is een oneindige sommatie". (Ja?) Mogelijk zou je dan bedoeld hebben: "het woord 'reeks' duidt hetzelfde wiskundige begrip aan als het woordpaar 'oneindige sommatie' ". Of: "met 'reeks' wordt in de wiskunde hetzelfde bedoeld als met 'oneindige sommatie' ".

De logische vervolgvraag is dan echter direct: Waar kan ik vinden wat ik moet verstaan onder 'oneindige sommatie'? Heb jij bronnen met een beter antwoord op die vraag dan de auteurs die ik hier in sectie 6 aan het woord laat? (subsectie 6v noot 51, lijkt me het dichtst bij jouw 'oneindige sommatie' te komen; of 6e noot 34). -- Hesselp (overleg) 11 apr 2019 17:25 (CEST)Reageren

Overigens is de huidigige inleiding van dit artikel nog wel vrij ingewikkeld voor een niet-wiskundige. Gelukkig zijn er best leesbare voorbeelden te vinden, bijvoorbeeld deze uit de opensource cursussen van de TU Delft, die stelt: "Eigenlijk komt een reeks neer op het optellen van oneindig veel getallen". Volgens mij moeten we toe naar een dergelijke simpele voorstelling in de inleiding, met een aanvulling van alle mitsen en maren op die voorstelling verderop in het artikel. Bekijk overigens ook het filmpje op die website van de TU Delft, en ook eens de [filmpjes op deze site van de faculteit Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica van de TU Delft. Ik denk dat het een redelijk veilige aanname is om deze websites als redelijk gezaghebbend te beschouwen. Groet. Brimz (overleg) 11 apr 2019 09:31 (CEST)Reageren

Wat grappig, Brimz, dat jij hier verwijst naar het filmpje en de cursustekst van Mark Verhaar TUDelft. Want laat dat nu precies de tekst zijn die ik in november jl. 'toevallig' ook tegenkwam, en waar ik toen het volgende commentaar op schreef (Paragraaf VI.1 Convergentie van reeksen, blz. 94)

VI.1 Convergentie van reeksen

Gesteld wordt in zin 3 dat "de reeks van (a_n)_n≥0 " als kortere benaming/aanduiding kan dienen voor

“de rij van partiële sommen van een gegeven rij reële getallen (a_n)_n≥0 ”.

Okee, dat kan ik volgen (hoewel ik na zéér uitgebreid onderzoek dit nooit zo gebruikt gezien heb).

Maar wat moet een student met de mededeling in zin 4 dat voor de termen van de rij a0, a0+a1, a0+a1+a3, ... in Delft de namen a0, a1, a2, ... gebruikt worden?

Zijn de termen van de rij 1, 2 (=1+1), 3 (=1+1+1), . . . in Delft allemaal gelijk aan 1 ?

En idem met de mededeling (zin 5) dat je in Delft de limiet van de rij a0, a0+a1, a0+a1+a3, . . . z’n 'som' moet noemen? Volgens veel andere auteurs heeft de rij 1/2, 3/4 (=1/2+1/4), 7/8 (=1/2+1/4+1/8), . . . wel een limiet (1), maar geen som. Einde commentaar op TUD-tekst.

Waar is het goed voor om met dergelijke inconsequenties te beginnen, die dan later bij de 'mitsen en maren' weer uitgepoetst moeten worden? (Ja, ik hoor het antwoord al aankomen: 'Iedereen' doet het zo, wereldwijd. (Wat niet helemaal wáár is.) In het archief van deze OP, kun je vinden dat dit antwoord ook hier al eens gegeven is, samen met: dus een goede encyclopedie heeft zich daaraan te houden.) -- Hesselp (overleg) 11 apr 2019 17:25 (CEST)Reageren

Ik heb het filmpje "Inleiding reeksen" bekeken. Dan blijkt ook dat een hoorcollege iets anders is (let op) dan, en niet (zoals in het filmpje) als, een lemma in een encyclopedie. Het leek me niet erg bruikbaar voor dit lemma, en zeker ook niet vanwege de verdere taalfouten. Madyno (overleg) 11 apr 2019 11:19 (CEST)Reageren

Is er niet een of ander handboek voor wiskundestudenten te vinden die er een definitie voor geeft? Encycloon (overleg) 11 apr 2019 11:23 (CEST)Reageren

Goeie, voor de hand liggende vraag, Encycloon. Er bestaan vele duizenden van die handboeken; ik heb er honderden van gezien en de betreffende pagina(s) gekopieerd (ca. 2008) Het resultaat staat in sectie 16 van het archief van deze OP; zie hier. Hesselp (overleg) 11 apr 2019 17:25 (CEST)Reageren

Helaas... Encycloon (overleg) 11 apr 2019 20:46 (CEST)Reageren

Interessant, weer die verwijzing naar die pogingen tot omschrijving. In ieder geval staan daar veel pogingen bij die precies overeenkomen met wat nu in het lemma staat. Conclusie? Madyno (overleg) 11 apr 2019 22:44 (CEST)Reageren

@Madyno. "die precies overeenkomen met ..." Daar geloof ik maar weinig van. Som die bronnen eens duidelijk verifieerbaar op (toch niet weer Kuznetsov-Stienstra, die is door de auteur zelf afgekeurd), apart voor "de optelling van een oneindige rij termen" (zin 1), en voor "formele som" (zin 7). Net zoals ik de bronnen voor de beginzin in mijn 'Overzicht' /uitklap-tekst heb opgesomt. Dan kunnen we afwegen. -- Hesselp (overleg) 11 apr 2019 23:57 (CEST)Reageren

@HesselP: Kijk zelf maar in je eigen overzicht. Madyno (overleg) 12 apr 2019 09:34 (CEST)Reageren

@Madyno. Zoals ik al eerder schreef: ik heb in al die bronnen géén (eenduidige) betekenis-beschrijving gevonden voor "formele som". En evenmin voor "het optellen van oneindig veel termen". Zolang jij dergelijk bronnen hier niet laat zien, dienen beide aanduidingen niet als kern te dienen voor een Wikipedia-artikel. -- Hesselp (overleg) 12 apr 2019 11:15 (CEST)Reageren

NB. Ik had deze reactie al geschreven voordat ik je onderstaande 'Analyse' zag. De inhoud van mijn reactie lijkt me nog even relevant.

Hesselp heeft natuurlijk recht op zijn mening, maar in mei 2016 heeft, na heel veel discussie, een peiling plaatsgevonden waarin alle secties van het artikel aan de orde kwamen. Bij veel secties bleek Hesselp alleen te staan met zijn standpunt. En op dit moment maakt Hesselp nergens aannemelijk dat er drie jaar later een serieuze aanleiding is om de discussie opnieuw te gaan voeren. Bob.v.R (overleg) 12 apr 2019 12:12 (CEST)Reageren

@Bob.v.R. Bij jouw "bleek Hesselp alleen te staan": Ook speciaal aan jou nog maar eens deze van de Arbitragecommissie afkomstge zin: "Bovendien zou bij het volgen van de brede definitie niet langer de beste argumentatie de hoofdrol spelen in een discussie over de inhoud, maar de stem van een op een willekeurige overlegpagina aanwezige meerderheid." -- Hesselp (overleg) 12 apr 2019 13:53 (CEST)Reageren

Gelukkig werd bij de peilingen duidelijk dat vrijwel alle gebruikers zich konden vinden in de beste argumentatie. Bob.v.R (overleg) 13 apr 2019 08:47 (CEST)Reageren

Analyse bewerken

Laatste bericht: 5 jaar geleden12 berichten3 personen in discussie

Dit kan natuurlijk zo nog jaren doorgaan, daarom de volgende analyse. Een van de punten van HesselP is dat de woorden 'rij' en 'reeks', die taalkundig synoniemen zijn, ook in de wiskunde als zodanig werden gebruikt.⁽¹⁾ Ook nu nog spreekt men in de economie van 'historische reeksen', en zelf zal ik in het dagelijkse spraakgebruik over 'een reeks gebeurtenissen' spreken, maar in de kansrekening van een 'rij gebeurtenissen'. In de wiskunde wordt nu namelijk onderscheid gemaakt tussen beide begrippen.⁽²⁾ Ik denk dat iedereen het daarmee eens is, en als HesselP dat graag wil, zou ik hem aanraden een korte sectie "Geschiedenis" aan het lemma toe te voegen.⁽³⁾

Het tweede punt houdt in dat HesselP zich afvraagt wat een 'reeks' nu eigenlijk is.⁽⁴⁾ Hij schreef daarover⁽⁵⁾ een artikel in het Nieuw Archief voor de Wiskunde en kreeg daar ook bijval van onder anderen Arnoud van Rooij emeritus hooogleraar wiskunde in Nijmegen. En terecht, het is onduidelijk wat precies onder een reeks moet worden verstaan.⁽⁶⁾ Maar het is nu eenmaal gebruikelijk om een oneindige som van termen een reeks te noemen.^(7,8) En Wikipedia is niet de plaats om onderzoek te doen, maar om lezers iets duidelijk te maken in begrijpelijke taal en aansluitend bij wat gangbaar is. Het probleem ligt in de veelvoorkomende verwarring van functie en functiewaarde.⁽⁹⁾ Wat verstaan we onder a+b? Daar zou zich hetzelfde probleem voordoen als die uitdrukking simpelweg 'som' werd genoemd. Maar het is: de som van de getallen a en b, en daarmee wordt dus de operatie 'optellen' of zo je wil, de afbeelding 'som' gedefinieerd. Analoog bij een eindige som. Dan wordt de som van de getallen a1,..,an vastgelegd en gelijk daarvoor een notatie gegeven. Bij het begrip 'reeks'⁽¹⁰⁾ zou dus van de reeks van de rij a1,a2,...⁽¹¹⁾ moeten worden gesproken. Sommige auteurs doen dit ook op de een of andere manier. Maar de volgens mij meest gangbare omschrijving is een oneindige som.⁽¹²⁾ Bij reeksen als de fourierreeks en de taylorreeks is het ook niet zo relevant, want daarbij is er een een-op-een-correspondentie met de bijbehorende rij.

Ik vind niet dat we de (argeloze) lezer moeten confronteren met deze problematiek, althans niet in de intro. Mogelijk kan er aan het eind van het lemma een sectie toegevoegd worden die hieraan aandacht schenkt.Madyno (overleg) 12 apr 2019 10:06 (CEST)Reageren

@Madyno. Ziet er uit als een goede basistekst voor verder 'overleg'. Eerst dit vraagje: mag ik er kleine nummertjes tussen plaatsen om verwijzing vanuit commentaar te vereenvoudigen? -- Hesselp (overleg) 12 apr 2019 13:53 (CEST)Reageren

Prima. Madyno (overleg) 12 apr 2019 14:02 (CEST)Reageren

@Madyno, De nummers van onderstaande commentaarpunten voegde ik toe in de 'Analyse'-tekst van Madyno.

1. Verdraaiing De woorden 'rij' en 'reeks' vroeger ook in wiskunde synoniem? Nee, meestal niet. De woorden 'rij', 'suite', 'Folge' en 'sequence' kwamen als specifieke wiskunde-term vóór ruwweg de 20e eeuw weinig voor ('suite' misschien nog het meest). De vakwoorden 'reeks', 'Reihe', etc. veelal speciaal voor een oneindige opvolging, van optelbare dingen (getallen of machtsfuncties). (Het hoofddoel was om representaties van die enge irrationale 'grootheden' ('quantities') te vinden met alleen de vertrouwde breuken.)

2. Verdraaiing Met je beide begrippen poneer je het 'bestaan' van twéé verschillende dingen. Terwijl je (inmiddels) ook wel zult weten dat er ook een (uitvoerig bebronde) visie voorkomt die niet kan inzien waar dat 'essentiële verschil' dan in zou moeten zitten. De beginnersboeken 'Analyse' van Van Rooij (1e 1989) en van Kaper&Norde (1e 1996) geven alle stof die ook in de rest van de 'Calculus'-boeken staat, zónder er naast 'rij' nog een tweede 'wiskundig begrip' bij nodig te hebben. Dat zet jou niet aan het denken? Wat negatief gezegd heet dat kaal poneren meen ik 'framing'.

3. Wat er vroeger anders was dan nu, heb ik samengevat in sectie-5 van mijn 'Overzicht'. Maar dat zal niet zijn waar jij hier aan denkt.

4. Verdraaiing "wat een 'reeks' nu eigenlijk IS ". Je zou toch langzamerhand kunnen weten dat je mij met dat laatste benadrukte woordje 'is', de hoogste boom van het bos in jaagt. Dus: nee, nee, driemaal nee! Wat ik me afvraag (probeer te achterhalen) is wélke info dat woord 'reeks' in een echte wiskunde-tekst (geen leerboek/handboek/encyclopedie/...) aan de lezer wil overbrengen. En hoe daarna die praktijk-betekenis op een voor Wikipedia-lezers geschikte manier is te beschrijven., en door welke bronnen dit onderschreven wordt.

5. Verdraaiing "Hij schreef daarover een artikel...". Dit komt op mij ook weer als flinke 'framing' over. Want de titel van dat artikel is "Wat reeksen zijn, is niet te zeggen" (de auteur probeerde beleefd te blijven, de werktitel was " 'Reeksen' bestaan niet"), en in de tekst is dat toegelicht.

6. Verdraaiing "wat precies onder een reeks MOET worden verstaan". Er bestaat geen wiskunde-Vaticaan, ook geen VN-instantie die dat kan verordonneren. Vraag Vind je het verkeerd om van het praktijkgebruik van die term uit te gaan?

7. Verdraaiing "gebruikelijk om een oneindige som van termen. . .". Impliciete vraag Ik vroeg je al vele malen (overdrijf ik?) eerder om duidelijk te omschrijven wat de wiskundige betekenis is van het door mij gecursiveerde woordenvijftal; of bronnen te laten zien die dat - op een uniforme manier - doen. Zolang ik dat niet weet, weet ik evenmin wat jij met 'reeks' bedoelt.

8. Verdraaiing "het is nu eenmaal gebruikelijk om. . . " Als ik een dergelijke bewering had opgeschreven, zou ik direct van verschillende kanten het POV-verwijt krijgen. Bronnen! Van de 375 (?) in sectie-6 van mijn Overzicht, zijn er in subsectie 6-o (noot 44) vijf (waarvan één verboden) die deze keuze maken, en wellicht nog wat andere die daar sterk op lijken. Maar de hoogfrequente varianten 6a (noot 30) en 6m (noot 42) zitten daar niet bij. Noch 6g (Bourbaki) en 6t (naam voor een afbeelding).

9. "verwarring van functie en functiewaarde". Die kwestie speelt zeker mee, maar nog veel belangrijker lijkt me het vaak niet gemaakte onderscheid tussen de inhoud van een begrip en de manier waarop het doorgaans wordt genoemd / genoteerd / aangeduid. De notatievorm definieert de inhoud niet. (Zie hier, zin 7 de inhoud van 'formele som' volgt niet uit z'n notatievorm er direct achter; de bron Kuznetsov-Stienstra doet hetzelfde.)

10. Verdraaiing "Bij het begrip 'reeks'..." Zelfde commentaar als hierboven bij punt 2: je zou rekening kunnen houden met de omstandigheid dat er lezers van je tekst zijn die niet weten wat ze zich bij "het begrip 'reeks' "moeten voorstellen.

11. "de reeks van de rij a1, a2, ..." De juistgenoemde aanduiding kan naar drie dingen verwijzen: de rij (a_n), z'n partieelsommenrij, en z'n som. Vraag Wélk van de drie hoort bij de naam 'reeks'?

12. "meest gangbare ... een oneindige som" Zelfde commentaar als bij punt 7 en 8.

Het dozijn is vol. Toch voeg ik nog één vraagje toe, over misschien wel het hoofdpunt in mijn 'Overzicht':

Vraag(13). In hoeverre kun jij het eens zijn met de vaststelling dat het woord 'convergent' in het taalgebruik van wiskundigen (analytici) twéé verschillende betekenissen heeft, afhankelijk van het samengenoemd zijn met 'rij' dan wel met 'reeks'?

Als je daar mee instemt, zal (m.i.) de boodschap van die wiskundigen voor ons beide óndubbelzinnig zijn. Zónder dat je hoeft te weten welk beeld die wiskundige zich gevormd kan hebben bij de term 'reeks'. -- Hesselp (overleg) 12 apr 2019 19:35 (CEST)Reageren

Het valt me nog mee, maar een dozijn plus 1 vragen. Ik heb nog eens gelezen wat Van Rooij in het Nieuw Archief voor de Wiskunde 5/10 nr. 1 maart 2009 schrijft als reactie op het artikel van HesselP. Hij geeft daarin in elk geval aan⁽¹⁴⁾ dat de door HesselP bestreden formulering de gangbare definitie is van "reeks" (de aanhalingstekens zijn van Van Rooij). Misschien kun je beter zeggen: gangbare "definitie" van reeks. Beter is, volgens hem, te spreken van sommeerbare rij. Prima, maar als encyclopedie ontkom je niet aan de vermelding van wat gangbaar is.⁽¹⁵⁾ Ook zegt Van Rooij, net als ik boven al aangaf, dat je zou kunnen spreken van 'de reeks van een rij', daarmee de som van de termen bedoelend.⁽¹⁶⁾ Dat zou kunnen, maar dat gebeurt niet of nauwelijks. Dat een sommeerbare rij ook een convergente reeks genoemd wordt, is nou eenmaal zo, en waarom zou dat een probleem zijn? Madyno (overleg) 14 apr 2019 18:29 (CEST)Reageren

@Madyno. Je begint met iets als: "Het valt nog mee, deze keer." Probeer je me nou echt te dwingen om te geloven dat je niet tot tien, wat zeg ik, niet tot vijf kunt tellen? (Ja, ik reageer wat onbeleefd, deze keer; stop nou eens met je sarcasme.)

Want in mijn dozijn commentaarpunten komen niet meer dan twee vragen voor (drie, als je wilt), plus een ongenummerde slotvraag, zeg punt 13. De rest van mijn commentaarpunten betreft grotendeels het signaleren van evidente verdraaiingen, van beweringen tegen beter weten in (aangegeven met vette labels). Dat dat er zo veel zijn ligt echt aan jou, Madyno !

Verder commentaar bij deze regels van Madyno, 14 apr 2019 16:30‎:

14. Verdraaiing (om geen ander woord te gebruiken). Van Rooij zegt helemaal NERGENS; "dat de door HesselP bestreden formulering de gangbare definitie is van "reeks" ", hij noemt het juist "een bewering waar kop noch staart aan te vinden is". Dit is érger dan framing.

15. Verdraaiing Bij: "vermelding van wat gangbaar is". Preciezer: de encyclopedie moet vermelden wat betrouwbare - BETROUWBARE - bronnen melden dat gangbaar is. Uit de enorme variatie van de hier in sectie-6 getoonde beschrijvingen, blijkt dat het bepaald niet eenvoudig is om daar de 'betrouwbare' uit te selecteren. Het "uitbreiding van de optelling" en het "formele som" in de huidige versie is niet te zien als te berusten op 'betrouwbare bronnen': die zijn nog niet getoond.

16. Verdraaiing Bij: "daarmee de som van de termen bedoelend". Nee Madyno, daar kan Van Rooij nooit "de som van de termen" mee bedoeld hebben. Want ook jij weet echt wel dat volgens betrouwbare deskundigen "de som van de termen van de rij ½, ¼, ⅛,···" heel vaak "één" genoemd wordt, terwijl volgens hen "de reeks van de rij ½, ¼, ⅛,···" nooit "één" genoemd wordt. -- Hesselp (overleg) 15 apr 2019 18:05 (CEST)Reageren

Van Rooij:

Ik ben het helemaal eens met wat Pot naar voren brengt omtrent de

onhoudbaarheid van de gangbare definities van ‘reeks’.

Zelf heb ik vele jaren een eerstejaars-analysecollege gegeven zon-

der het woord ‘reeks’ te gebruiken. In plaats van convergente reeksen heb je dan sommeerbare rijen, en alles is in orde

Madyno (overleg) 15 apr 2019 18:23 (CEST)Reageren

Ad punt 1: begrijpen we nu goed dat Hesselp na drie jaar gedram en gedoe eindelijk erkent dat rij en reeks geen synoniem zijn? Had dat alstublieft reeds drie jaar eerder toegegeven!!! Bob.v.R (overleg) 16 apr 2019 19:13 (CEST)Reageren

@Bob.v.R . De woorden "rij", "Folge", "sequence", etc. werden tot eind 19e eeuw (zeldzame uitzonderingen wellicht daargelaten) niet als wiskundig vakwoord gebruikt. (Welke tegenvoorbeelden kun je aanwijzen?) Het wiskundige vakwoord was steeds "reeks" ("series", "Reihe", etc.). Je kunt daarom beslist niet zeggen dat die woorden als synoniemen werden gebruikt - zoals Madyno mij toedichtte.

Wat anders is dat het woord "reeks"(etc.) wél dezelfde betekenis had (en in de spaarzame gevallen waarin het nog in vakartikelen - buiten leerboeken en naslagwerken - voorkomt, nog steeds blijkt te hebben) als het modernere oneindige getallenrij. Waarin het moderne vakwoord rij staat voor: een afbeelding op de natuurlijke getallen.

Met als aantekening dat de betekenis van het woord "convergent" (termconvergent of somconvergent) afhangt van keuze tussen "rij" en "reeks", zoals blijkt uit talloze vindplaatsen van "convergente rij" en "convergente reeks". -- Hesselp (overleg) 16 apr 2019 21:04 (CEST)Reageren

Begrijpen we HesselP nog? Madyno (overleg) 16 apr 2019 22:24 (CEST)Reageren

@Madyno. Zou je kunnen aangeven vanaf welke zin in deze bijdrage van mij ik onvoldoende duidelijk ben? Waar zit in die zin voor jou een onduidelijkheid? -- Hesselp (overleg) 17 apr 2019 12:23 (CEST)Reageren

Hesselp, misschien heeft het meer te maken met bijzonder weinig zelfreflectie aan jouw kant. Madyno probeert hier te voorkomen dat iets zich jarenlang blijft voortslepen en het enige dat jij inbrengt is dat je 10 keer Madyno beschuldigt van verdraaiingen. Wie heeft hier, behalve jijzelf, begrip voor? Bob.v.R (overleg) 17 apr 2019 13:32 (CEST)Reageren

"Controversiële beweringen horen in een encyclopedie niet thuis" bewerken

Laatste bericht: 5 jaar geleden5 berichten3 personen in discussie

De zin in het kopje komt uit de pagina Wikipedia:Bronvermelding (sectie: Hoe kan bronvermelding plaatsvinden?).

Uit het bronnenmateriaal als getoond in sectie-6 van dit overzicht blijkt dat de meningen onder vakgenoten over hoe de betekenis in hedendaagse wiskunde-teksten van het vakwoord "reeks", geduid en beschreven dient te worden, zeer sterk uiteen lopen.
Waar de huidige artikeltekst stelt dat het gaat om "een uitbreiding van de optelling" (zin 1), ook te benoemen als "formele som" (zin7), lijken met dit, gezien de vele sterk afwijkende betekenisduidingen en -beschrijvingen (elk met eigen aanhangers) 'controversiële beweringen' die dus niet in deze encyclopedie thuishoren. -- Hesselp (overleg) 18 apr 2019 16:08 (CEST)Reageren

Dat wordt niet bevestigd door de uitkomst van de peiling uit mei 2016. Bob.v.R (overleg) 18 apr 2019 17:42 (CEST)Reageren

Een kat in nood, ... Madyno (overleg) 18 apr 2019 18:22 (CEST)Reageren

@Bob.v.R, Verwijs je met jou beginwoordje "Dat" naar mijn eerste, tweede of derde zin? -- Hesselp (overleg) 18 apr 2019 19:27 (CEST)Reageren

Ik denk dat het verwijst naar je 0(n)zin. Madyno (overleg) 18 apr 2019 20:31 (CEST)Reageren

Onderwerp toevoegen

[1] Smaasen(1855), B.L.de Vries(1859), Vorsterman van Oyen(1868), Van Laar(1904), Belinfante(1925), Artikel in voorloper 'Euclides', jrg.1, pp.142-160

[2] Derksen/de Laive(1907), Van Thijn(1918), Osinga(1918), Wijdenes/De Lange(1921), Wijdenes(1921), Yntema/Drewes/Bloten(1926), H.C. Derksen(1926), Van Beek/Van Heek(1926), Van Velthoven(1935), Alders(1935), Wijdenes(1935), De Groot/De Jong(1936), Vredenduin/Van Haselen(1946, 1957), Coster/Van Dop(1950), Meurs/De Vries(1950), Jansen/Van Brink(1951), Dijkshoorn/Kiers/Kleyn(1952,1953), Stoelinga/Van Tol(1955, 1961), Wansink(1955), Coster/Van Dop/Streefkerk(1956), Alders/Hietbrink(1958), Alders(1959), Peusken/De Boer(1959), Smit(1960), Munk/Schaafsma(1960,1963), Ter Hennepe/Oostenga(1962), Vergoossen(1963). Zie hier voor de boektitels.

[3] Cours d'Analyse blz. 123: Met reeks (Frans: série) wordt bedoeld: een oneindige getallenrij (Frans: suite) waarvan de termen door een voorschrift zijn gegeven. [1]

[4] C. Méray, Nouveau précis d'analyse infinitesimale p. 19: "Une série est une suite de quantités réelles ou imaginaires en nombre illimité".

[5] C.F. Gauss (1777-1855), 'Werke', Band X Abteilung 1, blz. 400: "Ich werde unter Convergenz, einer uneinlichen Reihe schlechthin beigelegt, nichts anderes verstehen, als die beim unendlichen Fortschreiten der Reihe eintretende unendliche Annäherung ihrer Glieder an die 0."; "pages":[406,"view":"toc"}

[6] H. von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919 blz. 171: Elke afbeelding op de natuurlijke getallen heet een oneindige reeks (Duits: unendliche Reihe).

[7] H. von Mangoldt, K. Knopp, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (vanaf 6. Aufl. 1932 ingrijpend bewerkt door Konrad Knopp), 11. Aufl. 1958 blz. 198 voetnoot: Die Worte 'Folge' und 'Reihe' werden, wie im täglichen Leben so auch in der Mathematik, nicht immer streng geschieden. So spricht man statt von der Folge der natürlichen Zahlen auch häufig von der natürlichen Zahlenreihe. Es ist aber für unsere Zwecke unerlässlich, hier einen Unterschied zu machen. In den letzten Jahrzehnten hat sich in der Mathematik allgemein ['Folge' statt 'Reihe' und eine neue Bedeutung für 'Reihe'] im Sprachgebrauch durchgesetzt.

[8] S. Schwartzmann, The Words of Mathematics (1994). Pag.196: "In older usage, series sometimes meant what we would now call a sequence; for example, the Fibonacci 'series' is actually a sequence."

[9] De onder het sigma-teken staande vermelding van de index van de beginterm, hoort bij de beschrijving van de rij.

[10] H. von Mangoldt, K. Knopp, ibid. 11. Aufl. 1958 blz. 196: "Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ " .

[11] J.R. Britton, R.B. Kriegh, L.W. Rutland, Calculus and Analytic Geometry 1963, blz. 835: "An expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\ldots \,=\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ is called an infinite series" .

[12] W. Rudin, Principles of mathematical analysis 1965, blz. 51: "The symbol ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ we call an infinite series, or just a series".

[13] F. Bowman, F.A. Gerard, Higher calculus 1967, blz. 98: "An expression of the form ${\textstyle \ u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series" .

[14] Sze-Tsen Hu, Calculus 1970, blz. 614: "For any sequence ${\textstyle \,u:N\to R\,}$ , the expression ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is known as the (infinite) series with ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ as terms.

[15] The Open University, U.K., Sequences and limits II 1971, blz. 38: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ " .

[16] C. Blatter, Analysis I 1980, Kapitel 7: "Ist ${\textstyle (a_{k})}$ eine Folge von Zahlen oder Vektoren, so heisst der Ausdruck ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ eine Reihe" .

[17] D.B. Small, J.M. Hosack, Calculus - An integrated approach 1990, blz. 569: "An infinite series or just series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ or, using the summation notation, ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ ".

[18] W. Walter, Analysis 1, 5. Aufl. 1999, blz. 86: "Wir nennen das Symbol ${\textstyle \,\sum _{n=p}^{\infty }a_{n}\,}$ oder $\,a_{p}{+}a_{p+1}{+}a_{p+3}{+}\ldots \,$ eine unendliche Reihe".

[19] G.B. Thomas Jr, Calculus - Eleventh edition 2005, blz. 763: "Given the sequence of numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}}$ , an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is an infinite series ".

[20] C.H. Edwards, D.E. Penney, Calculus - Early Transcendentals, 7th edition 2008, blz. 732: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ " .

[21] C. Caenepeel, J. De Beule, I. Goyvaerts, Wiskunde: Voortgezette Analyse (Vrije Universiteit Brussel) 2017, blz. 8: "Gegeven de numerieke rij ${\textstyle \,(u_{n})}$ . Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}\ldots \,}$ of, korter, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ noemt men een numerieke reeks.

[22] B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1 1994, blz. 285: "Dit houdt in dat ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ dus twee betekenissen heeft, nl. het getal ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ en de rij ${\textstyle \,\{S_{n}\}\,}$ ".

[23] W. Rudin, ibid. 1965, blz.51: "For ${\textstyle \,\{s_{n}\}}$ we also use the symbolic expression ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ or, more concisely, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ .

[24] JHJ Almerink, H Bavinck, RW Goldbach, Analyse, 1993, pag. 514: "Uitgaand van een rij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ kan men een nieuwe rij ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ construeren [...], aangeduid met ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ " ; [2]

[25] M. Veraar, Wiskundige structuren (TU Delft) 2016, module 6.1: "Laat ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ een rij reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen [...] zullen we noteren als ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\ }$ " ; [3]

[26] B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1 1994, blz. 284: "Men noemt de getallen ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ de termen van de reeks. (N.B. Dit zijn ook de termen van de rij ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ . De termen van de rij ${\textstyle \,\{S_{n}\}\,}$ zijn echter ${\textstyle \,S_{1},S_{2},S_{3},\ldots \,}$ " .

[27] Hier dient 'som van de reeksvorm ...' gelezen als 'waarde van de reeksvorm ...', of als 'som van de in de reeksvorm ... beschreven rij'.

[28] Hier dient 'convergeren van de reeksvorm ...' gelezen als 'getalwijzend (getalaanduidend? getalbeschrijvend?) zijn van de reeksvorm ...', of als 'sommeerbaar zijn van de in de reeksvorm ... beschreven rij'.

[29] In deze betekenis wordt in plaats van 'reeks' ook 'somrij' gebruikt, steeds in de combinatie 'de somrij van de rij ...'. 'Somrij' is niet de naam voor een bepaald soort rij (want iedere rij is de somrij van z'n eigen verschilrij).

[30] S. Haschler, schule 2005-06, blz. 3 'Reihen': "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{k})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{k})\,}$ ."

[31] M. Veraar, Wiskundige structuren (TU Delft) 2016, module 6.1: "Laat ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ een rij reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen ${\textstyle \,(s_{n})_{n\geq 0}\,}$ wordt de reeks van ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ genoemd"; [4]

[32] B. Keller, Folgen und Reihen 2017 blz. 4: "Die Folge ${\textstyle (s_{n})\,}$ [...] nennen wir Reihe der Folge ${\textstyle (a_{n})\,}$ ."

[33] J. Leydold, Grundlagen 2017, blz. 34: "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."

[34] W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra, derde deel 1e druk 1931 en 3e druk 1939, blz. 100, 108: "Een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks; [...] Een reeks, waarbij ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat, heet convergent."

[35] P. Wijdenes, Nieuwe School-algebra, deel III, 2e druk 1928, blz.96 en 113 (idem deel II, 12e druk 1942, blz. 160 en 183): "Een rij van getallen, die volgens een bepaalde wet gevormd worden, heet een reeks; [...] Men zegt, dat de meetkundige reeks voor ${\textstyle |r|<1}$ convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat."

[36] C.F. Gauss (1777-1855), 'Werke', Band X Abteilung 1, blz .400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenzwerthe"; "pages":[406,"view":"toc"}

[37] Noot: Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies

[38] Betekenisbeschrijvingen van 'reeks' in Nederlandstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'rij' :
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Eene menigte grootheden, waarvan ieder volgende naar eene zekere wet, aan alle gemeen, bepaald wordt, draagt den naam van rij of reeks, " .
– P.J. Prinsen, Anoldus Bastiaan Strabbe's Eerste beginselen van de arithmetica of rekenkunst, vierde deel, 4e druk 1832, blz. 163: "Eene oneindige reeks is een vervolg van breuken, die steeds in een bestendige orde voortgaan, ".
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 25: "Men noemt in het algemeen eene reeks eene opeenvolging van termen die volgens eene bepaalde wet van elkander afhangen, en die op eene gegevene wijze op elkander volgen."
– B.L.de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 146: "Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens zekere wetten van elkander afhangen."
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: &thinsp"Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens eene zekere wet van elkaâr afhangen."
– J. Versluys, Tijdschrift voor vormleer, rekenkunde en de beginselen der wiskunde, 1882 Jrg.4, blz. 45: "Wil men een bepaling van reeks geven, dan zou men kunnen zeggen, dat een rij van getallen een reeks is."
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 1: "Elke rij van getallen, positieve of negatieve, geheele of gebroken, meetbare of onmeetbare, die op de een of andere wijze van elkaar afhangen, kan men een reeks noemen."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 167: "Een reeks is een opvolging van getallen die aan een bepaalden wet van wording voldoen."
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige reeksen Bijvoegsel van het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde gewijd aan onderwijsbelangen, 1924/25, jrg.1 nr. 4, blz. 142-160: "een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk (d.w.z. positief geheel) getal) een grootheid toeordent."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, deel 1, 2e druk 1933, blz. 119: "Is u_n een functie van het indexgetal n, dan heet de rij getallen: u₁, u₂, u₃ ....u_n,.... een oneindig voortloopende reeks van constante getallen u_n."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, leerboek voor de acte wiskunde l.o., deel II, 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".
– O. Donker, Handleiding no. 3, analyse - reeksen, 1948, blz. 5: "Een rij is een verzameling van een oneindig aantal onsamenhangende termen. Een reeks is een verzameling van een oneindig aantal samenhangende termen. Een reeks is dus op te vatten als een geordende rij. De termen van een reeks zijn samenhangend; d.w.z. een volgende term is steeds uit een voorgaande af te leiden."
– B.Marius, A.C.Valkenaars, Algebra voor de kweekschool, 1961, blz. 87: "Een reeks is een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd is."

[39] In Nederlandse schoolboeken, tot de introductie van het woord 'rij' rond 1960, werd een oneindige getallenrij uitsluitend met 'reeks' aangeduid:
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra met vraagstukken, deel 4, 2e1907
– A. van Thijn, Leerboek der Algebra, met vraagstukken, deel 3, 2e1918
– S. Osinga, Beknopt leerboek der algebra, 1e1918
– S. Osinga, Rekenboek voor aspirant-machinisten en machinisten ter koopvaardij, 2e1919
– P. Wijdenes, D. de Lange, Leerboek der algebra, deel 3, 4e1921
– P. Wijdenes, Middelalgebra (ééndelig), 1e1921
– L. Yntema, A.J. c.s., 'Algebra voor VHMO, deel 3: 1e1926
– H.C. Derksen, Algebra /vraagstukken met theorie, deel 3, 3e1926
– C.A. van Beek, W.H.C. van Heek, Algebra /voor Onderwijzersopl. en Hoofdakte-studie, 2e1926
– J.C. van Velthoven, Overzicht der algebra/voor het eindexamen gymnasium en hbs, 1e1935
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 1e1935
– P. Wijdenes, Lagere algebra II (Vergelijkingen, Functies, Grafieken, Reeksen), 3e1935
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra /ten dienste der hbs, deel 3, 2e1936
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra IV-gymn., 1e1946
– B. Coster, A. van Dop, Algebra voor het eindexamen, 1e1950
– G.N. Meurs, S. de Vries, Algebra (serie: Op hoger plan, voor U.L.N.O…) deel 2, 5e1950
– P. Jansen, G.W. van Brink, Beknopte theorie der rekenkunde, 9e1951
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-bèta, 1e1952
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-alfa, 1e1953
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 8e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 3 4e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 2 7e1956
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Algebra voor het eindexamen, 3e1956
– P.J.G. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra voor VH&MO, deel 3, 2e1957
– C.J. Alders, G.J. Hietbrink, Algebra voor kweekscholen, 2e1958
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 32e-35e druk 1959
– E.J. Peusken, A.J. de Boer, Leerboek der algebra (serie B, v. V&M Nijverh.O), 3e1959
– G. Smit, Verzameling van algebraïsche vraagstukken met de theorie, deel 3, 21e1960
– C. Munk, J. Schaafsma, Algebra /bestemd voor het kweekschoolonderwijs, 1e1960, 2e1963
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 11e1961
– G. ter Hennepe, J.W. Oostenga, Algebra /leerboek voor het ulo-onderwijs, deel 3, 1e1962
– H. Vergoossen, Algebra (UTO-reeks), deel 2, 4e1963

[40] Betekenisbeschrijvingen van 'Reihe' in Duitstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'Folge' :
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, ca. 1800, blz. 390-395: "... man beschränkt daher in der höhern Mathematik den Ausdruck Reihe auf den Inbegriff solcher Grössen, die, insofern man jeder derselben ihre eigene Stelle anweiset, d.i. die erste, zweite, dritte Grösse u.s.f. unterscheidet, alle nach einem Princip bestimmt werden. "
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 113: "Eine Reihe heisst eine Folge von Zahlen, welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– J.C. Fischer, Reine Elementar-Mathematik, 1820, blz. 165: "Unter einer Reihe oder Progression (series s. progressio) versteht man eine Menge von Grössen oder Gliedern (termini), welche ingesammt von einem allgemeinen Gesetze abhangen."
– J. von Gott Bundschue, Lehrbuch der Arithmetik,1824, blz. 203-204: "Eine Menge von Grössen, derer jede nach einem allgemeinen Gesetze bestimmt ist, wird eine Reihe (Series) oder eine Progression (Progressio, von progredior - fortgehen) genannt; ".
– D.F. Hecht, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, . . ., 3.Aufl. 1853, blz. 61: "Eine Progression oder Reihe ist jede Folge von Grössen oder Gliedern, die alle nach einem gemeinschaftlichen Gesetze [...] bestimmt werden,".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz.2: " Reihe = jede Folge von Grössen, welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind."
– C. Spitz, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, erster Theil, 1874, blz. 412: "Eine Folge von Grössen oder Zahlen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze fortschreiten, heisst eine Reihe oder Progression."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Man nennt "Reihe" eine unbegrenzte Folge von Zahlgrössen u₀, u₁, u₂, u₃, etc..... , welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Xav. Pfeifer, Der goldene Schnitt, 1885, blz. 4: "Die mathematische Reihe ist eine Folge von gleichartigen Grössen, welche nach einem bestimmten Gesetze fortschreitet."
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 178: "Unter einer Reihe versteht man eine unbegrenzte Folge von Zahlgrössen u₁, u₂, u₃, u₄, . . . welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Es seien u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n die aufeinander folgenden Glieder einer Reihe, so gebildet, dass jedes Glied aus dem vorhergehenden in gesetzmässiger Weise abgeleitet werden kann."
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "Eine Reihe besteht aus einer Anzahl von Gliedern, die nach demselben Gesetze gebildet sind." blz. 159:"Die Anzahl der Glieder einer Reihe kann unendlich wachsend angenommen werden. Man erhält dann eine unendliche Reihe."
– H. Weber, Encyklopädie der elementaren Algebra und Analysis, 2. Aufl. 1906, blz. 395: "Unter eine Zahlenreihe verstehen wir eine gesetzmässige Aufeinanderfolge von Zahlen irgend welcher Art: ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\,}$ und nennen diese Zahlen auch die Glieder der Reihe."
– P. Epstein (oorspr. Italiaans E. Pascal), Repertorium der höheren Analysis, 1. Hälfte, 2. Aufl. 1910, blz. 421: "Eine nach irgendeiner Vorschrift gebildete Folge von Zahlen ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ heisst eine Reihe. "
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919, idem 3. Aufl. 1921, blz. 171: "[...] ${\textstyle \,u_{1};\ u_{2};\ u_{3};\ \cdots \ }$ [...] heisst jedesmal eine unendliche Reihe ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 189: "Bildet man bei einer arithmetischen Reihe die Summen, die sich nacheinander durch Hinzunahme von immer mehr Gliedern ergeben, so entsteht eine neue Zahlenfolge oder Reihe."
– G. Kowalewski, Die klassische Probleme der Analysis des Unendlichen, 3. Aufl. 1938, blz. 1: "so findet man a, aq, aq², . . . Dies ist eine geometrische Reihe ... ."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Dabei ist nun jede komplexe Zahlenfolge (u_n)_n eine unendliche Reihe . . .".

[41] Betekenisbeschrijvingen van 'série' in Franstalige studieboeken, vóór circa 1880:
– A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, u₂, u₃, &c. ... qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée. "
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 486), blz. 520: "On appelle suité infinie, série infinie, ou simplement suite, série, une expression composée d'un nombre illimité de termes. La série est dite régulière, lorsqu'à partir d'un certain terme tous les suivants peuvent être formés d'après une même loi."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 25: "On appelle série une suite de grandeurs déterninées dont le nombre est indéfini."; blz. 437: "On appelle série une suite de termes positifs ou négatifs, dont le nombre est infini."
– Ch. Sturm, Cours d'analyse, tome I; 2me édition, 1863, blz. 40: "Une série est une suite composée d'un nombre infini de termes formés tous après une loi déterminée."
– C. Méray, Nouveau précis d'analyse infinitésimal, 1872, blz. 19: "Une série est une suite de quantités réelles ou imaginaires en nombre illimité se calculant successivement suivant une loi donnée."
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, ··· u_n, ··· formées suivant une loi déterminée."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est une suite illimitée de nombres se succédant d'apres une loi déterminée;" .
– G. Dubois, Définition des series formelles, 2015 (of later): "Une série formelle (à coefficients dans ${\textstyle \,A\,}$ ) est tout simplement un élément de l'espace produit ${\textstyle \,A^{\mathbb {N} }}$ . Donc une série formelle est une suite ${\textstyle \,S=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ . Nous rappelons qu'une telle suite n'est rien qu'n autre nom pour une application de ${\textstyle \,\mathbb {N} \,}$ dans ${\textstyle \,A\,}$ .

[42] Betekenisbeschrijvingen van 'series' in Engelstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'sequence' :
– A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation, [...] ".
– J. Wood, The elements of algebra, 12th edition 1845, blz. 232: "An infinite series is a series of terms proceeding according to some law, and continued without limit."
– W.M. Buchanan, A Technological Dictionary: explaining . . ., 1846, blz. 655: "SERIES, - 2. In analysis, a succession of terms, or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– H.L. Horton, Mathematics at work; first edition, 1949, blz. 2-23: "A series is a succession of terms whose formation is governed by the Law of the Series, each term being derived from one or more preceding terms by the provision of this law."
– A.A. Klaf, Arithmetic refresher for practical men, 1964, blz. 266: "What is a series? A succession of terms so related that each may be derived from one or more of the preceding terms in accordance with some fixed rule or order."

[43] Beschrijvingen van de wiskundige betekenis van het Latijnse 'series' :
– Groot en volledig woordenboek, 1758, blz. 324: "ONEINDIGE Ry, REEK of SCHAKELING, Infinita Series, is eene Ry van oneindige Getalen, die na een zekere Order geduurig voortgaan, zoodanig, dat men dezelven daar door duidelyk begrypen, en van alleen anderen Ryen der Getallen onderscheiden kan. "
– Paulus Mako, Compendiaria matheseos institutio, editio tertia 1771, blz. 209 Caput V, De seriebus: "Series est ordo quantitatum certa aliqua, et constanti lege excipientium. E.g. progressiones arithmeticae, et geometricae sunt series".

[44] (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet, (3) (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.

[45] – R.C. Buck, Advanced calculus, 1956, blz. 105: "An infinite series is often defined to be "an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }a_{n}}$ ". It is recognised that this has many defects.
- P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In het Nederlandse V.H.M.O wordt doorgaans tussen rijen en reeksen geen duidelijk onderscheid gemaakt."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The terminology introduced in this definition [a sequence is summable if the sequence of its partial sums converges] is usually replaced by less precise expressions;".
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Het taalgebruik t.a.v. reeksen is traditioneel slecht. [...] Het lukt overigens niet goed om 'reeks' als substantief op te vatten. Het is vaak een soort metaterm, zoals 'linkerlid', waarmee men spreekt over de expressies die men heeft opgeschreven."
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1 1994, blz. 284: "Men noemt de getallen ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ de termen van de reeks. (N.B. Dit zijn ook de termen van de rij ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ . De termen van de rij ${\textstyle \,\{S_{n}\}\,}$ zijn echter ${\textstyle \,S_{1},S_{2},S_{3},\ldots \,}$ ") .
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker:Teil 1, 2006, blz.156: "Eigentlich sind Reihen nichts anderes als spezielle Folgen..."
– A. van Rooij, Nieuw archief van wiskunde, 5/10 nr.1, 2009, blz. 63: "Logischerwijze is de derde term van de reeks ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ op deze manier ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}\,}$ , maar in de boeken is hij steevast ${\textstyle \,a_{3}\,}$ ."
– M. Ryan, "Calculus for dummies", 2nd edition 2014, blz. 326: "By the way, if you're getting a bit confused by the terms sequence and series and the connection between them, you're not alone. [...] The reason for getting into the somewhat confusing notion of a sequence of partial sums is that the definitions of convergence and divergence are based on the behavior of sequences, not series."
– G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "La distinction entre suite et série est donc bien mince. Les séries sont des suites particulières et toute suite peut être vue comme une série."
– J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "Sequences and series is often a difficult topic for students. It is easy to get sequences and series confused since a lot of the same terminology is used for both. A sequence is a list of numbers while an infinite series is a sum." [Commentaar: wat wordt bedoeld met 'a sum' ?]

[46] Noot: Vertalingen van 'reeks' zijn: Frans série, Engels series, Duits Reihe. En van 'rij': série, series, Folge.

[47] Vroege voorkomens van 'convergente rij':
– J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable, 1886, blz. 44: "Soit u₁, u₂, ..., u_n, ... , une suite infinie quelconque; si elle est convergente et a pour limite le nombre U, [...]".
– O. Biermann, Vorlesungen über mathematischen Näherungsmethoden, 1905, blz. 2: "Allgemein sagt man, eine Reihe [Commentaar: let op "Reihe".] von Grössen ${\textstyle \,c_{0},c_{1},c_{2},\cdots \,}$ die nach einem bestimmten Gesetze hergestellt seien, bildet eine konvergente Zahlenfolge, wenn nach Angabe einer willkürlich kleinen . . . " .
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 23: "Die Folge (1) [ ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \,}$ ] heisst dann eine konvergente Zahlenfolge oder eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, und man setzt ${\textstyle \,A=\lim _{n=\infty }a_{n}\,}$ ."
– G. Kowalewski, Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen, 1910 (idem 2.Aufl. 1921, idem 3. Aufl. 1938), blz. 77-78: "...wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist, " .
– G. Kowalewski, Das Integral und seine geometrischen Anwendungen, 1910 (serie Forschung und Studium Heft 1), blz. 1: "Man nennt die Folge konvergent und g ihren Grenzwert. Man sagt auch, dass die Folge (oder x_n) nach g konvergiert."
– O. Perron, Irrationalzahlen, 1921 (idem: 2. Aufl. 1939), blz. 48: "Eine Folge von Zahlen heisst konvergent, wenn sie einen endlichen Grenzwert hat,".
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (gelijksoortig: 5.Aufl. 1964, blz. 64-65), blz. 60: "Ist (x_n) eine vorgelegte Zahlenfolge und steht sie zu einer bestimmten Zahl ξ in der Beziehung, dass (x_n−ξ) eine Nullfolge bildet, so sagt man, die Folge (x_n) konvergiere gegen ξ , oder sie sei konvergent mit dem Grenzwert ξ , oder sie (bzw. ihre Glieder) näherten sich dem (Grenz-) Werte ξ, sie strebten gegen ξ , hätten den Limes ξ ."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A.".
– A. Hurwitz, R. Courant, Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen, 3. Aufl. 1929, blz. 8: "Eine unendliche Folge komplexer Zahlen [...] wollen wir konvergent nennen, wenn [verwijst in voetnoot naar "Knopp, Unendliche Reihen, 2. Aufl.1924].
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 21-22: "...noemt men de getallenrij (a_n) , uitvoeriger geschreven: a₁, a₂, a₃, . . . ., a_n, . . . convergent, als er een vast eindig getal L bestaat...".
– D.N. van der Neut, Limitaties en sommaties (proefschrift), 1933, blz. 1: "Met het symbool [...] {x_n} [wordt steeds bedoeld] de oneindige rij der getallen x_n (n=0,1,2,....), onverschillig of [...] de rij convergent is."

[48] Vroege voorkomens van 'convergerende rij':
– A. Pringsheim, "pages":[54,"view":"info"} Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, zweiter Band Analysis, erster Teil], 1899, blz. 32: "Ist a irgend eine bestimmte Zahl, für welche die Folge f_n(a) konvergiert,".
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A.".
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 25: "Als de rij zelve convergeert, is ook de rij van de moduli der termen convergent; ".

[49] – A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s_n s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la série."
– A-L. Cauchy, Résumé des leçons ... sur le calcul infinitésimale, tome premier, 1823, blz. 145: [gelijk aan Cauchy 1821].
– A-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différentiel, 1829, blz. 10: [gelijk aan Cauchy 1821].
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 487), blz. 520: "Les series qui remplissent cette condition sont appelées convergentes."
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 27: "men noemt daarom eene oneindige reeks van termen wier som tot eenen bepaalden limiet nadert convergent."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée. [...] Lorsque la somme des termes de la série tend vers une limite finie et déterminée, on dit que la série est convergente."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 437: "On dit qu'une série est convergente, lorsque la somme des n premiers termes tend vers une limite déterminée".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: "Indien bij het toenemen van het aantal termen hunne som een bepaald getal nadert, dan noemt men de reeks convergent."
– J.K. Becker, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, zweiter Buch, 1877, blz. 133: "Man nennt eine solche Reihe mit endlicher Summe eine convergente Reihe."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Wenn alsdann für stets zunehmende Werte von n die Summe s_n sich einer gewissen Grenze s beliebig nähert, so werden wir die Reihe convergent nennen,"
– J.G. Hagen, Arithmetische uns Algebraïsche analyse, 1891, blz. 70: "Eine unendliche (einfache oder vielfache) Reihe heisst convergent, wenn sich die Summe ihrer Glieder mit wachsender Anzahl einem bestimmten Grenzwerthe nähert,".
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "Si, pour une valeur indéfiniment croissant de n, la somme s_n tend vers une limite finie et déterminée s, la série est dite convergente;"
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 179: "Ist die Summe einer Reihe [...] eine endliche Zahl, so nennt man die Reihe convergent,"
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra, vierde deel, 1899 (idem: 2e druk 1907), blz. 95: "Een rij van getallen noemt men een reeks, als elk der getallen, bij een bepaald getal te beginnen, volgens een vaste wet uit één of meer voorgaande kan afgeleid worden." Blz. 99: "Wanneer de som van n termen eener reeks bij het onbepaald grooter worden van n nadert tot een limiet, dan noemt men de reeks convergent."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Wenn [...] lim_n→∞ s_n = s ist, so heisst die Reihe (u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n) konvergent und s ihre Summe."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est convergente si la somme de ses n premier termes S_n tend vers une limite S,"
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 160: "Eine unendliche Reihe, die eine endliche Summe hat, heisst konvergent;"
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 169: "Indien nu, voor lim n = ∞, de waarde van S_n nadert tot een bepaalde limiet S, zoo noemt men de oneindig voortlopende reeks convergent en heet S hare som."
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919 blz. 174: "Eine uneindliche Reihe mit konstanten Gliedern heisst konvergent, wenne die Summe ihrer n ersten Glieder bei unbegrenztem Wachsen der ganzen positiven Zahl n einem Grenzwert zustrebt,"
– Hk. de Vries, Leerboek der differentiaalrekening en integraalrekening ..., deel 1, 1e dr. 1919, blz. 274-275: "Nadert de som der eerste n termen eener oneindige reeks bij steeds aangroeiende n tot een bepaalde, eindige limietwaarde, dan noemt men de reeks convergent; ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 197: "Eine unendliche Reihe, die in diesem Sinne eine endliche bestimmte Summe hat, heisst konvergent, "
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– R.H. Rooda, Analyse, I Differentiaalrekening, 1930 (?), blz. 91: "Een reeks is een rij van getallen of functies, welke volgens een bepaalde wet uit elkander kunnen worden afgeleid." Blz. 91: "Een reeks heet convergent, indien de som der eerste n termen nadert tot een standvastige, eindige grenswaarde, ".
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra, derde deel, 1931 (idem: 2e druk 1936, 3e druk 1939), blz. 100: "Een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks; Blz. 108: " Een reeks, waarbij ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat, heet convergent."
– P. Wijdenes, Nieuwe School-algebra, deel III, 2e druk 1928, blz.96 en 113 (idem deel II, 12e druk 1942, blz. 160 en 183): "Een rij van getallen, die volgens een bepaalde wet gevormd worden, heet een reeks; [...] Men zegt, dat de meetkundige reeks voor ${\textstyle |r|<1}$ convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat."
– Ph. Kohnstamm, Keur uit het didactisch werk van prof. dr Ph. Kohnstamm, 1935 (Rede ter opening van de lessen van het Nutsseminarium), blz. 367: "Een convergente reeks is een rij van getallen zo gebouwd, dat haar som, [...] van een bepaalde grens afligt."
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra III-H voor m.o., 3e druk 1951, blz. 76: "Een reeks is een rij getallen." Blz. 91: "Een oneindig voortlopende reeks, die een som heeft, heet convergent;" .
– Joh.H. Wansink, "Reken- en stelkunde – leerboek der algebra", 1956 dl.2, 7e druk, blz. 177: "Onder een reeks verstaat men elke getallenrij, volgens een bepaald voorschrift gevormd." Blz. 189: "Reeksen, waarvoor lim_n→∞S_n bestaat, noemen we convergente reeksen; ".
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 2e druk 1957, blz. 66: "Een rij getallen wordt ook wel een reeks genoemd." Blz.85: "Een oneindig voortlopende reeks heet convergent, als hij een som heeft, ".
– C.W. Wolfswinkel, J. Vermeer, De exacte vakken op het eindexamen H.B.S.-B, 1957 dl.1A, blz. 53: "Een reeks is een rij van getallen, die alle volgens een bepaald voorschrift worden afgeleid ". Blz. 53: "Als lim_n→∞S_n bestaat en eindig is, dan heet de reeks convergent, ".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 7e druk 1958, blz.307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks;" Blz. 323-324: "Men zegt, dat de meetkundige reeks voor |r|<1 convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat lim_n→∞ S_n bestaat."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."

[50] – J.G.C. Kiesewetter, Fortsetzung der Anfangsgründe der reinen Mathematik, 1818, blz. 24: "Eine Reihe, bei deren Fortschritt man sich immer mehr ihrem Gesmmtwerthe nähert, heisst konvergirend; ".
– L.C. Schulz von Strassnitzki, Arithmetik, 2. Aufl. 1848, blz. 498: "Dieses Nähern der Summe der Glieder einer Reihe, je mehr als man Glieder nimmt, nennet man das Convergiren der Reihe, und je rascher die Annäherung gehet, desto convergirender nennt man die Reihe."
- B.L. de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 199: "Eene reeks convergeert wanneer de som van hare termen voor eene limiet vatbaar is."
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. van Aller, Leerboek der hoogere stelkunde, 2e druk 1914, blz. 201: "Een reeks heet convergeerend, indien de som van de eerste n termen nadert tot een standvastige grens,".
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."
– S.T.M. Ackermans, J.H. van Lint, Algebra en analyse, 1970, blz. 222: "We zullen spreken van "de reeks ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots }$ " of "de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ". Als lim_n→∞ s_n bestaat (noem de limiet s) dan zeggen we dat de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ convergeert en we noemen s de som van de reeks."

[51] – P.J.G. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 188: "sommeerbare rij (voor: oneindige rij, waarvan de getallen een som hebben)".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 282: "een sommeerbare rij, d.w.z. lim_n→∞ s_k bestaat, "
– Wimecos-commissie (C.J. Alders c.s.), Ontwerp leerplan-wiskunde voor h.a.v.o., 1e druk 1966 (idem 3e druk 1969), blz. 12: "3.3 Klassen 4 en 5 [...] Sommeerbare meetkundige rijen."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The sequence {a_n} is summable if the sequence {s_n} converges. In this case lim_n→∞s_n is called the sum of the sequence {a_n}. Ook: absolutely summable, Cesaro summable, Abel summable, uniformly summable."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 5e druk 1967, blz. 90: "Als [...] dan heet de rij sommeerbaar. "
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 9e druk 1968, blz. 88: "Onder de som van een oneindige rij verstaan we ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ . Een oneindige rij heet sommeerbaar, als hij een som heeft."
– P.E. Lepoeter, Gids voor de algebra van de B-afdelingen van het v.h.m.o., 3e druk 1968, blz. 134: "Een oneindige rij heet sommeerbaar als lim_n→∞ s_k bestaat; " .
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 57: "Sommeerbare rijen ".
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1, 6e druk 1974 (idem 8e druk 1985), blz. 276: "Zij zeggen dan, indien lim_n→∞ S_n bestaat, [...] dat de rij {u_n} [...] sommeerbaar is."
– A. van Rooij, Analyse voor beginners, 2e druk 1989, blz. 71: "Stel nu eens dat deze rij s₁, s₂, ... een limiet heeft. Dan noemen we die limiet de som van de rij x₁, x₂, ..., en de rij x₁, x₂, ... heet sommeerbaar. "
– B. Kaper, H. Norde, Inleiding in de analyse, 1996, blz. 177-179: "Een oneindige som is een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}t_{4}{+}\cdots \,}$ , waarbij ${\textstyle \,t_{1},t_{2},t_{3},t_{4},\ldots \,}$ de termen van een rij zijn. [...] We noemen de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ sommeerbaar, als de rij van partiële sommen ${\textstyle \,(S_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , voortgebracht door de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , convergeert."
– Profi-team (Freudenthal-instituut), Trajectenboek Wiskunde N&G en N&T vwo, 1998, blz. 54: "Een rij heet sommeerbaar als de bijbehorende somrij (d.i. de rij van partiële sommem) een eindige limiet heeft."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 42: "De rij (a_n) heet in dit geval sommeerbaar."
– C.S. Kubrusly, Elements of operator theory, 2001, blz. 201: "If the sequence of partial sums {y_n} converges [...] then we say that {x_n} is a summable sequence" . "If the real-valued sequence {||x_n||} is summable, then we say that {x_n} is an absolutely summable sequence ".
– F. Spijkers, Wiskunde-web, versie: oktober 2002, "Als de somrij van t_n convergeert, dan noem je die rij sommeerbaar. "
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "A complex sequence ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is summable if and only if the series ${\textstyle \,\sum \{a_{n}\}\,}$ is convergent."
– A.C.M. van Rooij, Nieuw archief voor wiskunde 5/10 nr. 1, 2009, blz.62 regel 37-39: "In plaats van convergente reeksen heb je dan sommeerbare rijen, en alles is in orde. Een bonus is dat je het woord 'convergent' niet in twee betekenissen gebruikt."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "A sequence x₁, x₂, . . . of real numbers is summable if and only if the corresponding sequence of partial sums is a Cauchy sequence,".
– P.J. Bartlett, California Institute of Technology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "A sequence is called summable if the sequence of partial sums converges."
– gree, digiSchool-Mathématiques, Forum, 2015: "Soit ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,}$ une suite sommable de nombres complexes."
– K.P. Hart, Pythagoras (tijdschrift), 2014 nummer 6, blz. 24: "Een rij waaraan op deze manier een som is toe te kennen heet sommeerbaar."
– O. Riesen, Dokumente für den Unterricht, website 2019, sectie Zahlenfolge / 3. Teilsummen, Reihen / Skript / 3.3 Allgemeine Teilsummen von Folgen / 1) c): "Eine (beliebige) Folge (a_n) heisst summierbar, wenn der Grenzwert der Teilsummenfolge (s_n) existiert.

[52] – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 98: "Sogenannte Summierbarkeit von Reihen. Als eine direkte Verallgemeinerung des Begriffes Konvergenz einer unendlichen Reihe hat man in der neuesten Zeit den Begriff Summierbarkeit einer Reihe eingeführt. [...] so heisst die uneindliche Reihe summierbar mit der Mittelsumme S."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946, blz. 7: "De redenen, welke wiskundigen er toe gebracht hebben naast het begrip der convergentie dat der sommeerbaarheid te stellen, zijn veelvuldig en gegrond."

[53] Zo'n alternatieve som dient overeen te komen met de 'gewone' som, bij toepassing op een 'gewoon' sommeerbare rij.

[54] – A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, connected together by the signs plus ans minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, proceeding according to some law or determinate relation, as 3, 5, 7, 9, &c. " (Commentaar: waarom geen plus- en mintekens in het voorbeeld?)
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige Reeksen, 1925, artikel in Euclides jrg. 1 nr. 4 pp.142-160. blz. 143: "Wat is een oneindige reeks? De tegenwoordige wiskunde beantwoordt deze vraag aldus: een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk getal een grootheid toeordent." Blz. 146: "Al naar nu bij het onderzoek van een oneindige reeks het voornaamste doel is het bedrag van de opeenvolgende termen te leeren kennen, dan wel in hoofdzaak het bestaan van een som ons interesseert, spreekt men van fundamentaalreeks en van somreeks. Bij de laatste verbindt men de termen door + teekens."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946 (artikel), blz. 22: "De getallen van iedere rij vormen een convergente reeks, wanneer men er plus teekens tusschen plaatst en de volgorde niet wijzigt ".
- P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In de mathematische literatuur wordt onderscheid gemaakt tussen rijen en reeksen: ${\textstyle \ t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\ldots \ }$ is een rij, ${\textstyle \ \ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\ldots \ }$ is een reeks. "
– W. Maak, An introduction to modern calculus, (Duits 1960) 1963, blz. 40: "We have an infinite series if, between each two terms of an infinite sequence [...] we insert a plus sign: "
– L. Bers, Calculus, 1969, par. 4.1: "An infinite series is a sequence of numbers with plus signs between these numbers."
– M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz. 322: "Change the commas to addition signs and you've got a series;".

[55] Noot: Vaak krijgt de beginterm index 0 in plaats van 1, ter vereenvoudiging van de formule voor de algemene term.

[56] Oude voorkomens van het sommatie-teken:
– J. Liouville, Sur la sommation d'une série, 1837 (Journal de Liouville, Série 1, tome 2), blz. 107: "En représentant par ${\textstyle \,X_{0}+X_{1}z+etc.\,}$ ou par ${\textstyle \,\sum X_{n}z^{n}\,}$ le développement de ${\textstyle \,(1-2xz+z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,}$ , " .
– J. Bertrand, Règles sur la convergence des séries, 1842 (Journal de Liouville, tome septième), blz. 39 "donc la série ${\textstyle \,\sum u_{n}\,}$ a tous ses termes plus Petits que ceux de la série convergente ${\textstyle \,\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}\,}$ ".

[57] – M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 397: "In more formal language, the sequence {a_n} is absolutely summable if the sequence {|a_n|} is summable."
– H. König, Analyse 1, 1984, blz. 94: "Eine komplexe Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}\,}$ ist dann und nur dann absolut summierbar, wenn die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ absolut konvergent ist."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 43: "We noemen de rij (a_k) absoluut sommeerbaar indien de rij der absolute waarden (|a_k|) sommeerbaar is. "

[58] – J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "examples to demonstrate the difference between the limit and the sum of a series."
– Mathematics Support Centre (Maynooth Univ. Ierland), Handout, 2019(?): "Limit of a Series. [...] its limit, that is ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ ."
– wikiHow, How to determine convergence of infinite series, 2019(?): "If the limit of a series is 0, that does not necessarily mean that the series converges."

[59] Wél kwam voor: het 'naar een limietwaarde streven' of 'naar een limietwaarde convergeren' van een expressie met een discrete variabele n, of van 'de som van de eerste n termen'.
– A.-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différential, 1829, blz. 91: "Or la somme de ses n premiers termes [...] convergera [...] ou cessera de converger [...]". Blz. 96: "Si, pour des valeurs croissantes de n, le rapport ${\textstyle \,{\frac {\rho _{n+1}}{\rho _{n}}}\,}$ converge vers une limite fixe ".

[60] – J. Harris, Lexicon technicum, or, An universal English dictionary of arts and sciences : explaining not only the terms of art, but the arts themselves, 1708, blz. 717: "SERIES, properly speaking, is an orderly Process or continuation of things one after another. 'Tis commonly in Algebra connected with the Word Infinite, and there, by Infinite Series, is meant certain Progressions, or Ranks of Quantities orderly proceeding, which make continual Approaches to, and if infinitely continued, would become equal to what is inquired after."
– E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences; volume the second, 1728 (idem 6th edition 1750), blz. 59: "SERIES, in Algebra, a Rank or Progression of Quantities, increasing or decreasing in some constant Ratio, which, in its Progress, approaching still nearer and nearer some sought Value, is called a Converging Series, and if infinitely continued, becomes equal to that Quantity; whence its usual Appellation of Infinite Series: Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."
– D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1765, volume XV blz. 93: "SERIE ou SUITE, en Algebre, se dit d'un ordre ou d'une progression de quantité, qui croissent, ou décroissent suivant quelque loi : Lorsque la suite ou la série va toujours en approchant de plus en plus de quelque quantité fini , & que par conséquent les termes de cette série, ou les quantités dont elle est composée, vont toujours en diminuant, on l'appelle une suite convergente, & si on la continue à l'infini, elle devient enfin égale à cette quantité. Ainsi 1, ½, ¼, ⅛, &c. est une série convergente."

[61] – A.-L. Cauchy, Cours d'analyse, 1821, blz. 124: "[...] pour que la série ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2}\ldots u_{n},u_{n{+}1},\,\&\mathrm {c} .\,\ldots \,}$ soit convergente, il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme ${\textstyle \,s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\,\&\mathrm {c} .\,\ldots {+}u_{n-1}\,}$ vers une limite fixe s ".
Kennelijk gaat het bij de keuze tussen komma's en plustekens niet om een inhoudelijk verschil maar om de voorkeur van de auteur. Want waar N.H. Abel (in Untersuchungen über die Reihe ... 1826) A.-L. Cauchy (Cours d'analyse 1821) citeert, veranderen de komma's in bovenstaande reeks-notatie in plustekens: ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ ; zie "pages":[328,"panX":0.406,"panY":0.972,"view":"info","zoom":0.917} Crelle's Journal, voetnoot op blz. 316].
– M. Ohm, Versuch eines vollkommen consequenten Systems der Mathematik, zweiter Theil, 1829, blz. 1: "Eine Reihe von Ausdrücken von der Form ${\textstyle \,a,\,a+d,\,a+2d,\,a+3d,\,a+4d,\,\mathrm {etc.etc.} \,[...]\,}$ ,".
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "So sind ${\textstyle \,a,2a,3a,4a,5a,\ldots \,;\quad 1,2x,3x^{2},4x^{3},\ldots \,}$ Reihen," .
– J.M. Reichert, Analyse, vraagstukken met beknopte aanduiding der theorie ..., 1945 (of 1946), blz. 31: "Ga na of de reeks: ${\textstyle \,x\,\mathrm {sin} \,x,\,x^{2}\,\mathrm {sin} \,2x,\,x^{3}\,\mathrm {sin} \,3x\ldots \,}$ convergent of divergent is voor x = [...] (T.H. 1928). (Commentaar: in de beschrijving van de oplossing zijn de komma's vervangen door plus- en mintekens.)

[62] – E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences, 1728 (idem 6th edition 1750), bij trefwoord 'Series': "Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which Always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."

[63] – D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1754, volume IV blz. 165: "CONVERGENT, adj. en algebre, se dit d'une série, lorsque ses termes vont toûjours en diminuant. Ainsi 1, ½, ¼, ⅛, &c. est une série convergente."
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Zamenloopende of convergerende reeksen zijn dezulke, welker opeenvolgende leden gedurig in waarde afnemen. "
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 120: "Nur konvergirende, das ist, abnehmende Reihen können Grenzen (ihrer Summen) haben, weil ihr sogenanntes letztes Glied verschwindet; ".
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Ich werde unter Convergenz, einer unendlichen Reihe schlechthin beigelegt, nichts anderes verstehen, als die beim unendlichen Fortschreiten der Reihe eintretende unendliche Annäherung ihrer Glieder an die 0. "
– De 'nulrij'-betekenis van "convergente Reihe" wordt ca. 1914 verouderd genoemd. In een voetnoot op blz. 833 van deel II-1.2 van de Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften zegt H. Burkhardt: Das Wort Konvergenz gebraucht übrigens Gauss bekanntlich noch im alten Sinne, in dem es sich nur auf die unbegrenzte Abnahme der Reihenglieder, nicht auf die Existenz eines Grenzwertes für die Reihensumme bezog." .

[64] C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenz-werthe".

[65] – J.-J. de Marguerie, "Mémoires de l'académie royale de marine, tome premier; Mémoire sur les suites, 1773, blz. 142-240: "Les suites sont une des plus grandes parties de calcul; la plus importante opération que l'on fasse sur elles, est de les sommer: mais de toutes les suites qui se rencontrent en cherchant à résoudre un problème, le nombre des suites exactement sommables est si petit, que les Géomètres ont tourné toute leur attention vers les suites insommables." [Commentaar: opvallend is het gebruik van 'suite' en niet 'série'.]
– A. Rees, The CYCLOPAEDIA; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literature, vol. XXXII, 1819, lemma 'Series' vijfde tekstkolom: "[...] that James [Bernoulli], having turned his attention to the doctrine of series, had discovered a few which were summable, and which he proposed to his brother;".
– G.S. Klügel, C.B. Mollweide, Mathematisches Wörterbuch, vierter Theil, 1823, blz. 560: "Summierbare Reihe ist, deren Summe durch einen endlichen Ausdruck sich angeben lässt."
– J. de Gelder, Beginselen der differentiaal-, integraal- en variatie-rekening, tweede deel, 1850 (bewerkt door Verdam), blz. 390: "Eene oneindig voortloopende reeks wordt gezegd sommeerbaar te zijn, wanneer de som van al derzelver termen in eene bepaalde stelkundige of transcendentale functie der veranderlijke grootheid, van welke de termen der reeks afhangen, volkomen en naauwkeurig wordt voorgesteld."
– D. Bierens de Haan, 'De Gids' boekbespreking: J. de Gelder, D&I-rekening deel 2, 1850, jrg.14 blz. 650: "Latere wiskundigen (onder anderen Prof. Schlömilch) noemen het voorstellen eener oneindige reeks onder den vorm van eene bepaalde integraal, dat is, van eene geslotene uitdrukking, het sommeren derzelve [...] kan dan zulk eene integraal door eene stelkundige of transcendentale functie worden voorgesteld - iets dat niet altijd het geval is - zoo is de reeks gesommeerd volgens de vroegere, minder algemeene bepaling."
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 86: "Solche Reihen, deren Summe in geschlossener Form dargestellt werden konnte, wurden in früheren Zeiten "summierbar" genannt; dieser Begriff ist aber wohl von dem modernen Begriffe der Summierbarkeit einer Reihe [Cesàro-sommeerbaarheid] zu unterscheiden."
– M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of mathematical functions", 1965, Dover edition blz. 1005, sectie 27.8.6: "Sectie-hoofdje Summable Series, gesloten vormen voor de som van een zestal rijen."
– A.D. Wheelon, Tables of summable series and integrals involving Bessel functions, 1968, blz. 3: "A surprisingly number of infinite series can be summed in closed form, just as many integrals can be done analytically."

[66] – J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable I, 2ième éd. 1904, blz. 114: "on désigne sous le nom de série un symbole tel que $\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,$ " [Commentaar: In de 1ière édition 1886, blz.45 is nog géén sprake van 'un symbole'; wél, in één zin: "la suite infinie ${\textstyle \,s_{1},s_{2},...,s_{n},...,\,}$ est convergente", voorafgegaan door het definiërende: "La série ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ , est dite convergente,".]
– E. Cesàro, Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung, 1904, blz. 118: "Eine der wichtigste Anwendungen der Theorie der Grenzwerte besteht darin, zu untersuchen, welche Bedeutung einem Aggregat von unendlich vielen Zahlen ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ beigelegt werden muss, und ob auf ein solches Aggregat, welches man als eine Reihe bezeichnet, immer die Eigenschaften die aus einer endlichen Anzahl von Teilen zusammengesetzten Summen anwendbar sind."
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (idem: 5.Aufl. 1964, blz. 100) blz. 93-94: " Unendlichen Reihen. Das sind Zahlenfolgen, die auf folgende Art gegeben werden. [...] Man gebraucht fur diese Folge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ die Symbolik $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,$ oder kürzer $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,$ oder noch kürzer und prägnanter ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ und nennt dies neue Symbol eine unendliche Reihe;" . [Commentaar: dezelfde naam voor een rij en voor een symbool !]
– F. Schuh, Lessen over de hoogere algebra III 1926, blz. 181: "De uitdrukking u₁+u₂+u₃+ ··· of ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }u_{n}\,}$ wordt een oneindige reeks (ook wel oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks) genoemd."
– TEGENSTEM: Door E.J. Dijksterhuis wordt de tekst van Schuh over 'reeksen' in alle opzichten volledig afgekraakt in een boek-recensie in het BIJVOEGSEL van het NTvW, 3e jrg. 1926/27 nr. 3-4, blz. 98 vanaf 'Intusschen ...'.
– P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Men noemt deze uitdrukkingen [ ${\textstyle u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ ] oneindig voortlopende reeksen, of kortweg reeksen."
– W.K. Morrill, Calculus, 1956, section 15.2: "If ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\cdots ,u_{n},\cdots \,}$ is a given neverending sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– H. von Mangoldt, K. Knopp, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (vanaf 6. Aufl. 1932 ingrijpend bewerkt door Konrad Knopp), 11. Aufl. 1958 blz. 196: "Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ " .
– L.J. Adams, P.A. White, Analytic geometry and calculus, 1961, blz. 566: ". . .the expression ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– J.R. Britton, R.B. Kriegh, L.W. Rutland, Calculus and Analytic Geometry 1963, blz. 835: "An expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\ldots \,=\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ is called an infinite series" .
– L. Kuipers, Handboek der wiskunde, 1963 (idem 2e druk 1966), blz. 220: "Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}u_{4}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ heet een (oneindige) reeks."
– E. Hille, Analysis, volume I, 1964, blz. 276: "With the sequence ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ we define the series ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ , which is usually written ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}\,}$ . This symbol ..." .
– W. Rudin, Principles of mathematical analysis 1964, blz. 51: "The symbol ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ we call an infinite series, or just a series".
– F. Bowman, F.A. Gerard, Higher calculus 1967, blz. 98: "An expression of the form ${\textstyle \ u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series" .
– F. van der Blij, J. van Tiel, Infinitesimaalrekening, 1969, blz. 213: "De uitdrukking ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ , ook wel geschreven als ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ , noemen we een reeks; ".
– Sze-Tsen Hu, Calculus 1970, blz. 614: "For any sequence ${\textstyle \,u:N\to R\,}$ , the expression ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is known as the (infinite) series with ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ as terms.
– The Open University, U.K., Sequences and limits II 1971, blz. 38: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ " .
– J.H.J. Almering c.s., Analyse, 2e druk 1977 (idem 1e druk 1974), blz. 216: "De aldus gevormde rij ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ wordt aangegeven met ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ en deze symbolische uitdrukking wordt reeks genoemd."
– H.-J. Schell, Unendliche Reihen, 1978, blz. 9: "Einen solchen Ausdruck nennt man eine unendliche Reihe (oft auch kurz Reihe)."
– C. Blatter, Analysis I 1980, Kapitel 7: "Ist ${\textstyle (a_{k})}$ eine Folge von Zahlen oder Vektoren, so heisst der Ausdruck ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ eine Reihe" .
– R.E. Larson, R.P. Hostetler, Calculus with analytic geometry, 1986, section 10.3: "If ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is an infinite sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series (or simply a series)."
– D.B. Small, J.M. Hosack, Calculus - An integrated approach 1990, blz. 569: "An infinite series or just series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ or, using the summation notation, ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ ".
– W. Swokowsky, Calculus, fifth edition 1991, blz.533: "An ínfinite series (or simply a series) is an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots }$ , or, in summation notation, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ or ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ " .
– Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik, 14. Aufl. 1995, "Ein solcher Ausdruck heisst unendliche Reihe."
– W. Walter, Analysis 1, 5. Aufl. 1999, blz. 86: "Wir nennen das Symbol ${\textstyle \,\sum _{n=p}^{\infty }a_{n}\,}$ oder $\,a_{p}{+}a_{p+1}{+}a_{p+3}{+}\ldots \,$ eine unendliche Reihe".
– V.A. Zorich, Mathematical analysis I, 2002, blz. 95: "The expression ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ is [...] usually called a series or an infinite series".
– H. Maassen, Calculus 1 en 2, 2004, blz. 42: "Een uitdrukking als ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ heet een reeks."
– G.B. Thomas Jr, Calculus - Eleventh edition 2005, blz. 763: "Given the sequence of numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}}$ , an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is an infinite series ".
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "We use variations [of ${\textstyle \,\left(\sum f\right)(n)\,}$ or ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}\,}$ ] , such as ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}_{n\geq 1}=\{\sum _{j=1}^{n}f(j)\}_{n\geq 1}\,}$ ."
– C.H. Edwards, D.E. Penney, Calculus - Early Transcendentals, 7th edition 2008, blz. 732: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ " .
– J. Stewart, Calculus, early transcendentals; 6th edition, 2008, blz. 687: ". . . an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ which is called an infinite series (or just series) ".
– J. Barnard (Univ. of South Alabama), Calculus III, 2012: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a1+a2+a3+\cdots \,}$ ."
– K. Hambrook (Univ. of Rochester-NY), Lecture notes, 2013, p.1: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ".
– P.W. Hemker, Echte wiskunde, 2013, blz. 67: " 'oneindige reeks' betekent: een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \ }$ of ${\textstyle \,\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$ "
– P. Shunmugaraj, Indian Inst. of Technology, Kanpur, Mathematics I, MTH 101A, Lecture Notes, 2016, Lecture 11-13 blz. 1: "Let (a_n) be a sequence of real numbers. Then an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ [...] is called a series."
– C. Caenepeel, J. De Beule, I. Goyvaerts, Wiskunde: Voortgezette Analyse (Vrije Universiteit Brussel) 2017, blz. 7: "Gegeven is de numerieke rij ${\textstyle \,(u_{n})}$ . Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}\ldots \,}$ of, korter, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ noemt men een numerieke reeks.

[67] – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 85: "Ist in (3) [ ${\textstyle s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}}$ ] n eine endliche Zahl, so heisst die Summe rechter Hand eine endliche Reihe; lässt man aber in dieser Formel den Stellenzeiger n über jede Grenze hinauswachsen, so entsteht die unendliche Reihe ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ ."

[68] – G. Schouten, De grondslagen der rekenkunde, 1916 (idem in 2e druk 1927): "Wanneer tusschen elk paar opvolgende termen eener onbegrensde getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat er een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 1960 (idem: 5e druk 1967), blz. 92: "Wanneer tussen elk paar opvolgende termen ener oneindige getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks of kortweg reeks ."
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 60: "We spreken nu af, dat we de 'oneindige veelterm' ${\textstyle \,{\frac {1}{2}}{+}{\frac {1}{4}}{+}{\frac {1}{8}}{+}{\frac {1}{16}}{+}\ldots \,}$ een convergente reeks zullen noemen, omdat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }s_{n}\,}$ bestaat. Let wel: De woorden 'oneindige veelterm' slaan op de vorm van de notatie; ze definiëren nog niets!"

[69] – H.B.A. Bockwinkel, Kollege integraalrekening, 1932, blz. 2: "Onder een oneindige reeks verstaat men een oneindige rij, die gegeven is door zijn verschilrij."

[70] – J. Bloemsma, Mathematisch tijdschrift 'Christiaan Huygens', jrg.1934-1935 nr.VI, blz. 289: "Een reeks bestaat uit de som harer oneindig aantal termen, waarbij de laatste gedefinieerd zijn voor hun rangnummer in de som,".
– TEGENSTEM: P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Zulk een reeks moet niet gedefinieerd worden als de som van een oneindig aantal termen, maar als limiet van de som van een eindig aantal termen. "
– L.A. Lyusternik, A.R. Yanpols'skii, Mathematical analysis, (Russisch 1961) Engels 1965, blz. 85: "Infinite series, or simply series, are closely connected with sequences, e.g. ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \ =\ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ }$ is "the sum of an infinite number of terms". "
– TEGENSTEM: H. Meschkowski Mathematik als Bildungsgrundlage, 1965, blz. 54: "Unsere Paradoxie macht deutlich, dass ein Grenzwert einer Folge von Summen keine Summe ist, selbst wenn man sie formal als Summe schreibt."
– TEGENSTEM: H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Keinesfalls ist ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \ }$ als eine "Summe von unendlich vielen Summanden" aufzufassen — ein Unbegriff, der nur Verwirrung stiftet."
– TEGENSTEM: H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Sie [die Notationen] sind ausserdem suggestiv bis an die Grenze der Gefährlichkeit, erwecken sie doch den Anschein, man würde aus der unendlichen Folge der Summanden a_n durch unendlich viele Additionen die Summe a erhalten; das sind aber selbstverständlich nur leere Worte."
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "Voordat we aan een reeks, dwz. aan zo'n som van oneindig veel getallen, een getalwaarde kunnen toekennen, [...]."

[71] – O. Haupt, Differential und Integralrechnung, I. Band, 1938, blz. 49: "Vom Begriff der Folge ist scharf zu unterscheiden der Begriff der (unendlichen) Reihe. Eine solche Reihe entsteht aus einer vorgegebenen Folge {a_ν}, indem man die Folge {s_n} der Teilsummen [...] bildet, und die "Reihe" ist — wenigstens für uns — gleichbedeutend mit der Folge der Teilsummen; . [...] Wir haben so den Begriff der Reihe zurückgeführt auf den Begriff der Folge (der Teilsummen)."

[72] – N. Bourbaki, Éléments de mathématique (première partie), Livre III (Topologie générale), Chapitre III (Groupes topologiques), éd. 1, 1942, blz. 42; éd. 2, 1951 blz. 42; éd. 3(revue et augmentée) 1960, blz. 66: "On appelle série définíe par la suite (x_n), ou série de terme générale x_n (ou simplement série (x_n), par abus de langage, s'il ne risque pas d'y avoir de confusion), le couple des suites (x_n) et (s_n) ainsi associées."
– M. Zamansky, Introduction à l'algèbre et l'analyse modernes, 1958, blz. 279: "On appellera série le couple des deux suites (u_n) et (s_n)."
– R.C. Buck, Advanced calculus, second edition, 1965, blz.158: "An infinite series of real numbers is a pair of real sequences ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{A_{n}\}\,}$ whose term are connected by the relations [...] ".
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, second edition, 1974, blz. 185: "The ordered pair of sequences ({a_n}, {s_n}) is called an infinite series."
– K. Maurin, Analysis, part I, 1976 (Pools 1973), blz. 116: "A pair ${\textstyle \,(\,(y_{n})_{0}^{\infty },\,(S_{n})_{0}^{\infty })\,}$ is called a series with the general term ${\textstyle \,y_{n}\,}$ ."
– M.H. Protter, C.B. Morrey, A first course in real analysis, 1977, blz. 210:" "An infinite series is an ordered pair ${\textstyle \,(\,\{u_{n}\},\,\{s_{n}\})\,}$ of infinite sequences in which ${\textstyle \,s_{n}=u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}\,}$ for each ${\textstyle n}$ ."
– Encyclopaedia of Mathematics, 1992, volume 8 blz. 284: "A pair of sequences of complex numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{s_{n}\}\,}$ [...] is called a (simple) series of numbers " .
– E.D. Gaughan, Introduction to analysis (1st ed. 1968) 5th ed. 1998, blz. 173: "An infinite series is a pair ${\textstyle (\,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\ \{S_{n}\}_{n=1}^{\infty })\,}$ [...]."

[73] – L.M. Kells, Calculus, 1943, blz. 397: "A series is the indicated sum of a succession of terms related by a law."
– R.R. Middlemiss, Differential and integral calculus, 1946, blz. 392: "The indicated sum of a sequence is called a series. "
– L. Zippin, Uses of infinity, 1962 (MAA nr.7), blz. 65: "A sequence of terms with indicated additions (or substractions) is called a series."
– L.A. Pipes, L.R. Harvill, Applies mathematics for engineers and physicists, third edition, 1970, blz. 820: "A series is the indicated sum of the terms of a sequence."
– F. Ayres, Differential and integral calculus, in SI metric units, 1972, blz. 220: "The indicated sum ${\textstyle \,\sum s_{n}\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }s_{n}\ =\ s_{1}{+}s_{2}{+}s_{3}{+}\ldots {+}s_{n}{+}\ldots \,}$ of an infinite sequence ${\textstyle \,\{s_{n}\}}$ is called an infinite series."
– J.R. Lee, Advanced calculus with linear analysis, 1972, blz. 22: "An infinite series is an indicated sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ =\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}\ =\ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\,}$ ."
– J.E. Weber, Mathematical analysis, 4th edition 1982, blz. 317: "a series is the indicated sum u₁+u₂+ ··· of the terms of a sequence. "
– J. Daintith, R.D. Nelson, The Penguin dictionary of mathematics, 1989, blz. 292: " series = The indicated sum of the terms of a sequence.".
– G. James, R.C. James, Mathematical dictionary, 5th edtion, 1992, blz. 357: " Series = The indicated sum of a finite or infinite sequence of terms."
– W. Kaplan, Advanced calculus; fifth edition, 2003, blz. 375: "An infinite series is an indicated sum of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ , going on to infinitely many terms."

[74] – H. Looman, Beginselen der hogere wiskunde, deel II, 2e druk 1946, blz. 18: "Onder een reeks verstaat men een onbegrensd voortgezette rij van getallen u₁, u₂, u₃, ..., die opgeteld moeten worden,".
– J.H.C. Lisman, Wiskundige propaedeuse voor econometristen, 2e druk 1963, blz. 18, 21: "Een opvolging van elementen [...] noemt men een rij. Zodra men deze gaat sommeren spreekt men van een reeks ".
– The universal encyclopedia of mathematics, 1964 (Duits 1960), blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence." Blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series."
– J. Marsden, A. Weinstein, Calculus II, 1985, sectie 12.1 blz. 561: "An infinite series is a sequence of numbers whose terms are to be added up.".

[75] – L.V. Ahlfors, Complex analysis, 1953 blz. 133 (idem 2nd ed. 1966, blz. 35): "An infinite series is a formal infinite sum"
– The universal encyclopedia of mathematics 1964 (Duits 1960), blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series." Blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence."
– R.A. Adams, Calculus, a complete course; fifth edition, 2003, blz. 527: "An infinite series, usually just called a series, is a formal sum of infinitely many terms."
– Wikipedia-nl, Reeks (wiskunde), Definitie: "Voor iedere rij ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som ${\textstyle \ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots }$ ."

[76] – G.E.F. Sherwood, A.E. Taylor, Calculus, 3rd edition 1954, blz. 383: "This [u₁+u₂+u₃+ ··· +u_n+ ··· ] formal expression is called an infinite series."
– J.H. Mathews, R.W. Howell, Complex analysis for mathematics and engineering; fourth edition, 2001, Chapter 4: "The formal expression ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }z_{k}\,=\,z_{1}{+}z_{2}{+}\cdots {+}z_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series,"
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker: Teil 1, 2006, blz. 156: "Man nennt den formalen Ausdruck ${\textstyle \,a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \,}$ eine unendliche Reihe".

[77] – G.R. Veldkamp, Inleiding tot de analyse, 1957, blz. 259: "Een reeks is dus niets anders dan de rij van zijn partiële sommen." ["Zijn" verwijst naar het te definiëren object: cirkeldefinitie.]

[78] Bij deze omschrijving van de betekenis worden twee aspecten genegeerd: (1) het feit dat een rij altijd bestaat uit de partieelsommen van een andere rij (de verschilrij van de eerste) en er dus geen sprake is van een speciaal soort; (2) het strijdig zijn met iedere logica om de a_n' s aan te duiden als 'de termen van de nieuwe rij (s_n)', en om z'n eventuele limiet aan te duiden met 'z'n som'.
– W.J. Vollewens, Repertorium der wiskunde voor ingenieurs, deel I, 1950, blz. 195: "Is een variant [= oneindige rij] gegeven [...] dan kan met daaruit afleiden de zg. somvariant [...] Deze somvariant heet een reeks;" .
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, a modern approach to advanced calculus, 1957, (6th printing 1973) blz. 355: "A sequence {s_n} formed in this way is called a series (or an infinite series)."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 297: "Een reeks is een rij die volgens een bepaald optellingsschema uit een andere rij is afgeleid." (Dit verschilt van 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".)
– T.M. Apostol, Calculus, volume I, One-variable calculus, with an introduction to lineair algebra; second edition, 1967, blz. 384: "The sequence {s_n} of partial sums is called an infinite series, or simply a series ".
– M. Rosenlicht, Introduction to analysis, 1968, blz. 141: "If ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,}$ is a sequence of real numbers, by the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ also denoted ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ , we mean the sequence ${\textstyle \,a_{1},\,a_{1}{+}a_{2},\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\,\ldots \,}$ ."
– C.W. Burrill, J.R. Knudsen, Real variables, 1969, blz. 121: "The sequence {s_n} is called an infinite sum or infinite series or simply a series of the elements of {a_n}."
– N.P. Zwikker, J.B. Ham, Analyse 2, 1970, blz. 79: "de rij {S_n} heet dan een reeks."
– K. Endl, W. Luh, Analysis I, 1973, p.31: "Die Folge ${\textstyle \,\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ [...] nennen wir eine unendliche Reihe und bezeichne sie mit ${\textstyle \,\sum _{\nu =1}^{\infty }a_{\nu }\,}$ ."
– M. Barner, F. Flohr, Analysis I, 1974, blz.141: "Es sei ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ eine Zahlenfolge. Durch die Festsetzung ${\textstyle \,s_{n}=\,\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ wird eine Zahlenfolge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ definiert, die man als die zu ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ gehorende unendliche Reihe bezeichnet."
– H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Die unendlichen Reihe - oder kurz die Reihe - mit den Gliedern ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots \,}$ , in Zeichen ${\textstyle \ \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\ }$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ , bedeutet eine Folge, nämlich die Folge der Teilsummen ${\textstyle \,s_{n}\,:=\,a_{0}{+}a_{1}{+}\cdots a_{n}(n=0,1,2,\cdots )}$ .
– J.F. Hurley, Intermediate calculus, 1980, section 2.3: "An infinite series [...] is a sequence (s₁, s₂, ...,s_n, ...) where s₁ = a₁, s_n = a_n+s_n-1".
– O. Foster, Analysis 1, 4. Auflage 1983, blz. 23-24: "Die Folge [...] der Partialsummen heisst (unendliche) Reihe und wird mit ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ bezeichnet."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79 "Die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ist also nichts anderes als die Summenfolge ${\textstyle \,(u_{n})_{n}\,}$ der Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}}$ ."
– J.H.J. Almering, H. Bavinck, R.W. Goldbach, Analyse, 5e druk 1986 (idem 6e druk 1989), blz. 514: "Uitgaand van een rij (a_n) kan men een nieuwe rij (s_n) construeren [...]. Deze nieuwe rij noemen we de bij a_n behorende reeks (Engels: series).
– H.-G. Friedemann, Arithmetik, 1990, blz. 299: "Die Folge (s_n) der Partialsummen s₁, s₂, s₃, ..., s_n heisst die zu (a_n) gehörende Reihe.
– L. Leithold, The calculus, with analytic geometry; sixth edition, 1990, blz. 701: "If {u_n} is a sequence and . . . then the sequence {s_n} is called an infinite series."
– D. Dijkstra e.a., Dictaat analyse B (universiteit Twente), 1999, blz. 1: "De getallenrij (s_k) wordt de bij de getallenrij (a_n) behorende reeks genoemd."
– S.R. Lay, Analysis, with an introduction to proof, 2001, blz.268: "We also refer to the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ of partial sums as the infinite series (or simply the series) ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ."
– O. Riemenschneider, Analysis I, 2.Aufl. 2004, blz. 13: "Außerdem kann man aus Folgen durch Addition ihrer Glieder neue Folgen bilden, die man Reihen nennt."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "series are sequences of partial sums,".
–- L. Grüne, Analysis I und II, 2012, blz. 57: "Für eine reelle Folge ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ heisst die Folge ${\textstyle \,b_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ (unendliche) Reihe."
– U. Reif c.s., Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I, II, 2015 (TU-Darmstadt), blz. 82: "Man bezeichnet die Folge (s_m)_m als die Reihe".
– Wikipedia-de, Reihe: "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."

[79] – Fr.A. Willers, Willers Elementar-Mathematik, 12.Aufl. 1965, par. 47: "Die Summe der Glieder einer geometrische Zahlenfolge nennt man geometrische Reihe."
– E.J. Borowski, J.M. Borwein, Collins dictionary of mathematics, 1991, blz. 533: " series = the sum of a finite or infinite sequence of terms" .
– Wikibooks, Calculus/Definition of a Series, 2019, regel 1: "A series is the sum of the terms in a sequence."

[80] – P. Lax, S. Burstein, A. Lax, Calculus with applications and computing, volume I, 1976, blz. 21: "the infinite sum, traditionally called infinite series, "
– P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: " series = Generally, but not always, an infinite sum."
– S.I. Grossman, Calculus, second edition, 1981, blz. 628: "the infinite sum ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\ =\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series (or, simply, series)."
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Let ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ be an infinite sequence. We refer to the infinite sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ as an infinite series."
– Wikipedia-en, Series, Basic properties: "An infinite series or simply a series is an infinite sum, represented by an infinite expression of the form $\,a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$ "

[81] – Skolöverstyrelsen, Matematik-terminologi i skolan, 1979, blz. 115: "En serie erhålls, när elementen i en oändlig talföljd successivt adderas." (Een reeks ontstaat wanner de elementen van een oneindige getallenrij achtereenvolgens worden toegevoegd.).
– M. de Gee, Wiskunde in werking, 1995, blz. 5: "Sommeren we alle termen van een oneindige rij dan krijgen we een reeks: ".
– A. Croft, R. Davidson, Mathematics for engineers, 2004, blz. 883: "When the terms of an infinite sequence are added we obtain an infinite series."

[82] – P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: "A mathematical process which calls for an infinite number of additions."

[83] – W. Ledermann, S. Vajda, Handbook of applicable mathematics, volume IV: Analysis, 1982, blz. 13: "A series consists of a sequence (a_n) of terms from which a sequence (s_n) of partial sums is derived,".

[84] R.S. Borden, A course in advanced calculus, 1983, blz. 300: "An infinite series, more commonly, a series is a sum of a countable number of terms."

[85] In deze betekenis wordt 'de reeks' steeds direct gevolgd door 'van' en vervolgens de aanduiding van een rij. Het opvatten van 'reeks' als de naam van een zekere afbeelding maakt het onmogelijk om een betekenis te geven aan combinaties als 'termen van een reeks', 'som van een reeks', 'convergentie van een reeks' .
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Een mogelijkheid om met behoud van het woord reeks samenhangend te spreken is: overgaan op het begrip 'reeks van een rij'. [...] Men doet er verstandiger aan de terminologie en notatie op het gebied van reeksen als 'typografische afkortingen' te beschouwen."
– E. Fisher, Intermediate real analysis, 1983, blz. 151: "If ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ is a real sequence, then the sequence ${\textstyle \,\langle S_{n}\rangle }$ , [...] is called the infinite series of terms of the sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ ."
– S. Haschler, schule 2005-06, blz. 3 'Reihen': "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."
– R. Mayer, Infinite series, 2006 (Reed College), " $\,\sum$ is actually a function that maps complex sequences to complex sequences."
– M. Veraar, Wiskundige structuren (TU Delft), 2016, module 6.1: "Laat ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ een rij reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen ${\textstyle \,(s_{n})_{n\geq 0}\,}$ wordt de reeks van ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ genoemd ".
– B. Keller, Folgen und Reihen 2017 blz. 4: "Die Folge ${\textstyle (s_{n})\,}$ [...] nennen wir Reihe der Folge ${\textstyle (a_{n})\,}$ ."
– J. Leydold, Grundlagen 2017, blz. 34: "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."

[86] – O. Teller, Vademecum van de wiskunde, Prisma 1033, 13e druk 1994, blz. 32: "'Vormt men de som van alle termen [van een meetkundige rij], dan ontstaat een meetkundige reeks."

[87] – L.J. Goldstein, D.C. Lay, D.I. Schneider, N.H. Asmar, Calculus & its applications, 11th edition, 2007, blz. 569: "An infinite series is an infinite addition of numbers ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ "
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Note here that sequences and series are intimately connected, but that they represent different concepts. A sequence is always just an infinite list of numbers without any additional structure; a series always refers to an infinite addition of numbers."

[88] – P.J. Bartlett, CALifornia institute of TECHnology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "If it does [converging partial sums], we then call the limit of this sequence the series associated to ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ ,".
– M. Karow, Analyse I für Ingenieure (Folien), 2018(?), Thema: unendliche Reihen: "Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen ".

[89] – A Eickhoff-Schachtebeck, A Schöbel, Mathematik in der Biologie, 2014, p. 75: "Interessiert man sich nicht für die einzelnen Glieder a₁, a₂, a₃, ... einer Folge, sondern für deren Summe a₁+a₂+ ··· +a_n bis zum Glied n, so erhällt man eine Reihe."

[90] – Wikipedia-en, Series, zin 11: "a series, which is the operation of adding the a_i one after the other"

[91] – M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz.324: "simply the adding up of the infinite number of terms of a sequence."
– Wikipedia-nl, Reeks (wiskunde), zin 1: "Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen."

[92] – P. Levrie, Pythagoras (tijdschrift), 2014 jrg. 53 nummer 5, blz. 8: "Wat is een reeks? Een reeks in de wiskunde is een som met oneindig veel termen."
– Wikibooks, Einführung in die Funktionentheorie/ Folgen und Reihen, 2015: "Unter einer unendlichen Reihe versteht man – wie im Reellen – eine Summe mit unbeschränkt vielen Summanden, die nach einer bestimmten Vorschrift (Bildungsgesetz) berechnet wurden."

[93] – G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "Les 'séries' sont les suites ${\textstyle \,(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,}$ récurrentes définié par une relation de type: ${\textstyle \,s_{0}=u_{0}\ ,\ s_{n}=s_{n{-}1}+u_{n}\,}$ ".

[94] – P. Wijdenes, Middel-algebra, deel II, 4e druk 1949, blz. 118: "Om te kennen te geven, dat we aan de partiële sommen aandacht schenken, noemen we de oneindige rij getallen een oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks " .
– D.A. Quadling, Mathematical analysis, (first published 1955) reprint 1968, blz. 85: "When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINIE SERIES. The series is denoted by the symbol ${\textstyle \,\sum u_{r}\,}$ ; no numerical value is associated with this symbol, which is simply a convenient name for the series whose r-th term is u_r."
– R.E. Johnson, F.L. Kiokemeister, Calculus, with analytic geometry; fourth edition, 1969, blz. 448: "This leads to a study of the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ associated with each sequence ${\textstyle \,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots \,}$ ."
– H.J. Keisler, Elementary calculus, 1976, blz. 529; idem 2012, blz. 501: "We can go from this example to the general notion of an infinite sum. When we wish to find the sum of an infinite sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ we call it an infinite series and write it in the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ ."
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "In de wiskunde is er wel een duidelijk verschil [in betekenis tussen de woorden "rij" en "reeks" ]: wanneer we praten over een reeks, dan wordt daarmee meteen aangegeven dat we de intentie hebben om de getallen van de rij op te tellen. Laat ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n\geq 0}\,}$ een rij complexe getallen zijn. De daarbij horende reeks wordt genoteerd als . . .". (Commentaar: onvermeld blijft wat bedoeld wordt met 'de daarbij horende reeks'.)

[95] – T.J.I. Bromwich, An introduction to the theory of infinite series, 1908, blz. 15: "if the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ is convergent and has the limit ${\textstyle \,S\,}$ , the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,=\,\sum _{1}^{\infty }a_{n}\,=\,\sum a_{n}}$ , is convergent; and ${\textstyle \,S\,}$ is called the sum of the series."
– É. Goursat, Cours d'analyse mathématique I, 2e édition, 1910, blz. 9: "Étant donnée une suite infinie quelconque, dont le terme général est u_n, on dit que la série u₀+u₁+···+u_n+··· est convergente, si la suite formée par les sommes successives des termes de cette série [...] est elle-même convergente."
– K.A. Ross, Elementary analysis: the theory of calculus, 1980, blz. 68: "The infinite series ${\textstyle \,\sum _{n=m}^{\infty }a_{n}\,}$ is said to converge provided [...] ".
– D. Varberg, E.J. Purcell, S.E. Rigdon, Calculus, 8th edition 2000, blz. 436: " [...] consider the infinite series " .

[96] – P. Epstein (oorspr. Italiaans E. Pascal), Repertorium der höheren Analysis, 1. Hälfte, 2. Aufl. 1910, blz. 421: "Kapitel VI. Reihen, Produkte, Kettenbrüche."

[97] Noot: Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies

[98] Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ . Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal.
Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ :
– kettingbreuk-voorstelling, als limiet van de 'getrapte breuken'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}1/(a_{2}{+}1/(\cdots {+}a_{n})/n\,}$
– oneindigproduct-voorstelling, als limiet van de 'partieelproducten'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \,\cdots \,\cdot a_{n})\,}$
– cesàrosom-voorstelling, als limiet van de gemiddelde partieelsommen; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,}$ .

[99] (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet, (3) (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[1]

[2]

[3]