Rationaal getal

Een rationaal getal is in de wiskunde het quotiënt, verhouding, Latijn: ratio, van twee gehele getallen waarvan het tweede niet nul is. De verzameling van rationale getallen wordt meestal genoteerd als $\mathbb {Q}$.

Schematische voorstelling van de relatie tussen de verschillende verzamelingen getallen

De rationale getallen maken deel uit van de reële getallen $\mathbb {R}$ en omvatten de gehele getallen $\mathbb {Z}$. Elk geheel getal is dus ook een rationaal getal en elk rationaal getal is ook een reëel getal.

$\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Voorbeelden van rationale getallen zijn:

${\tfrac {1}{2}},\ {\tfrac {2}{7}},\ {\tfrac {9}{4}},\ -{\tfrac {2}{5}},\ -{\tfrac {5}{2}}$

Ook elk geheel getal is rationaal, zo is:

$1={\tfrac {1}{1}}={\tfrac {3}{3}},\ 14={\tfrac {14}{1}}={\tfrac {56}{4}}$, etc.

Elk decimaal getal met eindig veel decimalen is een rationaal getal:

0,5	=	5/10 = 1/2
0,17	=	17/100
0,567943209	=	567943209/1000000000

Niet elk rationaal getal is echter te schrijven als decimaal getal met eindig veel decimalen. Bijvoorbeeld:

1/3 = 0,3333...

en

15/7 = 2,142857 142857 142857 142857...,

zijn beide decimale getallen met oneindig veel decimalen, echter wel met een zich herhalend patroon. Men spreekt van repeterende breuk. Het kan worden bewezen dat elk rationaal getal in het decimale stelsel achter de komma een eindig aantal cijfers heeft of een repeterende breuk is. Als een getal met oneindig veel decimalen geen herhalend patroon heeft, is het een irrationaal getal.

De verzameling van de rationale getallen is niet eindig, maar wel aftelbaar. De rationale getallen liggen dicht op de reële rechte, wat betekent dat elk punt op die rechte willekeurig dicht benaderd kan worden door een rationaal getal. Er zijn echter ook oneindig veel 'gaten', want tussen elk tweetal rationale getallen ligt een irrationaal getal.

Getallen als de wortel uit 2, π en e behoren niet tot de verzameling van rationale getallen, omdat ze niet als een breuk, dus als quotiënt van twee gehele getallen, geschreven kunnen worden. Deze getallen heten irrationaal.

Operaties met rationale getallen

Als verzameling zijn de rationale getallen volgens de bovenstaande definitie te schrijven als

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {a}{b}}:a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}$,

waarin $\mathbb {Z}$, de verzameling van gehele getallen is.

$\mathbb {Q}$ is door de eigenschappen van de optelling en vermenigvuldiging een voorbeeld van een lichaam (Nederland) of veld (Belgisch). Voor de operaties die we met rationale getallen kunnen uitvoeren, gelden de volgende regels.

Optellen:	${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$
Vermenigvuldigen:	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$
Aftrekken:	${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}$
Delen:	${\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}\qquad (c\neq 0)$

Eigenschappen

$\mathbb {Q}$ is het quotiëntenlichaam van het integriteitsdomein $\mathbb {Z}$ van de gehele getallen.

$\mathbb {Q}$ is het kleinste lichaam van karakteristiek 0. Elk ander lichaam van karakteristiek 0 bevat een kopie van $\mathbb {Q}$.

De rationale getallen zijn niet algebraïsch gesloten, bijvoorbeeld doordat de vierkantswortel van het rationale getal 2 niet op zijn beurt rationaal is.

De algebraïsche sluiting van $\mathbb {Q}$ is het lichaam van de algebraïsche getallen. Deze verzameling wordt genoteerd als ${\overline {\mathbb {Q} }}$ (of $\mathbb {A}$) en is net als $\mathbb {Q}$ aftelbaar. Let wel, ${\overline {\mathbb {Q} }}$ is niet gelijk aan het lichaam $\mathbb {C}$ van de complexe getallen, dat de algebraïsche sluiting van de reële getallen is.

Formele definitie

De rationale getallen kunnen formeel worden gedefinieerd als equivalentieklassen van paren gehele getallen, waarbij het tweede niet nul is. Twee breuken liggen dan in dezelfde equivalentieklassen, wanneer zij hetzelfde rationale getal zijn.

Beschouw de productverzameling $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{0}$, dat is de verzameling van alle geordende paren van gehele getallen waarvan het tweede verschillend is van 0. Op deze productverzameling bepaalt men een equivalentierelatie door te zeggen dat het geordende paar $(a,b)$ gelijkwaardig is met het paar $(c,d)$ als $a\cdot d=b\cdot c$.

Opdat dit een equivalentierelatie zou zijn, moet de transitiviteit nagegaan worden: indien een willekeurig derde geordend paar $(e,f)$ gelijkwaardig is met $(c,d)$, dan ook met $(a,b)$. Dit kan uitgerekend worden:

$d\cdot (a\cdot f-b\cdot e)=a\cdot d\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot c\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot (c\cdot f-d\cdot e)=0$

en omdat $d$ verschillend is van 0, moet $a\cdot f=b\cdot e$.

Men noteert de equivalentieklasse van het geordend paar $(a,b)$ als de breuk ^a⁄_b. Men kan nagaan dat de algemene rekenregels voor de optelling en de vermenigvuldiging van breuken compatibel zijn met deze equivalentierelatie (de resultaten zijn onafhankelijk van de gekozen vertegenwoordiger van een equivalentieklasse) en dat ze de structuur van een lichaam (benaming in Nederland) of veld (benaming in België) bepalen. De elementen van dit lichaam/veld noemt men de rationale getallen.

Bronnen, noten en/of referenties

Bijzondere getallen