Formule van Euler

Dit artikel gaat over de formule van Euler in de complexe functietheorie. Zie de Formule van Euler voor veelvlakken voor de relatie tussen hoekpunten, ribben en zijvlakken van regelmatige veelvlakken.

De formule van Euler, genoemd naar haar ontdekker, de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, legt een verband tussen de goniometrische functies en de complexe exponentiële functie. De formule zegt dat voor elk reëel getal $x$ geldt dat:

e^iφ

$e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x).$

Daarin is $e$ het grondtal van de natuurlijke logaritme, $i$ de imaginaire eenheid, en zijn $\sin$ en $\cos$ respectievelijk de goniometrische functies sinus en cosinus met het argument in radialen. De formule geldt ook voor complexe waarden van $x$.

Bewijs

Er zijn verschillende methodes om de formule van Euler te bewijzen.

Analytische methode

Bepaal de afgeleide van de functie:

$f(x)=e^{-ix}(\cos(x)+i\cdot \sin(x))$

Met behulp van de productregel volgt:

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=-i\cdot e^{-ix}\cdot (\cos(x)+i\cdot \sin(x))+e^{-ix}\cdot (-\sin(x)+i\cdot \cos(x))=$

$=e^{-ix}(\sin(x)-i\cdot \cos(x))+e^{-ix}(-\sin(x)+i\cdot \cos(x))=$

$=e^{-ix}\cdot 0=0$

De afgeleide is dus 0. Dit betekent dat de functie $f$ constant is:

$f(x)=e^{-ix}\cdot (\cos(x)+i\cdot \sin(x))=C$

Dus:

$\cos(x)+i\cdot \sin(x)=C\cdot e^{ix}$

Omdat voor $x=0$ geldt, dat

$\cos(0)+i\cdot \sin(0)=C\,e^{0}=C$

volgt dat $C=1$ en $e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)$.

Taylorreeks

De gelijkheid kan men ook bewijzen door aan te tonen dat de taylorreeksen van beide uitdrukkingen hetzelfde zijn.

$e^{ix}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(ix)^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}+i\cdot \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$

$\cos(x)+i\cdot \sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}+i\cdot \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$

Machten van i

De voorgaande afleidingen leiden tot een elegant bewijs. De onderstaande afleiding is minder elegant, maar geeft aanleiding tot een beter inzicht.

Indien de onderstaande afleiding wordt uitgedetailleerd, kan een intuïtief pad van de goniometrische voorstelling naar de formule van Euler worden opgebouwd.

• Het verheffen van $i$ tot een natuurlijke macht $n$, is roteren over $n{\frac {\pi }{2}}$ of $n90$ graden vanaf $i^{0}=1+0i$.

$\cos(n{\frac {\pi }{2}})+i\sin(n{\frac {\pi }{2}})=i^{n}$

• i tot een reële macht $x{\frac {2}{\pi }}$ verheffen, correspondeert met een rotatie over een hoek $x$ vanaf $i^{0}=1+0i$.

$\cos(x)+i\sin(x)=i^{x{\frac {2}{\pi }}}$

• Een macht van een complex getal $a$ kan steeds in een macht van $e$ worden herschreven met de eigenschap $a^{y}=e^{y\log(a)}$ waarbij 'log' de complexe logaritme is.

$\cos(x)+i\sin(x)=i^{x{\frac {2}{\pi }}}=e^{x{\frac {2}{\pi }}\log(i)}=e^{ix}$, want $\log(i)=i{\frac {\pi }{2}}$.

• Omdat een rotatie in het complexe vlak kan geschreven als een macht van $i$, kan een rotatie in het complexe vlak worden geschreven als een macht van $e$.

$i^{x{\frac {2}{\pi }}}=\cos(x)+i\sin(x)=e^{ix}$.

De eigenschap $\log(i)=i{\frac {\pi }{2}}$ kan als volgt worden afgeleid:

$i^{\theta {\frac {2}{\pi }}}=\ e^{\log {\left(i\right)\theta {\frac {2}{\pi }}}}$

$i^{\theta {\frac {2}{\pi }}}=\ e^{\log {\left(i\right)\theta {\frac {2}{\pi }}}}=\ 1\left(\cos {\theta }+i\ \sin {\theta }\right)$

We nemen de afgeleide van beide zijden van de bovenstaande gelijkheid:

$\left(\log {\left(i\right){\frac {2}{\pi }}}\right)\ e^{\ln {\left(i\right)\theta {\frac {2}{\pi }}}}=i\left(\cos {\theta }+i\ \sin {\theta }\right)$

Daaruit volgt: $\left(\log {\left(i\right){\frac {2}{\pi }}}\right)\ =i$ of $\log {\left(i\right)}\ =i{\frac {\pi }{2}}$

Identiteit van Euler

Voor $x=\pi$ ontstaat de zogenaamde identiteit van Euler:

$e^{i\pi }+1=0$

Of in een andere vorm:

$e^{i\pi }=-1$

Sinus en cosinus

Omgekeerd kunnen de sinus en de cosinus met behulp van de formule van Euler worden afgeleid :

$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$