Formule van Euler

Zie artikel Dit artikel gaat over de formule van Euler in de complexe functietheorie. Zie de Formule van Euler voor veelvlakken voor de relatie tussen hoekpunten, ribben en zijvlakken van regelmatige veelvlakken.

De formule van Euler, genoemd naar haar ontdekker, de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, legt een verband tussen de goniometrische functies en de complexe exponentiële functie. De formule zegt dat voor elk reëel getal geldt dat:

e

Daarin is het grondtal van de natuurlijke logaritme, de imaginaire eenheid, en zijn en respectievelijk de goniometrische functies sinus en cosinus met het argument in radialen. De formule geldt ook voor complexe waarden van .

BewijsBewerken

Er zijn verschillende methodes om de formule van Euler te bewijzen.

Analytische methodeBewerken

Bepaal de afgeleide van de functie:

 

Met behulp van de productregel volgt:

 
 
 

De afgeleide is dus 0. Dit betekent dat de functie   constant is:

 

Dus:

 

Omdat voor   geldt, dat

 

volgt dat   en  .

TaylorreeksBewerken

De gelijkheid kan men ook bewijzen door aan te tonen dat de taylorreeksen van beide uitdrukkingen hetzelfde zijn.

 
 

Machten van iBewerken

De voorgaande afleidingen leiden tot een elegant bewijs. De onderstaande afleiding is minder elegant, maar geeft aanleiding tot een beter inzicht.

Indien de onderstaande afleiding wordt uitgedetailleerd, kan een intuïtief pad van de goniometrische voorstelling naar de formule van Euler worden opgebouwd.

  • Het verheffen van   tot een natuurlijke macht  , is roteren over   of   graden vanaf  .
 
  • i tot een reële macht   verheffen, correspondeert met een rotatie over een hoek   vanaf  .
 
  • Een macht van een complex getal   kan steeds in een macht van   worden herschreven met de eigenschap   waarbij 'log' de complexe logaritme is.
 , want  .
  • Omdat een rotatie in het complexe vlak kan geschreven als een macht van  , kan een rotatie in het complexe vlak worden geschreven als een macht van  .
 .

De eigenschap   kan als volgt worden afgeleid:

 
 

We nemen de afgeleide van beide zijden van de bovenstaande gelijkheid:

 

Daaruit volgt:   of  

Identiteit van EulerBewerken

Voor   ontstaat de zogenaamde identiteit van Euler:

 

Of in een andere vorm:

 

Sinus en cosinusBewerken

Omgekeerd kunnen de sinus en de cosinus met behulp van de formule van Euler worden afgeleid :