Elliptische kromme

In de meetkunde zijn elliptische krommen een speciale soort algebraïsche krommen waarop meetkundig een optelling gedefinieerd is. De naam is ontleend aan de ellips, maar het verband is slechts zijdelings en ellipsen zijn heel uitdrukkelijk geen voorbeelden van elliptische krommen.

Elementaire definitieBewerken

Een elliptische kromme is een verzameling punten van het vlak waarvan de coördinaten voldoen aan een vergelijking van de vorm

 

met   een polynoom van de derde graad zonder samenvallende nulpunten, die na een eventuele lineaire transformatie over te voeren is in:

 

met   en   zo, dat de polynoom geen dubbele nulpunten heeft.

Als onder het "vlak" de reële euclidische ruimte   verstaan, kan een elliptische kromme grafisch worden voorgesteld in een van de volgende twee gedaanten (naargelang de polynoom   drie reële nulpunten of slechts één reëel nulpunt heeft):

 

Meestal worden elliptische krommen echter beschouwd over de complexe tweedimensionale ruimte  , of zelfs over het complexe projectieve vlak  . In dat laatste geval wordt de vergelijking gehomogeniseerd met een derde veranderlijke  :

 

Over het complexe projectieve vlak zijn alle elliptische krommen topologisch gelijkwaardig (homeomorf) met de torus, en dus ook met elkaar.

Alternatieve definitieBewerken

Een elliptische kromme is het Riemann-oppervlak dat ontstaat als quotiëntruimte van het complexe vlak over een rooster, d.i. een discrete deelgroep van de vorm

 

Hoewel alle elliptische krommen topologisch gelijkwaardig zijn, zijn ze niet allemaal gelijkwaardig als Riemann-oppervlak. Elke elliptische kromme is echter biholomorf (equivalent als Riemann-oppervlak) met een elliptische kromme waarvoor   en waarvoor het imaginaire deel van   strikt positief is.

Het verband met de elementaire definitie wordt gegeven door de  -functie van Weierstrass en haar afgeleide. Dat is een dubbelperiodieke meromorfe functie op het complexe vlak met polen van de tweede orde in de punten van het rooster  . Ze voldoet aan

 

Hierin zijn de constanten   de sommen van de Eisenstein-reeksen van het rooster.

Het geordende paar   parametriseert een complexe elliptische kromme in de elementaire zin. Omgekeerd blijkt elke complexe elliptische kromme afkomstig te zijn van de Weierstrass-functie van een rooster.

GroepsbewerkingBewerken

Op een elliptische kromme bestaat een natuurlijke abelse groepsbewerking. Bij de alternatieve definitie is dit gewoon de factorgroep die ontstaat uit de optelling van complexe getallen. Bij de elementaire definitie aan de hand van een polynoom heeft de groepsbewerking meetkundig de volgende vorm.

Omdat een elliptische kromme symmetrisch is ten opzichte van de x-as, ligt van elk punt op de kromme ook het spiegelbeeld ten opzichte van de x-as, de gespiegelde, op de kromme.

Een elliptische kromme in het complexe projectieve vlak snijdt de rechte op oneindig in één punt   met als projectieve coördinaten  . Dit punt vertegenwoordigt de richting evenwijdig aan de y-as.

Van twee verschillende punten   en   op een elliptische kromme (in het complexe projectieve vlak) snijdt de rechte door   de kromme in precies één derde punt  . In het geval dat   en   elkaars gespiegelde zijn, ligt dit punt op oneindig. De som   is gedefinieerd als de gespiegelde van dit derde punt  .

Als   en   samenvallen, neemt men voor   het snijpunt van de raaklijn aen de kromme.

Als   het punt op oneindig is, neemt men de rechte door   in de richting van   als verbindingslijn.

Daarmee is duidelijk dat voor alle punten   en   de som welgedefinieerd is als een punt   op de kromme en dat de optelling commutatief is:  .

Voor alle punten   geldt:  , dus   is het neutrale element.

Voor de gespiegelde   van een punt   volgt   dus   is de tegengestelde van  . Voor het snijpunt   van de rechte door   en   met de kromme geldt dus:  .

De associativiteit van de optelling is geen voor de hand liggende eigenschap. Met behulp van de stelling van Cayley-Bacharach kan het bewijs gemakkelijk gegeven worden (zie de figuur).

 
Associativiteit van de optelling

De drie punten ,   en   liggen op een elliptische kromme. De drie rechten   en  , en de drie rechten   en   hebben negen snijpunten:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Daarvan liggen de eerste acht op de elliptische kromme. Maar dan ligt volgens de stelling ook het negende snijpunt, dat van   en  , op de kromme. Dus is  , of anders geschreven:  .

Een rationale elliptische kromme bestaat uit punten waarvan de projectieve coördinaten rationale getallen zijn, en voldoen aan een vergelijking zoals hierboven. De coëfficiënten van de derdegraadspolynoom moeten eveneens rationale getallen zijn.

AnalytischBewerken

Als de punten   en   van elkaar verschillen en gegeven zijn in een xy-assenstelsel, wordt de som   gegeven door:

 
 

met

 

de richtingscoëfficiënt van de lijn door   en  . Als   is   en is  .

In het geval dat   en  , krijgt   de waarde van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in  . Is   dan is   en is de som het punt op oneindig (0).

Rationale elliptische krommeBewerken

De stelling van Mordell luidt dat een rationale elliptische kromme, opgevat als abelse groep, eindig voortgebracht is. Er bestaat dus een eindige deelverzameling van waaruit ieder willekeurig punt op de kromme door een eindig aantal sommen kan worden bereikt.

NaamgevingBewerken

Elliptische krommen spelen een rol bij de studie van elliptische functies die ontstaan uit de integralen waarmee de omtrek van delen van een ellips kan worden berekend.

ToepassingenBewerken

Elliptische krommen zijn bestudeerd als interessante objecten op zich, omdat ze de eerste stap van de meetkunde "voorbij" de kegelsneden zijn. Ze hebben echter toepassingen gevonden in andere gebieden van de wiskunde, en met name de getaltheorie heeft in 1995 een spectaculair succes geboekt door aan de hand van elliptische krommen de laatste stelling van Fermat te bewijzen.

ReferentiesBewerken