Factorgroep

In de groepentheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een factorgroep of quotiëntgroep een groep die geconstrueerd wordt uit een gegeven groep en een normaaldeler van die groep, en die bestaat uit de nevenklassen van de normaaldeler.

DefinitieBewerken

Als   een normaaldeler is van een groep  , wat inhoudt dat de verzameling   van de linkernevenklassen van   samenvalt met de verzameling   van de rechternevenklassen van  , dan vormt de verzameling nevenklassen   een groep, de factorgroep of quotiëntgroep van   en  , als daarop een groepsbewerking   wordt gedefinieerd door het product van twee nevenklassen   en   op te vatten als de nevenklasse   van het product van   en  :

 .

Dit is pas een geldige definitie, als ze onafhankelijk is van de gekozen vertegenwoordiger van de nevenklassen. Dus als   en  , moet  . Omdat   en   volgt:

  en  

Maar dan ook omdat   normaaldeler is:

  en  

en

 

dus

 

zodat

 

Men verifieert ook gemakkelijk dat deze welgedefinieerde bewerking op de verzameling der nevenklassen, aan de groepsaxioma's voldoet.

Voorbeelden en elementaire eigenschappenBewerken

Zij   de optelgroep der gehele getallen, en   de deelgroep der  -vouden ( ). Dan vormt  , de verzameling der restklassen modulo  , een cyclische groep met   elementen.

Elke groep is een normaaldeler van zichzelf, en de factorgroep is de triviale groep met 1 element.

De triviale deelgroep, die bestaat uit het neutrale element, is altijd een normaaldeler. De factorgroep is isomorf met de oorspronkelijke groep.

De groep   der omkeerbare  -matrices met elementen in een lichaam   heeft als normaaldeler, de deelgroep   van matrices met determinant 1. De factorgroep is isomorf met de vermenigvuldigingsgroep   (de inverteerbare elementen van  ).

In het algemeen is de kern van een homomorfisme van groepen steeds een normaaldeler van het domein. De bijhorende factorgroep blijkt isomorf te zijn met het beeld van het homomorfisme.

Omgekeerd is de afbeelding die elk element van een groep   op zijn nevenklasse ten opzichte van de normaaldeler   afbeeldt, een surjectief groepshomomorfisme van   naar  . De kern van dit homomorfisme is  .