Factorgroep

In de groepentheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een factorgroep of quotiëntgroep een groep die geconstrueerd wordt uit een gegeven groep en een normaaldeler van die groep, en die bestaat uit de nevenklassen van de normaaldeler.

Definitie

Als $H$ een normaaldeler is van een groep $G$, wat inhoudt dat de verzameling $G/H$ van de linkernevenklassen van $H$ samenvalt met de verzameling $G\backslash H$ van de rechternevenklassen van $H$, dan vormt de verzameling nevenklassen $G/H$ een groep, de factorgroep of quotiëntgroep van $G$ en $H$, als daarop een groepsbewerking $*$ wordt gedefinieerd door het product van twee nevenklassen $aH$ en $bH$ op te vatten als de nevenklasse $abH$ van het product van $a$ en $b$:

$aH*bH=abH$.

Dit is pas een geldige definitie, als ze onafhankelijk is van de gekozen vertegenwoordiger van de nevenklassen. Dus als $c\in aH$ en $d\in bH$, moet $cd\in abH$. Omdat $c\in aH$ en $d\in bH$ volgt:

$a^{-1}c\in H$ en $b^{-1}d\in H$

Maar dan ook omdat $H$ normaaldeler is:

$db\in H$ en $a^{-1}cdb\in H$

en

$b^{-1}a^{-1}cd\in H$

dus

$(ab)^{-1}cd\in H$

zodat

$cd\in abH$

Men verifieert ook gemakkelijk dat deze welgedefinieerde bewerking op de verzameling der nevenklassen, aan de groepsaxioma's voldoet.

Voorbeelden en elementaire eigenschappen

Zij $\mathbb {Z}$ de optelgroep der gehele getallen, en $n\mathbb {Z}$ de deelgroep der $n$-vouden ($n\geq 1$). Dan vormt $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, de verzameling der restklassen modulo $n$, een cyclische groep met $n$ elementen.

Elke groep is een normaaldeler van zichzelf, en de factorgroep is de triviale groep met 1 element.

De triviale deelgroep, die bestaat uit het neutrale element, is altijd een normaaldeler. De factorgroep is isomorf met de oorspronkelijke groep.

De groep $GL(n,K)$ der omkeerbare $n\times n$-matrices met elementen in een lichaam $K$ heeft als normaaldeler, de deelgroep $SL(n,K)$ van matrices met determinant 1. De factorgroep is isomorf met de vermenigvuldigingsgroep $K^{*}$ (de inverteerbare elementen van $K$).

In een isometriegroep van een euclidische ruimte met niet alleen directe isometrieën is de ondergroep van directe isometrieën een normaaldeler met een factorgroep van twee elementen, de verzameling directe isometrieën en de verzameling indirecte isometrieën.

In het algemeen is de kern van een homomorfisme van groepen steeds een normaaldeler van het domein. De bijhorende factorgroep blijkt isomorf te zijn met het beeld van het homomorfisme.

Omgekeerd is de afbeelding die elk element van een groep $G$ op zijn nevenklasse ten opzichte van de normaaldeler $H$ afbeeldt, een surjectief groepshomomorfisme van $G$ naar $G/H$. De kern van dit homomorfisme is $H$.