In de groepentheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een factorgroep of quotiëntgroep een groep die uit een gegeven groep en een normaaldeler van die groep wordt geconstrueerd en die uit de nevenklassen van de normaaldeler bestaat.

Definitie bewerken

Als   een normaaldeler is van een groep  , wat inhoudt dat de linkernevenklassen van   in   samenvallen met rechternevenklassen van  , dan vormen nevenklassen   een groep, de factorgroep of quotiëntgroep   van   en  . De groepsbewerking   in   wordt gedefinieerd door het product van twee nevenklassen   en   op te vatten als de nevenklasse   van het product van   en  :

 .

Dit is pas een geldige definitie, als ze onafhankelijk is van de gekozen vertegenwoordiger van de nevenklassen. Dus als   en  , moet  . Omdat   en   volgt:

  en  

Maar dan ook omdat   normaaldeler is:

  en  

en

 

dus

 

zodat

 

Deze welgedefinieerde bewerking op nevenklassen voldoet aan de groepsaxioma's.

Voorbeelden en eigenschappen bewerken

Zij   de optelgroep van de gehele getallen en   de ondergroep van de  -vouden,  . Dan vormen de restklassen  , dus onder rekenen modulo n, een cyclische groep met   elementen.

Iedere groep is een normaaldeler van zichzelf en de factorgroep daarbij is de triviale groep met 1 element. De triviale ondergroep met alleen het neutrale element is altijd een normaaldeler. De factorgroep is isomorf met de oorspronkelijke groep.

De groep   van omkeerbare n×n-matrices met elementen in een lichaam   heeft als normaaldeler de speciale lineaire groep   van matrices met determinant 1. De factorgroep is isomorf met de vermenigvuldigingsgroep  , de inverteerbare elementen van  .

In een isometriegroep van een euclidische ruimte met niet alleen directe isometrieën is de ondergroep van directe isometrieën een normaaldeler met een factorgroep van twee elementen, de directe isometrieën en de indirecte isometrieën.

In het algemeen is de kern van een homomorfisme van groepen steeds een normaaldeler van het domein. De bijhorende factorgroep blijkt isomorf te zijn met het beeld van het homomorfisme. Omgekeerd is de afbeelding die ieder element van een groep   op de nevenklasse ervan ten opzichte van de normaaldeler   afbeeldt, een surjectief groepshomomorfisme van   naar  . De kern van dit homomorfisme is  .