Associativiteit (wiskunde)

wiskunde
(Doorverwezen vanaf Associativiteit)

In de wiskunde is associativiteit een eigenschap van een binaire operatie. Het betekent dat, als de associatieve operator twee of meer keer achter elkaar voorkomt, de bewerkingsvolgorde niet van belang is, onder de voorwaarde dat de volgorde van de operanden niet verandert. Dat betekent in de praktijk dat het verplaatsen van haakjes in een uitdrukking de uitkomst van de uitdrukking niet verandert.

Definitie bewerken

Een binaire operatie   op een verzameling   wordt associatief genoemd, indien voor alle   geldt:

 

De volgorde waarin de beide operaties worden uitgevoerd, heeft dus geen effect op de uitkomst. Vervolgens kan worden aangetoond dat dit ook geldt voor expressies met daarin ieder aantal operaties  . Dus wanneer   associatief is, kan de evaluatie-volgorde ongespecificeerd blijven, zonder dat dit tot dubbelzinnigheid leidt. De haakjes kunnen daarom worden weggelaten:

 

Het veranderen van de volgorde van uitvoering van de bewerkingen moet niet worden verward met het van plaats verwisselen van de operanden van een operatie.

Voorbeelden bewerken

 
Diagram met de 14 mogelijke volgorden waarin   kan worden berekend
 ;
Zo is (5 + 2) + 3 = 7 + 3 = 10 en 5 + (2 + 3) = 5 + 5 = 10.
 ;
en (5 × 2) × 3 = 10 × 3 = 30 en 5 × (2 × 3) = 5 × 6 = 30
Optellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen zijn beide associatieve bewerkingen.
  • Aftrekken is een voorbeeld van een niet-associatieve bewerking: 5 – (3 – 2) is iets anders dan (5 – 3) – 2.
  • Wanneer vijf elementen   en   in die volgorde met elkaar worden vermenigvuldigd, waarbij de vermenigvuldiging associatief is, geeft dat op 14 verschillende manieren dezelfde uitkomst. De 14 mogelijkheden kunnen in een hasse-diagram worden geïllustreerd. Deze 14 uitkomsten kunnen voor het geval de vermenigvuldiging niet associatief is onderling verschillen.