Hoofdmenu openen
Soorten kegelsneden: Links: parabool, midden: cirkel en ellips, rechts hyperbool

Een kegelsnede is een vlakke kromme die bestaat uit de punten van een kegel (eigenlijk een dubbele kegel) die liggen in een plat vlak dat de kegel snijdt. Kegelsneden werden reeds 200 jaar v.Chr. bestudeerd door Apollonius van Perga. Afhankelijk van de manier waarop de kegel wordt gesneden, ontstaan verschillende meetkundige krommes: een cirkel, een ellips, een parabool en een hyperbool. Een cirkel is een speciaal geval van een ellips, een parabool is op te vatten als een grensgeval tussen een ellips en een hyperbool.

Cirkels, ellipsen en hyperbolen worden wel centrale kegelsneden genoemd omdat ze, in tegenstelling tot een parabool, een middelpunt hebben.

Een kegelsnede wordt vastgelegd door vijf punten waarvan er geen drie op één lijn liggen of door vijf raaklijnen aan een punt op de kegelsnede, waarvan er geen drie door één punt gaan.

Inhoud

ToepassingenBewerken

Het tweelichamenprobleem heeft de kegelsneden als oplossingen.

Een kogelbaan is bij verwaarlozing van luchtweerstand een kegelsnede die afhangt van het gravitatiemodel: bij een uniform gravitatieveld is het een parabool. Als met de kromming van de aarde rekening wordt gehouden, is de baan een stukje van een ellips, met verticale lange as.

ExcentriciteitBewerken

Vergelijk de ellips, parabool en hyperbool met elkaar. Het verschil tussen deze wordt bepaald door hun excentriciteit.

EllipsBewerken

Gegeven zijn twee punten, de brandpunten   en  , op onderlinge afstand  , en een getal  , dan is de ellips   de meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de afstanden tot de twee brandpunten gelijk is aan  .

 

ParaboolBewerken

Gegeven zijn een lijn  , de richtlijn, en een punt  , het brandpunt, niet op de lijn gelegen, dan is de parabool   de meetkundige plaats van de punten waarvoor de afstand tot de richtlijn gelijk is aan de afstand tot het brandpunt.

 

HyperboolBewerken

Gegeven zijn twee punten, de brandpunten   en  , op onderlinge afstand  , en een getal  , dan is de hyperbool de meetkundige plaats van de punten waarvoor het verschil van de afstanden tot de twee brandpunten gelijk is aan  .

 .

Meetkundige plaatsBewerken

Het is ook mogelijk een gemeenschappelijke meetkundige definitie te geven voor deze drie types kegelsneden. Gegeven zijn een lijn   de richtlijn, een punt   het brandpunt, dat niet op de richtlijn ligt, en een positief getal  , de excentriciteit, dan is de meetkundige plaats   van de punten   die voldoen aan:

 

een ellips indien  , een parabool als   en een hyperbool als  .

VergelijkingBewerken

In een cartesiaans assenstelstel is de vergelijking van een kegelsnede van de vorm

 .

Het is een kwadratische vergelijking in twee variabelen   en  . Als

  •  , is de vergelijking een parabool,
  •  , is de vergelijking een ellips,
  •  , is de vergelijking een hyperbool,
  •   en  , is de vergelijking een cirkel,
  •  , is het een rechthoekige hyperbool.

Matrixvergelijking van een kegelsnedeBewerken

De symmetrische matrix

 

heet de kubische matrix van de kegelsnede bepaald door de vergelijking

 

Deze vergelijking kan geschreven worden als

 

met  

Raaklijn in een punt van een kegelsnedeBewerken

De vergelijking van de raaklijn in het punt   van de kegelsnede gegeven door de kubische matrix   kan geschreven worden als

 
Voorbeeld

De raaklijn in het punt   van de kegelsnede met vergelijking

 

wordt gegeven door de vergelijking

 

Raaklijn vanuit een punt aan een kegelsnedeBewerken

 
Raaklijnen uit een punt   aan een kegelsnede

De verbindingslijn van de raakpunten van de raaklijnen uit een punt   aan een kegelsnede   met matrixvergelijking   heet de raakkoorde corresponderend met punt  . Als de raakkoorde bekend is, is het mogelijk de raaklijnen uit   aan de kegelsnede te berekenen.

De raakkoorde   corresponderend met het punt   heeft de vergelijking

 

Hierin is   de kubische matrix van de kegelsnede  . Zodra die raakkoorde   bekend is, kunnen de snijpunten van   en de kegelsnede berekend worden. Die snijpunten   en   zijn de raakpunten van de raaklijnen uit het punt   aan de kegelsnede. De gevraagde raaklijnen zijn dan de lijnen   en  .

VoorbeeldBewerken

We berekenen de raaklijnen uit punt   aan de kegelsnede met vergelijking

 

De raakkoorde corresponderend met het punt   heeft als vergelijking

 

De snijpunten   en   van die raakkoorde met de kegelsnede zijn de oplossingen van het stelsel

 

De oplossingen zijn   en  .

De raaklijn   heeft vergelijking  .

De raaklijn   heeft vergelijking  .

Middelpunt van een ellips of hyperboolBewerken

Het middelpunt van een ellips of hyperbool is het symmetriepunt van de figuur. De coördinaten van het middelpunt van zo'n kegelsnede met vergelijking   zijn de oplossingen van het stelsel

 

Ontaarde kegelsnedenBewerken

Behalve deze 'standaard' kegelsneden zijn er ook nog ontaarde kegelsneden. Deze worden gevormd door het snijvlak door de top van de kegel te laten gaan. Dit geeft een punt, een rechte of twee snijdende rechten.

Een kegelsnede is ontaard als zijn vergelijking kan worden ontbonden als een product van twee lineaire vergelijkingen met reële of complexe coëfficiënten. De grafiek valt dan uiteen in twee reële of twee imaginaire rechten. Het zijn de componenten van de ontaarde kegelsnede. Het snijpunt van die rechten heet het dubbelpunt. Wanneer de twee rechten samenvallen is ieder punt een dubbelpunt. Zo is de kegelsnede met vergelijking   ontaard in de reële rechten met vergelijking   en  . Het punt (3,0) is het dubbelpunt. De kegelsnede   ontaardt in de imaginaire rechten   en   en het reële dubbelpunt ligt in de oorsprong (0,0).

Een parabool ontaardt in twee evenwijdige rechten en een ellips in twee toegevoegd imaginaire rechten. Een hyperbool ontaardt in twee snijdende reële rechten.

De kegelsnede met vergelijking   ontaardt enkel en alleen als

 

De determinant   heet de kubische determinant van de kegelsnede.

Zie ookBewerken