Quotiënttopologie

In de topologie wordt de constructie van de quotiënttopologie gebruikt om een precieze betekenis te geven aan het plastische begrip "aan elkaar plakken".

DefinitieBewerken

Zij   een topologische ruimte en zij   een equivalentierelatie op  . De relatie   heet in deze context meestal "wordt geïdentificeerd met".

Zij   de partitie van   die gevormd wordt door de equivalentieklassen van  .

De verzameling   wordt als volgt uitgerust met een topologie  : een deelverzameling   van   heet open als de vereniging van haar leden een open verzameling is van  :

 

Gelijkwaardige definitieBewerken

We rusten   uit met de finale topologie   voor de afbeelding   die met ieder element   zijn partitieklasse associeert.

EigenschappenBewerken

De quotiënttopologie voldoet aan het scheidingsaxioma   (singletons zijn gesloten) als en slechts als de equivalentieklassen van   gesloten zijn in  .

Een quotiënt van een samenhangende ruimte is samenhangend. Een quotiënt van een wegsamenhangende ruimte hoeft echter niet wegsamenhangend te zijn.

Een quotiënt van een compacte ruimte is compact. Een quotiënt van een lokaal compacte ruimte hoeft echter niet lokaal compact te zijn.

VoorbeeldBewerken

Zij   het gesloten reële eenheidsinterval met de gewone topologie. Zij   de equivalentierelatie op   die bestaat uit alle identieke koppels, plus de koppels   en  .

De quotiëntruimte   is homeomorf (t.t.z. topologisch gelijkwaardig) met de cirkel, want elke omgeving van de klasse   in de quotiënttopologie omvat een omgeving van 0 én een omgeving van 1 in de oorspronkelijke ruimte  .

Dit is het eenvoudigste voorbeeld van een "plak"-operatie: de uiteinden van het interval worden aan elkaar geplakt, en we bekomen een cirkel.

Van pseudometriek naar metriekBewerken

Met elke pseudometrische ruimte   wordt een topologie geassocieerd door de open bollen te laten fungeren als basis. Deze topologie is slechts   als de pseudometriek in feite een metriek is.

Als   een echte pseudometriek is, dan beschouwen we de equivalentierelatie

 

Deze klassen zijn gesloten verzamelingen, en de quotiëntruimte is  . In feite kan de quotiëntruimte worden opgevat als een metrische ruimte, en voldoet ze dus zelfs aan het scheidingsaxioma  .