Hoofdmenu openen
Grafiek van een derdegraads-vergelijking met haar drie, in dit geval reële wortels, dat wil zeggen de snijpunten, waar de kromme de x-as kruist. Deze derdegraadsverge-lijking heeft 2 kritische punten.

Een derdegraadsvergelijking is een vergelijking die herleid kan worden tot de vorm

waar a ongelijk is aan nul. De a, b, c en d heten de constanten of de coëfficiënten van de vergelijking, zij zijn in het algemeen geheel of reëel.

Iedere derdegraadsvergelijking met gehele of reële coëfficiënten heeft minstens één reële oplossing.

Het oplossen van derdegraadsvergelijkingen bleek veel ingewikkelder te zijn dan het oplossen van vierkantsvergelijkingen, waarvoor al in de oudheid een algemene oplossing is gevonden, al werd toen alleen naar positieve oplossingen gezocht. In de 16e-eeuw was de Italiaan Niccolò Tartaglia de eerste die een algemene formule vond voor de oplossingen van de derdegraadsvergelijking.

De formule van Cardano geeft een algemene oplossing voor de derdegraadsvergelijking. Als gevolg van de hoofdstelling van de algebra heeft iedere derdegraadsvergelijking drie oplossingen, waarbij samenvallende oplossingen zo vaak meetellen, als dat zij samenvallen. Twee van de drie oplossingen kunnen complex zijn. Alle drie worden zij door de formule van Cardano gegeven.

Een derdegraadsvergelijking stelt een polynoom van de derde graad gelijk aan 0. De wortels van de vergelijking zijn de nulpunten van deze polynoom.

VoorbeeldenBewerken

  1. Zoek een reëel getal   waarvoor  . De enige oplossing van dit probleem luidt  
  2. Zoek een geheel getal   waarvoor  . De enige oplossing van dit probleem luidt  . Als we de voorwaarde "geheel" vervangen door "complex" zijn er nog twee andere oplossingen, namelijk   en  
  3. Zoek een reëel getal   waarvoor  . Deze vergelijking heeft precies één oplossing. Als we de voorwaarde "reëel" vervangen door "geheel", is er geen enkele oplossing.
  4. Zoek een reëel getal   waarvoor  . Deze vergelijking heeft drie verschillende oplossingen:   en  . Dit blijkt rechtstreeks door te ontbinden in factoren
     , maar wordt ook aanschouwelijk door de grafiek van de derdegraadsvergelijking te bekijken. De nulpunten zijn de snijpunten van de grafiek met de X-as.
 
Grafiek van de veeltermfunctie  . De reële nulpunten zijn de drie snijpunten met de X-as.

Aantal reële oplossingenBewerken

Een derdegraadsvergelijking met reële coëfficiënten heeft altijd minstens één reële oplossing. Het precieze aantal reële oplossingen kan eenvoudig worden bepaald zonder de oplossingen zelf uit te rekenen. Elke derdegraadsvergelijking kan door een geschikte lineaire substitutie worden gereduceerd tot de gereduceerde vorm  .

Deze derdegraadsvergelijking heeft twee samenvallende wortels als ze een gemeenschappelijk nulpunt heeft met haar eerste afgeleide, dat wil zeggen als er een reëel getal   bestaat dat voldoet aan

 
 

Deze vergelijkingen bepalen een kromme in het  -vlak, geparametriseerd door  :

 
 
 
Aantal reële nulpunten van  , Voor koppels   die precies op de groene kromme liggen, heeft het polynoom een nulpunt gemeen met zijn afgeleide, en bezit dus minstens één meervoudig nulpunt. Buiten de groene kromme zijn alle nulpunten enkelvoudig. Links van de kromme (blauw gebied) zijn er drie verschillende reële nulpunten. Rechts van de kromme (geel gebied) is er precies één reëel nulpunt.

Deze kromme is doornvormig met een singulier punt in  . Ze verdeelt het vlak in twee gebieden. Uit eliminatie van de parameter volgt

 

De grootheid   heet de discriminant van de vergelijking. Als de discriminant positief is, dan heeft de vergelijking precies één reële wortel. Is de discriminant negatief, dan zijn er precies drie verschillende reële wortels.

Algemene oplossingBewerken

De door Gerolamo Cardano gepubliceerde oplossingsmethode, afkomstig van Niccolò Tartaglia, geeft een formule voor de oplossingen van de gereduceerde vorm:

 

of, zonder verlies van algemeenheid:

 .

De 3 oplossingen hebben de vorm:

 
 
 

waarin:

 

en

 

de beide derdemachtseenheidswortels zijn.

Het gedrag van de oplossingen is afhankelijk van het teken van de discriminant

 
Geval 1 

De enige drievoudige oplossing is  

Geval 2 

Omdat   is   Er zijn 2 verschillende reële oplossingen; een enkelvoudige   en een tweevoudige  

Geval 3 

Er is één reële oplossing   en twee complex geconjugeerde oplossingen:  

Geval 4 , de zogeheten 'casus irreducibilis'

Er zijn 3 verschillende reële oplossingen.

Casus irreducibilisBewerken

Als de discriminant negatief is, ontstaat er een probleem. Dit heet het irreducibele geval, ook bekend onder de Latijnse naam casus irreducibilis. Er zijn dan weliswaar 3 reële oplossingen, die volgens de methode van Tartaglia in gesloten vorm geschreven kunnen worden, maar alleen door gebruik te maken van de complexe getallen. Historisch zijn de complexe getallen op die manier vanuit de derdegraadsvergelijking door Rafael Bombelli ingevoerd.

In dat geval biedt de door Viète bedachte goniometrische methode een alternatief. Daarbij substitueert men:

 

zodat:

 

en maakt gebruik van de identiteit:

 

waardoor de vergelijking overgaat in:

 

of:

 .

Door de keuze

 

ontstaat:

 

een vergelijking die eenvoudig is op te lossen.

Numerieke oplossingBewerken

Voor het berekenen van een reële oplossing met een computer kunnen ook iteratieve methoden gebruikt worden. Van de vergelijking

 

kan in bepaalde gevallen één reële wortel bepaald worden, met de volgende recurrente betrekking:

 

Na keuze van de startwaarden, bijvoorbeeld:

 

wordt voor n = 3 de volgende term bepaald:

 

Als het quotiënt

 

een limiet lijkt te naderen, is daarmee een oplossing gevonden. Anders wordt een volgende stap genomen, nadat de termen zijn doorgeschoven: