Hoofdmenu openen
Ellips als kegelsnede.
Enkele termen geïllustreerd

Een ellips (Grieks ἔλλειψις, het tekortschieten) is in de wiskunde een meetkundige figuur in twee dimensies. Een ellips wordt gevormd door alle punten waarvoor de som van de afstanden tot twee gekozen punten, de brandpunten, een vaste waarde heeft. De ellips is een nauwkeurig gedefinieerd speciaal geval van het ruime begrip ovaal.

Een cirkel is een speciaal geval van een ellips. Afhankelijk van de context wordt bij het gebruik van het woord "ellips" al of niet mede een cirkel bedoeld (net als bij "rechthoek" en "vierkant").

Een ellips is ook een kegelsnede, gevormd door de snijlijn van een kegel of een cilinder met een plat vlak. Het platte vlak moet hierbij de kegelas respectievelijk de cilinderas snijden. Bij het snijden met de kegel moet de hoek tussen de kegelas en het platte vlak groter zijn dan de helft van de openingshoek van de kegel.

Inhoud

DefinitieBewerken

 
Ellips met halve assen (a en b) en brandpunten.

Een ellips in de meetkunde is een tweedimensionale figuur die de meetkundige plaats is van alle punten waarvoor de som van de afstanden (rode lijn in de figuur) tot twee gekozen punten, de brandpunten (f1 en f2 in de figuur), een vaste waarde heeft. Een ellips heeft twee assen: het lijnstuk door de brandpunten die tegenovergelegen punten van de ellips verbindt heet de lange as of grote as met halve lengte   en het overeenkomstige lijnstuk loodrecht daarop door het midden van de lange as heet korte as of kleine as, met halve lengte  

In het geval van een cirkel zijn de "lange" en "korte" as even lang en is de richting van de "lange" as onbepaald. Als de ellips geen cirkel is heeft deze dezelfde symmetrie als een rechthoek. De cirkel heeft meer symmetrie, ook meer dan een vierkant.

Alternatieve definitie uitgaande van brandpunt en richtlijnBewerken

 
Een ellips als verzameling punten waarvan de verhouding tussen de afstand tot een brandpunt en die tot een richtlijn constant is

Een ellips is de meetkundige plaats van de punten in het plat vlak waarbij de verhouding van de afstand tot een willekeurig punt, brandpunt geheten, tot de afstand tot een willekeurige rechte, richtlijn geheten, constant is. Deze constante verhouding is gelijk aan de excentriciteit van de ellips, voorgesteld door   Er moet gelden   (zie ook excentriciteit (astronomie)). De excentriciteit bepaalt de vorm van de ellips, aanvullend is er dan parameter   voor de grootte.

Met beide brandpunten van de ellips correspondeert de dichtsbijzijnde richtlijn. Ze zijn evenwijdig aan de korte as, en liggen op een afstand van   ervan. De afstand van de ellips tot de richtlijn is  , dit is voor   ongeveer gelijk aan  . De afstand van het betreffende brandpunt tot de ellips is dan ook ongeveer hieraan gelijk. Als   van onder naar 1 nadert en   gelijk gehouden wordt, en   dus naar oneindig nadert, nadert de ellips in de buurt van het betreffende brandpunt en de betreffende richtlijn tot een parabool, met als as de lange as van de ellips, en met een richtlijn die nog steeds loodrecht op die as staat. In hun geheel gezien zijn de zeer lange ellips en de parabool wel zeer verschillend, want de parabool heeft geen korte as en daarmee ook geen tweede as van symmetrie.

Voor een cirkel geldt  . Voor een ontaarde cirkel die bestaat uit een punt (de samenvallende brandpunten) is elke lijn richtlijn, voor andere cirkels is er geen richtlijn en is de genoemde definitie/eigenschap niet van toepassing.

Als conflictlijn tussen een cirkel en een puntBewerken

 
De ellips als een conflictlijn, met cirkel C als directrice; voor ieder punt   op de ellips geldt dat de afstand tot het gegeven punt   gelijk is aan de afstand tot de cirkel; het middelpunt   van de cirkel is tevens het tweede brandpunt   van de ellips.

De ellips is ook op te vatten als conflictlijn tussen een punt en een cirkel, die dan richtcirkel of directrice wordt genoemd. Het gegeven punt is dan het ene brandpunt, het middelpunt van de gegeven cirkel is het andere brandpunt.

Als contractie van een cirkelBewerken

Een ellips ontstaat door een cirkel in één richting met een vaste factor te contraheren, zoals bij orthogonale projectie van een schuin geplaatste cirkel.

EigenschappenBewerken

ExcentriciteitBewerken

De excentriciteit   van de ellips met halve assen   en   is gedefinieerd als:

 

BrandpuntenBewerken

De afstand tussen een brandpunt en het middelpunt is:

 

Er geldt dus:

 [1]
 
De raaklijn is buitenbissectrice van hoek brandpunt-raakpunt-brandpunt.

RaaklijnBewerken

Een raaklijn van een ellips is een buitenbissectrice van de hoek brandpunt-raakpunt-brandpunt.

OppervlakteBewerken

De oppervlakte   van een ellips met halve lange as   en halve korte as   wordt gegeven door:

 

OmtrekBewerken

Voor de omtrek van een ellips bestaat geen uitdrukking in elementaire functies. De omtrek kan voorgesteld worden als integraal, die daarom ook elliptische integraal heet. Voor de ellips met als parametervergelijking

 ,

wordt de omtrek   gegeven door

 

Daarin is   een elliptische integraal van de tweede soort, hier dalend van   voor   (lengte van een kwart van de eenheidscirkel) tot   voor   (lengte van een kwart van de omtrek van een ontaarde ellips die bestaat uit een dubbel doorlopen lijnstuk van lengte 2).

VergelijkingenBewerken

MiddelpuntsvergelijkingBewerken

De wiskundige vergelijking voor de ellips met als middelpunt het punt   als halve lange (horizontale) as   en als halve korte (verticale) as   is in het xy-assenstelsel:

 

Als het middelpunt van de ellips de oorsprong is, vereenvoudigt zich dit tot:

 

(Voor de afleiding uit de eerder vermelde definitie van een ellips, zie onder.)

In poolcoördinaten t.o.v. middelpuntBewerken

 

In poolcoördinaten t.o.v. een brandpuntBewerken

Lange as horizontaal, linker brandpunt als pool, met excentriciteit  

 

In iets algemenere vorm van een ellips met één brandpunt als pool, en de andere in een hoek   ten opzichte van de oorsprong:

 

(Zie ook de vergelijking in poolcoördinaten ten opzichte van een brandpunt.)

ParametervergelijkingBewerken

De parametervergelijking voor de ellips met als middelpunt het punt   als halve lange (horizontale) as   en als halve korte (verticale) as   luidt:

 ,
 .

Constructie van een ellipsBewerken

TuinmansellipsBewerken

Een ellips kan als volgt worden getekend:

  1. Druk twee punaises in de brandpunten (of sla twee spijkers in een plank)
  2. Maak een lus van een draadje en leg die lus rond de punaises.
  3. Zet een potlood tegen het draadje aan en trek het strak.
  4. Teken met het potlood de ellips, er daarbij voor zorgend dat het draadje strak blijft.

Het draadje zorgt ervoor dat de som van de afstand tot de brandpunten vanaf elk punt van de ellips constant is, namelijk gelijk aan de lengte van het draadje minus de afstand tussen de punaises. Het op deze wijze construeren van een ellips wordt ook wel tuinmansellips genoemd, omdat men zo de randen van ellipsvormige perken aanlegt (uiteraard met piketten in plaats van punaises). Deze methode is in de praktijk onnauwkeurig. Varianten op de tuinmansmethode kunnen gebruikt worden om diverse ovalen te construeren.

Indien de gewenste afmetingen van het perk   zijn (lange as bij korte as, waarbij   wordt verondersteld), leidt dit tot de volgende afstand tussen de piketten:

 
Ellipspasser
 

De lengte van het touw wordt dan:

 

EllipspasserBewerken

De Nederlandse wiskundige Frans van Schooten bedacht in de 17e eeuw twee typen ellipspassers. De gebruikelijkste is een kruisvormige, de andere hanteert een variant van de tuinmansmethode. Van de bekende ellipsconstructies die met eenvoudige mechanische middelen te maken zijn, is de kruisvormige passer in de praktijk de nauwkeurigste.

Constructie van GravesBewerken

  Zie Constructie van Graves voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Bij een gegeven ellips kan met een lus van draad, langer dan de omtrek van de gegeven ellips, een nieuwe ellips geconstrueerd worden: span met een potlood de lus strak om de ellips en teken zo rondgaand de nieuwe figuur. Er ontstaat een tweede ellips met dezelfde brandpunten als de gegeven ellips. Dit wordt de constructie van Graves genoemd.

Constructie uitgaande van de parametervergelijkingBewerken

 
Constructie met parametervergelijking

Een andere manier om een ellips te tekenen gaat uit van de ingeschreven en omgeschreven cirkel en de parametervergelijking. De straal (radius) van de omgeschreven cirkel is gelijk aan de halve lange as   van de ellips, en die van de ingeschreven cirkel is gelijk aan de halve korte as   van de ellips. Deze cirkels zijn concentrisch; zij hebben hetzelfde middelpunt. Trek nu vanuit het middelpunt van de cirkels een gemeenschappelijke straal naar buiten toe (zie animatie, in het rood). Vanuit het punt waar die straal de ingeschreven cirkel snijdt, trek je een lijn naar buiten toe (fig.: goud) en evenwijdig met de lange as van de te bekomen ellips, en waar de straal de omgeschreven cirkel snijdt, trek je een lijn naar binnen toe en evenwijdig met de korte as van de te bekomen ellips. Waar beide lijnen elkaar snijden, bevindt zich een nieuw punt van de ellips (fig.: groen).

Afleiding van de vergelijkingBewerken

 
Ellips :  :  :  : 

De nevenstaande figuur laat een ellips zien met middelpunt in de oorsprong en de lange as langs de x-as. De halve lange as is   en de halve korte as   Een punt   op de ellips heeft de afstanden   en   tot de respectievelijke brandpunten   en  , die op een afstand   van het middelpunt liggen.

Voor   op de positieve y-as geldt volgens de stelling van Pythagoras:

 

waaruit de formule voor de afstand van brandpunt tot middelpunt volgt:

 

Voor de afstanden   en   geldt volgens Pythagoras:

 

en

 

zodat:

 

Nu is

 

volgens de definitie van een ellips geldt voor de som:

 

zodat voor het verschil geldt:

 

Oplossen levert:

  en  

Daaruit volgt weer:

 

Anderzijds geldt:

 

zodat:

 

of anders geschreven:

 

Omdat   volgt:

 

Uit deze berekeningen volgt dat voor een punt   op de ellips de coördinaten voldoen aan de vergelijking

 

Omgekeerd kan men aantonen dat als voor een willekeurig punt   de coördinaten voldoen aan die vergelijking, het punt   noodzakelijk op die ellips ligt.

Conclusie: de vergelijking van die ellips is

 

Bollen van DandelinBewerken

 
Bollen van Dandelin.

Dat deze meetkundige plaats inderdaad een kegelsnede is kan worden ingezien met de bollen van Dandelin (genoemd naar Germinal Pierre Dandelin), waar gebruik wordt gemaakt van het feit dat alle raaklijnen vanuit een punt aan een bol even lang zijn. De bollen die in de kegel zijn geplaatst, raken de ellips in de brandpunten (zie figuur).

Zie ookBewerken

Externe linkBewerken