Raaklijn

De raaklijn of tangent aan een kromme in een punt van die kromme is in de meetkunde de rechte lijn door dat punt die in dat punt dezelfde richting heeft als de kromme. Het punt waarin de raaklijn de kromme raakt, heet raakpunt, soms ook tangentpunt. De raaklijn is de benadering van de kromme in het raakpunt door een rechte lijn. De raaklijn kan de kromme eventueel nog snijden in een ander punt dan het raakpunt.

Iedere zwarte lijn door $P$ is een benadering van de blauwe raaklijn in $P$.

De raaklijn in een punt $P$ op de kromme $k$ kan gezien worden als de limietstand van de lijn door $P$ en een ander punt $Q$ van de kromme als het punt $Q$ over $k$ het raakpunt $P$ nadert. Daaruit blijkt ook dat niet in elk punt van een willekeurige kromme een raaklijn bestaat. De kromme zal aan bepaalde eisen van differentieerbaarheid moeten voldoen.

Twee dimensies

Zie Eerlijk delen voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Heel algemeen wordt een vlakke kromme gegeven door de coördinaatfuncties $x(t)$ en $y(t)$ gegeven, waarbij de parameter $t$ een bepaalde verzameling waarden, meestal een interval, doorloopt. De raaklijn aan die kromme in een punt $(x_{0},y_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}))$ van de kromme gaat door dat punt en heeft dezelfde helling als de kromme. De vergelijking van de raaklijn wordt het eenvoudigst voorgesteld door:

$y_{R}(x)-y_{0}=b(x-x_{0})$

In het betrokken punt is de helling:

$b=\left.{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right|_{t=t_{0}}={\frac {y'(t_{0})}{x'(t_{0})}}$

mits de afgeleiden bestaan.

Is de kromme de grafiek van de functie $y(x)$, dan wordt de raaklijn in het punt $(x_{0},y_{0})$ gegeven door:

$y_{R}(x)-y_{0}=b(x-x_{0})=y'(x_{0})(x-x_{0})$

Er is in GeoGebra de functie om de raaklijn aan een gegeven kromme in een punt op die kromme te tekenen.

Parabool

De raaklijn aan de parabool $y=ax^{2}+bx+c$ in een punt $(x_{0},y_{0})$ wordt gegeven door:

$y-y_{0}=(2ax_{0}+b)(x-x_{0})$

Cirkel

De raaklijn aan de cirkel $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ in het punt $(x_{0},y_{0})$ wordt gegeven door:

$(x-a)(x_{0}-a)+(y-b)(y_{0}-b)=r^{2}$

De raaklijn in het punt $(1,1)$ aan de cirkel met de oorsprong als middelpunt is bijvoorbeeld $x+y=2$.

Ellips

Een ellips is voor $t\in [0,2\pi )$ gegeven door de coördinaatfuncties

$x(t)=3\sin(t),\quad y(t)=2\cos(t)$

De vergelijking van de raaklijn in een punt $(x(t_{0}),y(t_{0}))$ aan de ellips is dus:

$y_{R}(x)=y(t_{0})+b(x-x(t_{0}))=2\cos(t_{0})+b\left(x-3\,\sin(t_{0})\right)$

Daarin is:

$b={\frac {y'(t_{0})}{x'(t_{0})}}=-{\tfrac {2}{3}}\tan(t_{0})$

Afbeeldingen

• 

  Raaklijn (rood) aan een kromme.

• 

  Raaklijn aan een cirkel.

Drie dimensies

Een kromme in drie dimensies wordt ruimtekromme genoemd, heel algemeen voorgesteld door de parametervoorstelling met de drie coördinaatfuncties $x(t),y(t)$ en $z(t)$.

Als de ruimtekromme differentieerbaar is in het punt $(x_{0},y_{0},z_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))$, kan de raaklijn in dat punt bepaald worden met behulp van de afgeleide van de ruimtekromme in dat punt:

$(x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0}))$

De raaklijn wordt dan beschreven door de functies

$X(s)=x_{0}+x'(t_{0})\cdot s$

$Y(s)=y_{0}+y'(t_{0})\cdot s$

$Z(s)=z_{0}+z'(t_{0})\cdot s$

Indien de ruimtekromme wordt gegeven als snijlijn van twee oppervlakken met vergelijkingen

$F(x,y,z)=0$

$G(x,y,z)=0$

is de richting van de raaklijn evenwijdig aan het kruisproduct van de gradiënten van deze twee uitdrukkingen:

$[F'_{x},F'_{y},F'_{z}]\ \times \ [G'_{x},G'_{y},G'_{z}]$