Ondergroep (wiskunde)

In de groepentheorie is een ondergroep of deelgroep van een gegeven groep $G$ met de groepsbewerking $*$ een deelverzameling van $G$ die zelf ook een groep is bij dezelfde groepsbewerking $*$.

Definitie

De deelverzameling $H\subseteq G$ van een groep $(G,*)$ heet een ondergroep van $(G,*)$, als $H$ met de groepsbewerking $*$ van $(G,*)$ zelf een groep is.

Dat houdt in dat de beperking van de bewerking $*$ tot $H\times H$ voldoet aan de axioma's voor groepsbewerking.

Als de ondergroep $H$ van een groep $G$ gevormd wordt door een echte deelverzameling van $G$ spreekt men van een echte ondergroep. Voor elke groep $G$ is er de triviale ondergroep bestaande uit alleen het eenheidselement.

Normaaldeler

Voor elk element $g\in G$ onderscheidt men de linkernevenklasse van $g$ ten opzichte van $H$:

$gH=\{gh\mid h\in H\}$

en, analoog, de rechternevenklasse

$Hg=\{hg\mid h\in H\}$.

Een ondergroep heet normaaldeler van de groep als linker- en rechternevenklassen samenvallen.

Orde

Voor een eindige groep is de orde (dat wil zeggen het aantal elementen) van een ondergroep een deler van de orde van de groep (Stelling van Lagrange). Het quotiënt van de beide ordes is het aantal linkernevenklassen.

Eigenschappen van ondergroepen

• Een deelverzameling $H\subseteq G$ is dan en slechts dan een ondergroep van de groep $G$, als $H$ niet-leeg is en gesloten is onder vermenigvuldiging en inverses. Dit houdt in: dat met $a,b\in H$ ook $ab\in H$ en $a^{-1}\in H$.
• Als $H$ eindig is, dan is $H$ dan en slechts dan een ondergroep van $G$, als $H$ gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element $a\in H$ een eindige cyclische ondergroep van $H$, en is de inverse van $a$ gelijk aan $a^{-1}=a^{n-1}$, waarin $n$ de orde is van $a$.
• Alternatief geldt dat een deelverzameling $H\subseteq G$ dan en slechts dan een ondergroep van de groep $G$ is, als er een inbeddingshomomorfisme $i:H\to G;i(a)=a$ bestaat.
• Het neutrale element van een ondergroep is hetzelfde als het neutrale element van de groep.
• De inverse van een element in een ondergroep is gelijk aan de inverse van het element in de groep.
• De doorsnede van twee ondergroepen is ook een ondergroep.
• De vereniging van ondergroepen is alleen dan een ondergroep in het triviale geval dat een van beide ondergroepen de andere omvat.
• Voor een deelverzameling $S\subseteq G$ bestaat er een kleinste ondergroep die $S$ omvat. Deze kleinste ondergroep is de doorsnede van alle ondergroepen die $S$ omvatten. Deze kleinste ondergroep wordt aangeduid met $\langle S\rangle$ en wordt de door $S$ voortgebrachte ondergroep genoemd. Een element van $G$ is dan en slechts dan in $\langle S\rangle$ als het een eindig product is van elementen van $S$ en hun inverses.
• Elk element $a$ van een groep $G$ genereert een cyclische ondergroep $\langle a\rangle$. Als er een positief geheel getal $n$ is zodanig dat $\langle a\rangle$ isomorf is met $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, dan is $n$ het kleinste positieve gehele getal waarvoor $a^{n}=e$ en wordt $n$ de orde van $a$ genoemd. Is $\langle a\rangle$ isomorf met $\mathbb {Z}$, dan zegt men dat $a$ van een oneindige orde is.
• De ondergroepen van een groep vormen onder inbedding een volledige tralie die de tralie van ondergroepen wordt genoemd.

Voorbeeld

Laat $G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}$ een abelse groep zijn met als groepsoperatie de optelling modulo acht. De cayley-tabel van de groep is

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Deze groep heeft een paar niet-triviale ondergroepen: $J=\{0,4\}$ (oranje) en $H=\{0,2,4,6\}$ (rood). De ondergroep $J$ is ook een ondergoep van $H$. De cayley-tabel voor $H$ bestaat uit het linkerboven kwadrant van de cayley-tabel voor $G$. De groep $G$ en de ondergroepen zijn cyclische groepen. In het algemeen zijn ondergroepen van cyclische groepen ook cyclisch.

Zie ook

• Nevenklasse

Bronnen, noten en/of referenties