Ondergroep (wiskunde)

wiskunde

In de groepentheorie is een ondergroep of deelgroep[1] van een gegeven groep met de groepsbewerking een deelverzameling van die zelf ook een groep is bij dezelfde groepsbewerking .

DefinitieBewerken

De deelverzameling   van een groep   heet een ondergroep van  , als   met de groepsbewerking   van   zelf een groep is.

Dat houdt in dat de beperking van de bewerking   tot   voldoet aan de axioma's voor groepsbewerking.

Als de ondergroep   van een groep   gevormd wordt door een echte deelverzameling van   spreekt men van een echte ondergroep. Voor elke groep   is er de triviale ondergroep bestaande uit alleen het eenheidselement.

NormaaldelerBewerken

Voor elk element   onderscheidt men de linkernevenklasse van   ten opzichte van  :

 

en, analoog, de rechternevenklasse

 .

Een ondergroep heet normaaldeler van de groep als linker- en rechternevenklassen samenvallen.

OrdeBewerken

Voor een eindige groep is de orde (dat wil zeggen het aantal elementen) van een ondergroep een deler van de orde van de groep (Stelling van Lagrange). Het quotiënt van de beide ordes is het aantal linkernevenklassen.

Eigenschappen van ondergroepenBewerken

  • Een deelverzameling   is dan en slechts dan een ondergroep van de groep  , als   niet-leeg is en gesloten is onder vermenigvuldiging en inverses. Dit houdt in: dat met   ook   en  .
  • Als   eindig is, dan is   dan en slechts dan een ondergroep van  , als   gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element   een eindige cyclische ondergroep van  , en is de inverse van   gelijk aan  , waarin   de orde is van  .
  • Alternatief geldt dat een deelverzameling   dan en slechts dan een ondergroep van de groep   is, als er een inbeddingshomomorfisme   bestaat.
  • Het neutrale element van een ondergroep is hetzelfde als het neutrale element van de groep.
  • De inverse van een element in een ondergroep is gelijk aan de inverse van het element in de groep.
  • De doorsnede van twee ondergroepen is ook een ondergroep.
  • De vereniging van ondergroepen is alleen dan een ondergroep in het triviale geval dat een van beide ondergroepen de andere omvat.
  • Voor een deelverzameling   bestaat er een kleinste ondergroep die   omvat. Deze kleinste ondergroep is de doorsnede van alle ondergroepen die   omvatten. Deze kleinste ondergroep wordt aangeduid met   en wordt de door   voortgebrachte ondergroep genoemd. Een element van   is dan en slechts dan in   als het een eindig product is van elementen van   en hun inverses.
  • Elk element   van een groep   genereert een cyclische ondergroep  . Als er een positief geheel getal   is zodanig dat   isomorf is met  , dan is   het kleinste positieve gehele getal waarvoor   en wordt   de orde van   genoemd. Is   isomorf met  , dan zegt men dat   van een oneindige orde is.
  • De ondergroepen van een groep vormen onder inbedding een volledige tralie die de tralie van ondergroepen wordt genoemd.

VoorbeeldBewerken

Laat   een abelse groep zijn met als groepsoperatie de optelling modulo acht. De cayley-tabel van de groep is

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

Deze groep heeft een paar niet-triviale ondergroepen:   (oranje) en   (rood). De ondergroep   is ook een ondergoep van  . De cayley-tabel voor   bestaat uit het linkerboven kwadrant van de cayley-tabel voor  . De groep   en de ondergroepen zijn cyclische groepen. In het algemeen zijn ondergroepen van cyclische groepen ook cyclisch.

Zie ookBewerken