Initiale topologie

In de topologie, een tak van de wiskunde, is de initiale topologie op een verzameling met betrekking tot een collectie afbeeldingen die vanuit die verzameling vertrekken, de grofste topologische structuur die deze afbeeldingen continu maakt.

Het synoniem zwakke topologie is vooral in de functionaalanalyse gebruikelijk.

Initiale topologie van een afbeeldingBewerken

Zij   een afbeelding van een verzameling   naar een topologische ruimte  . We zouden graag de verzameling   van een topologische structuur voorzien die ervoor zorgt dat de afbeelding   continu is, dat wil zeggen dat het inverse beeld van een open verzameling van   steeds een open verzameling van   is.

In het algemeen bestaan er verscheidene dergelijke topologieën, maar slechts één ervan is de kleinste of grofste in de zin dat ze zo weinig mogelijk open verzamelingen bevat. Als   de topologie van   is, dan wordt de kleinste topologie op   waarvoor de afbeelding   continu is, voortgebracht door

 

We zeggen ook dat de inverse beelden van open delen van   een subbasis vormen voor de initiale topologie van  . In feite vormen deze open delen reeds zelf de initiale topologie.

VoorbeeldenBewerken

Beschouw de reële getallen   met de gewone topologie.

De identieke afbeelding   induceert de gewone topologie op  .

De afbeelding   induceert een kleinere topologie op   waarvan de open verzamelingen symmetrisch liggen ten opzichte van 0.

De constante afbeelding   induceert de indiscrete topologie  .

Zij   een topologische ruimte, en   een deelverzameling van  . De deelruimtetopologie van   op   is de initiale topologie van de inclusie-afbeelding  

Initiale topologie van een familie afbeeldingenBewerken

We passen dezelfde techniek toe op een oneindig aantal afbeeldingen  , eventueel naar verschillende topologische ruimten   ( . De indexverzameling   mag zelfs overaftelbaar zijn.

De kleinste (grofste) topologie op de verzameling   waarvoor alle afbeeldingen   continu zijn, wordt voortgebracht door de subbasis

 

Bovenstaande subbasis in in het algemeen niet altijd zelf een topologie. Zoals gewoonlijk bij een subbasis worden de open verzamelingen van de initiale topologie gevormd door alle willekeurige verenigingen van eindige doorsneden van elementen uit de subbasis.

VoorbeeldenBewerken

De projectie-afbeeldingen

 
 

induceren op   een topologie die wordt voortgebracht door open rechthoeken, dit zijn producten van open intervallen. Deze topologie valt samen met de gewone topologie van  , geassocieerd met de Euclidische metriek

 

Algemener definieert men de producttopologie op een Cartesisch product van topologische ruimten als de initiale topologie van de projectie-afbeeldingen.

Finale topologieBewerken

Door de rollen van   en   te verwisselen ontstaat het verwante begrip finale topologie.

Initiale topologieën in de functionaalanalyseBewerken

De functionaalanalyse bestudeert topologische vectorruimten. Als   een topologische vectorruimte is, dan noteert men   voor de duale topologische vectorruimte. De elementen van   zijn de continue lineaire afbeeldingen van   naar zijn scalairenlichaam.

De initiale topologie op   ten opzichte van de verzameling afbeeldingen   noemt men de zwakke topologie van  . Met de zwakke topologie voldoet   niet steeds aan de definiërende axioma's van een topologische vectorruimte. De zwakke topologie is namelijk pas Hausdorff, als de continue lineaire functionalen puntenscheidend zijn, dat wil zeggen dat iedere vector   door minstens één element van   op een getal verschillend van 0 wordt afgebeeld.

De zwak-*-topologie (lees "zwak ster topologie") op   is de initiale topologie voor de evaluatie-afbeeldingen in telkens een vaste vector  :

 

De zwak-*-topologie is Hausdorff en bepaalt in ieder geval een topologische vectorruimte op  .

Op de verzameling   van de continue lineaire transformaties van een Hilbertruimte   definieert men de ultrazwakke topologie als de zwak-*-topologie voor de elementen van de preduale ruimte van  .

VoorbeeldBewerken

Beschouw de volgende rij indicatorfuncties van gesloten intervallen als elementen van de Hilbertruimte  , de complexwaardige kwadratisch integreerbare functieklassen op de reële as (zie Lp-ruimte).

 

Elke twee verschillende elementen uit deze rij zijn onderling loodrechte eenheidsvectoren. Hun onderlinge afstand bedraagt constant de vierkantswortel uit 2. De rij functies vormt dus geen Cauchyrij, en a fortiori geen convergente rij, in de gewone normtopologie van de Hilbertruimte.

De inproducten van   met een willekeurige vaste kwadratisch integreerbare functie   convergeren daarentegen wel naar 0.

 

We zeggen dat de rij   zwak convergeert naar 0.