Hoofdmenu openen

De vierkantswortel, tweedemachtswortel, kwadraatwortel of ook eenvoudigweg wortel, is het eenvoudigste voorbeeld van het wiskundige begrip wortel.

Inhoud

DefinitieBewerken

De vierkantswortel van een niet-negatief reëel getal  , genoteerd als  , is het niet-negatieve getal   waarvan het kwadraat gelijk is aan  , dus:

 

Niet-negatief betekent 0 of groter dan 0. In principe zou een vierkantswortel ook een negatief reëel getal b kunnen zijn: het kwadraat levert dezelfde a op omdat min maal min plus is. Maar om dubbelzinnigheid over het teken (positief of negatief) uit te sluiten, is de vierkantswortel per definitie een niet-negatief getal.

Oplossen van vergelijkingenBewerken

De vergelijking   met   heeft twee oplossingen, namelijk   en  .

Bijvoorbeeld heeft de vergelijking   twee oplossingen, namelijk   en  .

DefinitiegebiedBewerken

Binnen de reële getallen is de vierkantswortel uitsluitend gedefinieerd voor  . De vierkantswortel van een negatief getal bestaat dus niet binnen de reële getallen, maar wel binnen de complexe getallen.

Oorsprong van de naamBewerken

De naam vierkantswortel houdt verband met de oorspronkelijke constructie uit de meetkunde. Een getal werd ruimtelijk voorgesteld als de lengte van een lijnstuk, een oppervlak of een inhoud. Een vierkant met oppervlakte   heeft zijden met lengte  . De vierkantswortel trekken wordt dan de zijde van een vierkant vinden. De derdemachtswortel heette ook de cubische wortel of teerlingswortel, omdat aan het vinden van de ribbe van een blok (kubus of teerling) gedacht werd.

 
Grafiek van de functie  , bestaande uit een liggende halve parabool met een verticale directrix.

Wortel als functieBewerken

Om een continue differentieerbare functie te definiëren, beperkt men de wortel als functie tot de absolute waarde waarbij negatieve wortels dus niet zijn toegestaan.

Voor alle reële getallen  

      

Elementaire voorbeeldenBewerken

Enkele voorbeelden van vierkantswortels zijn:

  •  
  •  
  •  
  •   want 2,52 = 6,25
  •  
  •   want  

Speciale gevallenBewerken

Speciale gevallen zijn:

  •  
  •  

RekenregelsBewerken

Bij het werken met vierkantswortels kan gebruik worden gemaakt van de volgende rekenregels, die in wezen dezelfde zijn:

 
 

Men moet de bovenstaande rekenregel uiteraard niet toepassen op getallen waarvoor de wortel niet gedefinieerd is. Uit een voorbeeld blijkt dat anders merkwaardige resultaten kunnen ontstaan.

Let op!

  is niet gelijk aan  

Verband wortelfunctie met absolute waardeBewerken

  voor elk reëel getal x (zie absolute waarde)

Verband met gebroken machtBewerken

Voor alle niet-negatieve reële getallen mag de volgende notatie worden toegepast:

 

Voor de exponent   en veelvouden daarvan, zijn alle voor het machtsverheffen geldende rekenregels van toepassing.

Verband met algebraïsche, complexe en irrationale getallenBewerken

Iedere vierkantswortel van een niet-negatief geheel getal valt onder de algebraïsche getallen, en is geheel als dat getal een kwadraat is, en anders irrationaal. Voor   hier het bewijs dat het geen rationaal getal is.

Van een negatief getal kan geen reële vierkantswortel worden berekend. Uit de behoefte om toch een vergelijkbare bewerking op negatieve getallen uit te kunnen voeren, zijn de complexe getallen ontstaan. Op het domein van de complexe getallen heeft bijvoorbeeld het getal −1 twee vierkantswortels, i en −i.

Met die conventie heeft de vergelijking   met a < 0 en   (reële getallen) als oplossingen   en  .

Voorbeeld: de vergelijking   heeft als oplossingen   en  .

Met behulp van complexe getallen kan op deze wijze een oplossing worden geconstrueerd van de abc-formule in het geval van een negatieve discriminant D.

WorteltrekkenBewerken

Het bepalen van de vierkantswortel wordt worteltrekken genoemd. Er bestaat een algoritme om dit met de hand uit te voeren (zie worteltrekken). De procedure, die lijkt op de klassieke staartdeling, staat al vermeld in Nederlandse rekenboeken uit de 17e eeuw.

Ook de derdemachtswortel kan met de hand worden getrokken.

Benaderingen van de vierkantswortels uit de getallen 1 t/m 50Bewerken