Projectie (wiskunde)

Projectie in de meetkunde is een bepaald soort transformatie, waarbij een hogerdimensionale ruimte tot een lagerdimensionale ruimte terug wordt gebracht. De meetkunde kent verschillende soorten projecties of projectiemethoden.

Evenwijdige projectie

In de vlakke meetkunde definieert men de evenwijdige of parallelle projectie volgens een rechte $A$ op een (niet-parallelle) rechte $B$, genoteerd $\pi _{B}^{A}$ als de afbeelding die met ieder punt $p$ van het vlak het snijpunt $q$ associeert van $B$ met de unieke rechte door $p$ die evenwijdig loopt met $A$.

In de ruimtemeetkunde bestaan twee verschillende veralgemeningen: evenwijdige projectie op een vlak volgens een gegeven richting; evenwijdige projectie op een rechte volgens een gegeven vlakrichting.

In het algemeen, zij $K$ een lichaam (in België: veld) en $0\leq k\leq n$, dan kan men in de $n$-dimensionale vectorruimte $K^{n}$ een evenwijdige projectie definiëren op een $k$-dimensionale deelruimte volgens een $(n-k)$-dimensionale richting, op voorwaarde dat de gegeven deelruimte en de gegeven richting lineair onafhankelijk zijn.

Centrale projectie

In de vlakke meetkunde definieert men de centrale projectie vanuit een punt $o$ op een rechte $B$ (die $o$ mijdt), genoteerd $\pi _{B}^{o}$ als de partiële functie die met ieder punt $p$ van het vlak het snijpunt $q$ associeert van $B$ met de unieke rechte door $p$ en $o$. Deze functie is partieel omdat ze niet gedefinieerd is voor $p=o$.

Ook hier bestaan eenvoudige veralgemeningen in hogere dimensies.

In de projectieve meetkunde zijn evenwijdige en centrale projecties uitingen van hetzelfde begrip, omdat richtingen geïdentificeerd worden met punten "op oneindig".

Oneindige dimensionaliteit

De functionaalanalyse maakt gebruik van evenwijdige projecties in oneindig-dimensionale reële of complexe vectorruimten, bijvoorbeeld Banachruimten. Meestal gaat men daarbij eisen dat de deelvectorruimte waarop geprojecteerd wordt, topologisch gesloten is.

Verzamelingenleer

Met een Cartesisch product wordt een stel projectie-afbeeldingen geassocieerd die elk tupel op een vaste component van dat tupel afbeelden. Zo heeft de productverzameling $A\times B=\{(a,b);a\in A,b\in B\}$ twee projecties $\pi _{A}$ en $\pi _{B}$:

• $\pi _{A}:A\times B\to A:(a,b)\mapsto a$
• $\pi _{B}:A\times B\to B:(a,b)\mapsto b$

Voor een willekeurige familie verzamelingen $(A_{i};i\in I)$ bestaat de productverzameling uit alle afbeeldingen $f$ van $I$ naar de unie van de familie $U_{i\in I}A_{i}$, die iedere $i$ binnen $A_{i}$ afbeelden. De $i$-de projectie is

$\pi _{i}:(\prod _{j\in I}A_{j})\to A_{i}:f\mapsto f(i)$

In de Cartesiaanse meetkunde op $\mathbb {R} ^{2}$ komt deze verzamelingtheoretische definitie neer op evenwijdige projectie met één coördinaat-as op de andere as.