Hoofdmenu openen

Projectie (wiskunde)

geometrisch concept

Projectie in de meetkunde is een bepaald soort transformatie, waarbij een hogerdimensionale ruimte tot een lagerdimensionale ruimte terug wordt gebracht. De meetkunde kent verschillende soorten projecties of projectiemethoden.

Evenwijdige projectieBewerken

In de vlakke meetkunde definieert men de evenwijdige of parallelle projectie volgens een rechte   op een (niet-parallelle) rechte  , genoteerd   als de afbeelding die met ieder punt   van het vlak het snijpunt   associeert van   met de unieke rechte door   die evenwijdig loopt met  .

 

In de ruimtemeetkunde bestaan twee verschillende veralgemeningen: evenwijdige projectie op een vlak volgens een gegeven richting; evenwijdige projectie op een rechte volgens een gegeven vlakrichting.

In het algemeen, zij   een lichaam (in België: veld) en  , dan kan men in de  -dimensionale vectorruimte   een evenwijdige projectie definiëren op een  -dimensionale deelruimte volgens een  -dimensionale richting, op voorwaarde dat de gegeven deelruimte en de gegeven richting lineair onafhankelijk zijn.

Centrale projectieBewerken

In de vlakke meetkunde definieert men de centrale projectie vanuit een punt   op een rechte   (die   mijdt), genoteerd   als de partiële functie die met ieder punt   van het vlak het snijpunt   associeert van   met de unieke rechte door   en  . Deze functie is partieel omdat ze niet gedefinieerd is voor  .

 

Ook hier bestaan eenvoudige veralgemeningen in hogere dimensies.

In de projectieve meetkunde zijn evenwijdige en centrale projecties uitingen van hetzelfde begrip, omdat richtingen geïdentificeerd worden met punten "op oneindig".

Oneindige dimensionaliteitBewerken

De functionaalanalyse maakt gebruik van evenwijdige projecties in oneindig-dimensionale reële of complexe vectorruimten, bijvoorbeeld Banachruimten. Meestal gaat men daarbij eisen dat de deelvectorruimte waarop geprojecteerd wordt, topologisch gesloten is.

VerzamelingenleerBewerken

Met een Cartesisch product wordt een stel projectie-afbeeldingen geassocieerd die elk tupel op een vaste component van dat tupel afbeelden. Zo heeft de productverzameling   twee projecties   en  :

  •  
  •  

Voor een willekeurige familie verzamelingen   bestaat de productverzameling uit alle afbeeldingen   van   naar de unie van de familie  , die iedere   binnen   afbeelden. De  -de projectie is

 

In de Cartesiaanse meetkunde op   komt deze verzamelingtheoretische definitie neer op evenwijdige projectie met één coördinaat-as op de andere as.