Loodrecht (meetkunde)

Met loodrecht werd oorspronkelijk de richting van het schietlood aangeduid (verticaal). Daarvan afgeleid noemt men twee objecten onderling loodrecht als ze elkaar snijden onder een hoek van 90 graden of π/2 radialen, met andere woorden: wanneer er sprake is van een rechte hoek. Zo kunnen twee rechte lijnen, vectoren, vlakken, maar ook een rechte en een vlak e.d. loodrecht op elkaar staan.

Twee loodrechte lijnen

Loodrecht op een vlak

Vectoren

Twee vectoren ${\vec {a}}$, en ${\vec {b}}$, staan bij afspraak loodrecht op elkaar, als hun inwendig product gelijk is aan 0, in formule:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$.

Voor euclidische ruimten en het gebruikelijke inproduct, komt dit overeen met het gewone begrip loodrecht.

Rechten

• Twee rechten in een plat vlak, met ten opzichte van een xy-assenstelsel resp. de richtingscoëfficiënten a en b, staan loodrecht op elkaar, als

$ab=-1$.

Voor de resp. richtingshoeken $\alpha$ en $\beta$ geldt immers: $a=\tan(\alpha )$ en $b=\tan(\beta )$, en $\tan(\alpha )\tan(\beta )=-1$ impliceert dat $\beta =\alpha \pm 90^{\circ }$.

• Twee rechten in een willekeurige euclidische ruimte staan loodrecht op elkaar als de bijbehorende richtingsvectoren onderling loodrecht zijn.

Krommen

Men kan ook spreken van krommen die elkaar loodrecht snijden. Er wordt dan gekeken naar de hoek van de raaklijnen in het snijpunt. Bij cirkels die elkaar snijden zijn de twee hoeken in de twee snijpunt gelijk. Zijn die hoeken beide gelijk aan 90°, dan spreekt men van cirkels die loodrecht op elkaar staan.

Barycentrische coördinaten

Als een lijn l de oneindig verre rechte snijdt in een punt met barycentrische coördinaten (f:g:h), dan snijdt een lijn r loodrecht op l de oneindig verre rechte in het punt

$\left(S_{C}h-S_{B}g:S_{A}f-S_{C}h:S_{B}g-S_{A}f\right)$.

Hierbij is gebruikgemaakt van Conway-driehoeknotatie.

Vlakken

Twee vlakken staan loodrecht op elkaar, als hun normaalvectoren loodrecht op elkaar staan.

Een rechte en een vlak

Een rechte staat, per definitie, loodrecht op een vlak, als ze loodrecht staat op elke rechte in dat vlak. Het vlak staat dan ook loodrecht op die rechte; het is een loodvlak van die rechte.

Er kan evenwel aangetoond worden dat het voldoende is dat de rechte loodrecht staat op twee snijdende rechten in dat vlak.

Die loodrecht op het vlak staande lijn is dan evenwijdig met de normaalvector van dat vlak.

Het vlak dat door het midden van een lijnstuk gaat en loodrecht staat op de drager van dat lijnstuk, is het middelloodvlak van dat lijnstuk.

Drie dimensies

In drie dimensies staat het kruisproduct van twee vectoren loodrecht op elk van die vectoren.