Basis (topologie)

topologie

In de topologie, een tak van de wiskunde, heet een deelverzameling van de topologie van een topologische ruimte een basis van , als voortgebracht wordt door , d.w.z. dat elke open verzameling in de vereniging is van verzamelingen uit .

Een topologie is in veel gevallen een zeer grote familie deelverzamelingen van die moeilijk expliciet te omschrijven is. Door een basis te geven die uit een veel beperkter aantal verzamelingen uit de topologie bestaat, kan toch de topologie vastgelegd worden

DefinitieBewerken

In een topologische ruimte   heet een deelcollectie   van   een basis, als elk element van   de vereniging is van elementen van  . Deze vereniging mag eventueel oneindig of leeg zijn.

VoorbeeldenBewerken

  • De collectie van open intervallen vormt een basis voor de gebruikelijke topologie van  
  • De collectie van open intervallen waarvan de eindpunten breuken zijn, vormt een andere basis voor diezelfde topologie. Deze basis heeft bovendien de handige eigenschap dat ze uit een aftelbaar aantal delen van   bestaat.
  • In een metrische ruimte   vormen de open bollen   een basis voor de metrische topologie. Ook hier kunnen we ons beperken tot bollen waarvan de straal   een rationaal getal (breuk) is, maar de middelpunten   zijn niet altijd aftelbaar.
  • Een topologie is altijd een basis van zichzelf.

EquivalentieBewerken

Twee willekeurig bases   en   van eenzelfde topologie zijn equivalent in de volgende zin:

  • Voor elke   en   is er een  , zodanig dat  
  • Voor elke   en   is er een  , zodanig dat  

Omgekeerd, als twee bases van topologieën aan bovenstaande twee eigenschappen voldoen, dan brengen ze dezelfde topologie voort.

Tweede aftelbaarheidBewerken

Een ruimte die een basis heeft met aftelbaar veel elementen wordt tweedst-aftelbaar genoemd. Tweede aftelbaarheid is een topologisch invariant. Een voorbeeld van een tweedst-aftelbare ruimte is   met de gebruikelijke topologie. Immers de collectie   is een basis en omdat de breuken   aftelbaar zijn, is de basis het ook.

Lokale basisBewerken

Er bestaat ook een lokale versie van het begrip basis:

DefinitieBewerken

Als   een topologische ruimte is en   een element uit  , dan is een lokale basis in  ,  , een deelcollectie van   zodanig dat:

  •   een element is van elk lid van  
  • Elke open verzameling die   bevat, bevat een element van   als deelverzameling.

VoorbeeldenBewerken

  • Als   een reëel getal is, dan is de verzameling   een lokale basis in  .
  • Voor elke metrische ruimte is de verzameling van open ballen rondom   een lokale basis in  . Ook de verzameling open ballen met rationale straal rondom   is een lokale basis in  .
  • Voor elke topologie is de verzameling van open verzamelingen die   bevatten een lokale basis in  .

Eerste aftelbaarheidBewerken

Een topologische ruimte   heet eerst-aftelbaar als er voor elk element   van   een aftelbare lokale basis bestaat. Ook eerste aftelbaarheid is een continu-invariant.

Duidelijk is dat tweede aftelbaarheid eerste aftelbaarheid impliceert. Uit het tweede voorbeeld hierboven volgt tevens dat elke metrische ruimte eerst-aftelbaar is.

Het begrip sigma-lokaal-eindige basis ligt tussen eerste en tweede aftelbaarheid in.

SubbasisBewerken

Niet elke familie van deelverzamelingen van een verzameling   is automatisch de basis van een of andere topologie op  . Een basis   van een topologie voldoet steeds aan de eigenschap dat iedere eindige doorsnede van leden van   geschreven kan worden als vereniging van elementen van  :

 

We kunnen wel iedere willekeurige familie   van delen van   uitbreiden tot een basis door er alle eindige doorsneden aan toe te voegen:

 

DefinitieBewerken

Als   een topologische ruimte is, dan heet een deelcollectie   van   een subbasis voor   als alle eindige doorsnedes van   een basis vormen voor  . Hierbij geldt de gebruikelijke afspraak dat de doorsnede van 0 deelverzamelingen de verzameling   zelf oplevert.

Elke familie deelverzamelingen   van een verzameling   is subbasis van precies één topologie   op  . We noemen dit de topologie voortgebracht door  .

De topologie voortgebracht door   kan ook gekarakteriseerd worden als de kleinste (grofste) topologie op   waarin de leden van   open zijn, of ook nog als de doorsnede van alle topologieën op   waarin de leden van   open zijn.

VoorbeeldenBewerken

De collectie van alle open intervallen in de vorm   en   vormen een subbasis voor de gebruikelijke topologie voor  .

De lege familie brengt de indiscrete topologie   voort.