Indicatorfunctie

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de indicatorfunctie van een deelverzameling, een functie die aangeeft welke elementen tot de deelverzameling behoren en welke niet. In plaats van indicatorfunctie komt ook karakteristieke functie voor, maar dat heeft ook andere betekenissen.

 1
 0
Grafiek van de indicatorfunctie van een tweedimensionale deelverzameling van een vierkant

DefinitieBewerken

Zij   een verzameling en   een deelverzameling van  . De indicatorfunctie van   is de functie   gedefinieerd door:

 

die dus de elementen van   op het getal 1 afbeeldt, en de elementen van het complement van   op het getal 0.   is hier de universele verzameling van de gedefinieerde indicatorfunctie  .

EigenschappenBewerken

Zij   een verzameling en   en   twee deelverzamelingen van  .

  •  
  •  
  •  

VoorbeeldenBewerken

  • Zij   en  , dan is de indicatorfunctie van   bepaald door   en  .
  • De indicatorfunctie van   zelf is voor alle elementen van   gelijk aan 1.
  • De indicatorfunctie van de lege verzameling als deelverzameling van de verzameling   is overal 0.

GebruikBewerken

Er is een bijectie tussen de machtsverzameling van   en de verzameling van alle functies van   naar  , door de indicatorfunctie op iedere deelverzameling van   toe te passen. In het algemeen wordt de verzameling van alle functies tussen twee gegeven verzamelingen   en   genoteerd als  . Dit verklaart waarom de machtsverzameling van   vaak als   genoteerd wordt, als we de verzameling   met het symbool 2 aan te duiden.

Indicatorfuncties vormen een brug om stellingen over reëelwaardige functies op verzamelingen toe te passen. In de maattheorie wordt vaak het omgekeerde toegepast: men bewijst een tamelijk eenvoudige stelling over de maat van een deelverzameling en formuleert daarna een algemene stelling over de integraal van een meetbare functie. Als tussenstap wordt vaak de integraal van een enkelvoudige functie beschouwd, een eindige lineaire combinatie van indicatorfuncties.