Indicatorfunctie

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de indicatorfunctie van een deelverzameling, een functie die aangeeft welke elementen tot de deelverzameling behoren en welke niet.

De grafiek van de indicatorfunctie van een twee-dimensionale deelverzameling van een vierkant.

Vaak wordt als synoniem de term karakteristieke functie gehanteerd, maar deze term heeft ook andere betekenissen.

DefinitieBewerken

Zij   een verzameling en   een deelverzameling van  . De indicatorfunctie van   is de functie   gedefinieerd door:

 

die dus de elementen van   op het getal 1 afbeeldt, en de elementen van het complement van   op het getal 0.

De definitie van de indicatorfunctie hangt niet alleen af van de deelverzameling  , maar ook van de universele verzameling  .

VoorbeeldenBewerken

De indicatorfunctie van   zelf is de constante functie 1.

De indicatorfunctie van de lege verzameling is de constante functie 0.

Zij   en  , dan is de indicatorfunctie van   bepaald door   en  .

De indicatorfunctie van het singleton {0} als deelverzameling van de reële getallen is de Kroneckerdelta  .

ToepassingBewerken

Indicatorfuncties vormen een brug om stellingen over reëelwaardige functies, toe te passen op verzamelingen.

In de maattheorie wordt vaak het omgekeerde toegepast: men bewijst een tamelijk eenvoudige stelling over de maat van een deelverzameling, en men veralgemeent ze tot een stelling over de integraal van een meetbare functie. Als tussenstap wordt vaak de integraal van een enkelvoudige functie beschouwd, d.i. een eindige lineaire combinatie van indicatorfuncties.

Verband met machtsverzamelingBewerken

De machtsverzameling van   staat in een natuurlijk een-eenduidig verband (bijectie) met de verzameling van alle functies van   naar het paar {0,1}, door met iedere deelverzameling van   haar indicatorfunctie te associëren.

In het algemeen wordt de verzameling van alle functies tussen twee gegeven verzamelingen   en   genoteerd als  .

Dit verklaart waarom de machtsverzameling van   vaak als   genoteerd wordt, als we de vrijheid nemen de verzameling {0,1} met het symbool 2 aan te duiden.