Hoofdmenu openen
De blauwe punten vormen een cauchyrij, die oscilleert tussen de twee rode lijnen die naar elkaar toe kruipen

Een cauchyrij, of fundamentaalrij, is in de wiskunde een rij waarvoor geldt dat als men verder in de rij komt, de elementen van de rij willekeurig dicht in elkaars buurt komen te liggen. Intuïtief lijkt dit te betekenen dat de rij convergeert naar een limietwaarde. Dit is vanwege de definitie niet bij iedere cauchyrij het geval, aangezien het punt waarheen de rij lijkt te convergeren niet tot de betrokken verzameling behoeft te behoren. Cauchyrijen zijn als het ware de kandidaten voor convergentie.

De cauchyrij is genoemd naar de Franse wiskundige Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

DefinitieBewerken

Een cauchyrij in een metrische ruimte   met afstandsfunctie of metriek   is een rij   in  , die voldoet aan de volgende voorwaarde:

Voor elk reëel getal   bestaat er een natuurlijk getal   zodanig dat voor alle natuurlijke getallen   en   die groter zijn dan  , geldt dat  .

Deze definitie zegt in woorden dat hoe klein   ook gekozen wordt, er altijd een punt in de rij te vinden is van waaraf de afstand tussen twee willekeurige elementen altijd kleiner is dan  .

Iedere convergente rij is een cauchyrij en iedere cauchyrij is begrensd.

Voorbeeld van een rij, die geen cauchyrij isBewerken

Voor een cauchyrij heeft de afstand tussen twee opeenvolgende elementen, als punten in  , als limietwaarde 0, maar dit is niet een voldoende voorwaarde om een cauchyrij te zijn, zoals blijkt uit het volgende tegenvoorbeeld.

Voor de rij met   geldt  

De rij is echter geen cauchyrij, aangezien  ,

dus hoe groot   bij een gegeven   ook gekozen wordt, er is altijd een   te vinden waarvoor  .

Voor de elementen   van de rij geldt dat deze voor voldoend grote   groter worden dan elk willekeurig getal  . De limiet van de rij   is  .

Voorbeeld van een niet-convergente cauchyrijBewerken

De rij   is gedefinieerd als de opeenvolgende decimale benaderingen van  :

 

De rij is:

 
 
 
 
 
 
 

enzovoort.

De rij   is een cauchyrij met elementen in  . In   convergeert   naar  , maar in   is   niet convergent.   is geen element van  .[1] Niet iedere cauchyrij is in   dus convergent.

Volledige metrische ruimteBewerken

Het begrip cauchyrij speelt een rol in de definitie van een volledige metrische ruimte. In iedere metrische ruimte is iedere convergente rij tevens een cauchyrij. Een metrische ruimte   wordt volledig genoemd als ook omgekeerd iedere cauchyrij, die binnen die verzameling kan worden gedefinieerd, convergeert. De bijbehorende limietwaarde moet dus ook binnen die verzameling liggen. Het bekendste voorbeeld hiervan zijn de reële getallen. De verzameling   van de reële getallen is gedefinieerd als de kleinste volledige metrische ruimte, die de verzameling   van de rationale getallen bevat. In   is elke cauchyrij dus convergent.

Een van de manieren om de reële getallen uit de rationale getallen te construeren is als de verzameling equivalentieklassen van cauchyrijen in  , waarbij twee rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.

Cauchyrij in een topologische vectorruimteBewerken

Een topologische vectorruimte is een reële of complexe vectorruimte, uitgerust met een topologie die de hausdorff-eigenschap bezit en die de klassieke vectorbewerkingen continu maakt.

Een dergelijke topologie is niet altijd afkomstig van een metriek, maar toch kan het begrip cauchyrij veralgemeend worden. Elke topologische vectorruimte heeft in ieder punt een aftelbare lokale basis. Zij

 

een dergelijke lokale basis voor de nulvector. Een rij vectoren

 

heet cauchyrij als er voor elke   een natuurlijk getal   bestaat zodat voor alle natuurlijke getallen   en   die groter dan   zijn, geldt dat

 

Het is niet moeilijk aan te tonen dat deze definitie onafhankelijk is van de gekozen aftelbare basis.

Gelijkwaardigheid van de definitiesBewerken

Een metriek op een topologische vectorruimte heet translatie-invariant, als de afstanden tussen vectoren niet wijzigen onder invloed van een willekeurige verschuiving:

 

Als de topologie van   afkomstig is van een translatie-invariante metriek, dan valt de "topologische" definitie van een cauchyrij samen met de "metrische" definitie. In het bijzonder geldt dat alle verschillende translatie-invariante metrieken die dezelfde topologische vectorruimte voortbrengen, dezelfde cauchyrijen hebben.