Cauchyrij
Een cauchyrij, of fundamentaalrij, is in de wiskunde een rij waarvoor geldt dat als men verder in de rij komt, de elementen van de rij willekeurig dicht in elkaars buurt komen te liggen. Intuïtief lijkt dit te betekenen dat de rij convergeert naar een limietwaarde. Dit is vanwege de definitie niet bij iedere cauchyrij het geval, aangezien het punt waarheen de rij lijkt te convergeren niet tot de betrokken verzameling behoeft te behoren. Cauchyrijen zijn als het ware de kandidaten voor convergentie.
De cauchyrij is genoemd naar de Franse wiskundige Augustin Louis Cauchy (1789-1857).
Definitie
bewerkenEen cauchyrij in een metrische ruimte met afstandsfunctie of metriek is een rij in , die voldoet aan de volgende voorwaarde:
Voor elk reëel getal bestaat er een natuurlijk getal zodanig dat voor alle natuurlijke getallen en die groter zijn dan , geldt dat .
Deze definitie zegt in woorden dat hoe klein ook gekozen wordt, er altijd een punt in de rij te vinden is van waaraf de afstand tussen twee willekeurige elementen altijd kleiner is dan .
Iedere convergente rij is een cauchyrij en iedere cauchyrij is begrensd.
Voorbeeld van een rij, die geen cauchyrij is
bewerkenVoor een cauchyrij heeft de afstand tussen twee opeenvolgende elementen, als punten in , als limietwaarde 0, maar dit is niet een voldoende voorwaarde om een cauchyrij te zijn, zoals blijkt uit het volgende tegenvoorbeeld.
Voor de rij met geldt
De rij is echter geen cauchyrij, aangezien ,
dus hoe groot bij een gegeven ook gekozen wordt, er is altijd een te vinden waarvoor .
Voor de elementen van de rij geldt dat deze voor voldoend grote groter worden dan elk willekeurig getal . De limiet van de rij is .
Voorbeeld van een niet-convergente cauchyrij
bewerkenDe rij is gedefinieerd als de opeenvolgende decimale benaderingen van :
De rij is:
enzovoort.
De rij is een cauchyrij met elementen in . In convergeert naar , maar in is niet convergent. is geen element van .[1] Niet iedere cauchyrij is in dus convergent.
Volledige metrische ruimte
bewerkenHet begrip cauchyrij speelt een rol in de definitie van een volledige metrische ruimte. In iedere metrische ruimte is iedere convergente rij tevens een cauchyrij. Een metrische ruimte wordt volledig genoemd als ook omgekeerd iedere cauchyrij, die binnen die verzameling kan worden gedefinieerd, convergeert. De bijbehorende limietwaarde moet dus ook binnen die verzameling liggen. Het bekendste voorbeeld hiervan zijn de reële getallen. De verzameling van de reële getallen is gedefinieerd als de kleinste volledige metrische ruimte, die de verzameling van de rationale getallen bevat. In is elke cauchyrij dus convergent.
Een van de manieren om de reële getallen uit de rationale getallen te construeren is als de verzameling equivalentieklassen van cauchyrijen in , waarbij twee rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Cauchyrij in een topologische vectorruimte
bewerkenEen topologische vectorruimte is een reële of complexe vectorruimte, uitgerust met een topologie die de hausdorff-eigenschap bezit en die de klassieke vectorbewerkingen continu maakt.
Een dergelijke topologie is niet altijd afkomstig van een metriek, maar toch kan het begrip cauchyrij veralgemeend worden. Elke topologische vectorruimte heeft in ieder punt een aftelbare lokale basis. Zij
een dergelijke lokale basis voor de nulvector. Een rij vectoren
heet cauchyrij als er voor elke een natuurlijk getal bestaat zodat voor alle natuurlijke getallen en die groter dan zijn, geldt dat
Het is niet moeilijk aan te tonen dat deze definitie onafhankelijk is van de gekozen aftelbare basis.
Gelijkwaardigheid van de definities
bewerkenEen metriek op een topologische vectorruimte heet translatie-invariant, als de afstanden tussen vectoren niet wijzigen onder invloed van een willekeurige verschuiving:
Als de topologie van afkomstig is van een translatie-invariante metriek, dan valt de "topologische" definitie van een cauchyrij samen met de "metrische" definitie. In het bijzonder geldt dat alle verschillende translatie-invariante metrieken die dezelfde topologische vectorruimte voortbrengen, dezelfde cauchyrijen hebben.