Producttopologie

In de topologie, een tak van de wiskunde, is de producttopologie een topologische structuur op het cartesisch product van topologische ruimten.

Eenvoudig gevalBewerken

Laat   en   twee topologische ruimten zijn. De producttopologie van het cartesisch product   is de topologie voortgebracht door producten van open delen van   en van  . Dat wil zeggen

 

is een subbasis voor de producttopologie, d.w.z. brengt de producttopologie voort.

DefinitieBewerken

Voor het cartesische product

 

van de verzamelingen uit de familie topologische ruimten

 

is de producttopologie de kleinste topologie die alle projectie-afbeeldingen

 

continu maakt. Het is dus de initiale topologie van de projecties.

VoorbeeldenBewerken

De producttopologie op   van   keer de gewone topologie op   is dezelfde als de topologie van de Euclidische afstandsfunctie op  .

De verzameling van alle reële afbeeldingen   kan worden opgevat als het oneindig Cartesisch product  . De producttopologie is de topologie van puntsgewijze convergentie, dat wil zeggen dat een rij reële functies   in deze topologie convergeert als en slechts als hun waarden in ieder punt   afzonderlijk convergeren, en de functiewaarde van de limietfunctie is de limiet van de functiewaarden:

 

Product van compacte ruimtenBewerken

De stelling van Tychonov luidt dat elk product van compacte topologische ruimten compact is. Voor een product van een eindig aantal ruimten is dit elementair, maar de stelling blijft geldig voor oneindige producten. Het bewijs hangt cruciaal af van het keuzeaxioma en de stelling is er zelfs mee gelijkwaardig.

VoorbeeldBewerken

De ruimte van alle afbeeldingen van het gesloten interval   naar zichzelf, met de topologie der puntsgewijze convergentie, is compact.

ToepassingBewerken

De Stone-Čech-compactificatie is een constructie die willekeurige T3.5-ruimten uitbreidt tot compacte ruimten door ze in te bedden in een meervoudig Cartesisch product van het gesloten interval [0,1] met zichzelf.