In de topologie, een tak van de wiskunde, is de producttopologie een topologische structuur op het cartesisch product van topologische ruimten.

Eenvoudig geval bewerken

Laat   en   twee topologische ruimten zijn. De producttopologie van het cartesisch product   is de topologie voortgebracht door producten van open delen van   en van  . Dat wil zeggen

 

is een subbasis voor de producttopologie, d.w.z. brengt de producttopologie voort.

Definitie bewerken

Voor het cartesische product

 

van de verzamelingen uit de familie topologische ruimten

 

is de producttopologie de kleinste topologie die alle projectie-afbeeldingen

 

continu maakt. Het is dus de initiale topologie van de projecties.

Voorbeelden bewerken

De producttopologie op   van   keer de gewone topologie op   is dezelfde als de topologie van de Euclidische afstandsfunctie op  .

De verzameling van alle reële afbeeldingen   kan worden opgevat als het oneindig Cartesisch product  . De producttopologie is de topologie van puntsgewijze convergentie, dat wil zeggen dat een rij reële functies   in deze topologie convergeert dan en slechts dan als hun waarden in ieder punt   afzonderlijk convergeren, en de functiewaarde van de limietfunctie is de limiet van de functiewaarden:

 

Product van compacte ruimten bewerken

De stelling van Tychonov luidt dat elk product van compacte topologische ruimten compact is. Voor een product van een eindig aantal ruimten is dit elementair, maar de stelling blijft geldig voor oneindige producten. Het bewijs hangt cruciaal af van het keuzeaxioma en de stelling is er zelfs mee gelijkwaardig.

Voorbeeld bewerken

De ruimte van alle afbeeldingen van het gesloten interval   naar zichzelf, met de topologie der puntsgewijze convergentie, is compact.

Toepassing bewerken

De Stone-Čech-compactificatie is een constructie die willekeurige T3.5-ruimten uitbreidt tot compacte ruimten door ze in te bedden in een meervoudig Cartesisch product van het gesloten interval [0,1] met zichzelf.