Kern (algebra)

algebra

De kern of nulruimte van een lineaire afbeelding is het deel van het domein dat op de nulvector wordt afgebeeld. Zoals de naam nulruimte al suggereert, is die kern zelf een lineaire deelruimte van het domein.

In de lineaire algebra beeldt een lineaire afbeelding een ruimte met een zekere dimensie af in een andere ruimte. Daarbij hoeft de dimensie van het beeld niet gelijk te zijn aan de dimensie van het domein, maar kan kleiner zijn. Er zijn "dimensies verdwenen". De oorzaak daarvan is dat een deel van het domein op de nulvector wordt afgebeeld. Dat deel is een lineaire deelruimte van het domein en wordt de kern of nulruimte van de lineaire afbeelding genoemd.

DefinitieBewerken

De kern of nulruimte van een lineaire afbeelding   is de verzameling van alle vectoren uit   die onder   op de nulvector van   worden afgebeeld:

 

De kern is een lineaire deelruimte van  .

Voor matrices is de kern op dezelfde manier gedefinieerd. Het is de kern van de als lineaire afbeelding opgevatte matrix, dus:

De kern van een matrix   is de verzameling van vectoren   waarvoor geldt dat  

 

De nulruimte van een lineaire afbeelding wordt in sommige werken ook met   aangeduid, "ker" is afkomstig van een afkorting voor het Engelse kernel.

VoorbeeldBewerken

De loodrechte projectie van de 'gewone' driedimensionale euclidische ruimte   op het  -vlak is een lineaire afbeelding. Het domein is de gehele ruimte  , maar het beeld is alleen het  -vlak, dus tweedimensionaal. De kern van deze afbeelding is de  -as, die in zijn geheel op de oorsprong (nulvector) van   wordt afgebeeld.

NulliteitBewerken

De nulliteit   van een lineaire afbeelding of matrix is de dimensie van de kern van die lineaire afbeelding of matrix. Intuïtief is dit begrip als volgt te duiden: een matrix die uit niets anders dan nullen bestaat, heeft meer nulliteit dan een matrix waarvan de determinant nul is, maar waarvan alle minoren verschillend van nul zijn.

Andere betekenisBewerken

De operatorentheorie hanteert een andere betekenis voor de term kern, zie gesloten operator.

Zie ookBewerken