Ring van de gehele getallen

In de algebraïsche getaltheorie is de ring van de gehele getallen de verzameling van gehele getallen, die tot een algebraïsche structuur , uitgerust met de operaties van optelling, aftrekken en vermenigvuldiging, is gemaakt. De ring van de gehele getallen is een commutatieve ring.

Meer in het algemeen is de ring van gehele getallen van een algebraïsch getallenlichaam , vaak aangeduid met of met , de ring van algebraïsche gehele getallen in .

Door gebruik te maken van deze notatie, kunnen we schrijven, dit aangezien , zoals hierboven, de ring van gehele getallen van het lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) van de rationale getallen is. Inderdaad worden in de algebraïsche getaltheorie de elementen van daarom vaak de rationale gehele getallen genoemd.

De ring van gehele getallen is een -moduul. Meer specifiek is deze ring een vrij -moduul en heeft zij dus een basis, waarmee bedoeld wordt dat er een bestaat, de basis, zodanig dat ieder element in op unieke wijze kan worden weergegeven als

met . De rang van als een vrij -moduul is gelijk aan de graad van over .

Ringen van gehele getallen in getallenlichamen zijn Dedekind-ringen.

Voorbeelden

bewerken

Indien   een  -de eenheidswortel en   het corresponderende cyclotomische lichaam/veld is, dan wordt een basis van   gegeven door  .

Als   een kwadratisch lichaam (Ned) / veld (Be) is, wordt een basis van   gegeven door   als  , dus met rekenen modulo 4, en door   als  .

De ring van p-adische getallen   is de ring van gehele getallen van een  -adisch getal  .