Hoofdmenu openen

In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een nevenklasse binnen een groep een deelverzameling of van , die bestaat uit de producten van een element en de elementen van een ondergroep van . De nevenklasse van ten opzichte van heet linkernevenklasse en de nevenklasse rechternevenklasse. Nevenklassen zijn equivalentieklassen en vormen als zodanig een partitie van de groep. Het aantal elementen in een nevenklasse of is gelijk aan het aantal elementen van de ondergroep zelf.

DefinitieBewerken

Zij   een groep,   een ondergroep van   en   een element van  .

De linkernevenklasse   van   ten opzichte van   is de verzameling producten van elementen van  , links samengesteld met  :

 .

De verzameling van alle linkernevenklassen van   in   noteert men gewoonlijk als  .

De rechternevenklasse   van   ten opzichte van   is de verzameling producten van elementen van  , rechts samengesteld met  :

 .

De verzameling van alle rechternevenklassen van   in   noteert men gewoonlijk als  

EquivalentierelatieBewerken

Twee elementen   en   van de groep   zijn equivalent als ze tot dezelfde nevenklasse   behoren.

  als voor een  :  .

Dit komt erop neer dat er een   is zodanig dat:

 .

De linkernevenklassen zijn dus de equivalentieklassen van deze relatie.

CommutativiteitBewerken

In een abelse groep zijn linker- en rechternevenklassen gelijk. In een niet-abelse groep kunnen linker- en rechternevenklassen verschillen. De normalisator van   in   is de verzameling elementen van   waarvoor de betrokken linker- en rechternevenklasse identiek zijn.

Als de linker-en rechternevenklassen van een ondergroep   identiek zijn voor alle elementen van  , heet   een normaaldeler van   en spreekt men kortweg van nevenklassen. In dat geval kan   ook uitgerust worden met een groepsbewerking en wordt de factorgroep van   over   genoemd.

In een abelse groep zijn alle ondergroepen normaaldelers.

VoorbeeldenBewerken

Voorbeeld in een abelse groepBewerken

Beschouw de veelvouden van 8 als ondergroep van de gehele getallen met de gewone optelling:

 

De nevenklasse van het getal 35 bestaat uit alle veelvouden van 8, plus 3:

 

Het is de restklasse van 3 (en van 35) bij deling door 8.

Voorbeeld in een niet-abelse groepBewerken

Beschouw de groep SO(3) der rotaties van de reële driedimensionale ruimte. Dit is een Lie-groep, maar in dit voorbeeld speelt slechts de algebraïsche structuur een rol. Beschouw een orthonormaal coördinatenstelsel   en noem   de ondergroep van   die bestaat uit de rotaties om de  -as. Noem   de rotatie over een rechte hoek om de  -as die de  -as op de  -as afbeeldt, met behoud van de positieve oriëntatie.

De linkernevenklasse   bestaat uit alle rotaties die de  -as met behoud van oriëntatie op de  -as afbeelden. De rechternevenklasse   bestaat uit alle rotaties die de  -as met omkering van de oriëntatie op de  -as afbeelden. Beide nevenklassen zijn van elkaar verschillend en hebben zelfs maar één element gemeenschappelijk, namelijk   zelf.

De ondergroep   is geen normaaldeler van  . De normalisator van   in   is   zelf.

CardinaliteitBewerken

De samenstelling met een vast element   is een permutatie van  , dus alle nevenklassen van   hebben evenveel elementen als   zelf.

De verschillende linkernevenklassen van   zijn onderling disjunct.

Uit het bovenstaande volgt voor eindige groepen de stelling van Lagrange over de orde, het aantal elementen, van een ondergroep:

De orde van   is het product van de orde van   en het aantal linkernevenklassen van   in  .

Uiteraard gelden gelijksoortige conclusies voor de rechternevenklassen.