Hoofdmenu openen
Een verzameling in het vlak is een omgeving van een punt , wanneer een infinitesimaal kleine schijf rondom deel uitmaakt van

In de topologie en aanverwante deelgebieden van de wiskunde is een omgeving een van de basisconcepten voor een topologische ruimte. Het geeft een abstracte en precieze betekenis aan het begrip "dichtbij". Intuïtief gesproken is een omgeving van een punt een verzameling die dit punt omvat, en waarbij men vanuit dit punt infinitesimaal kleine verplaatsingen kan doen zonder deze verzameling te verlaten. Het punt ligt niet op de rand van de verzameling.

Het begrip omgeving is nauw gerelateerd aan de begrippen:

Een verzameling is open als en slechts als ze een omgeving is van elk van haar punten.

DefinitieBewerken

Als   een topologische ruimte en   een punt in   is, dan is een omgeving van   een verzameling  , die een open verzameling   bevat, die op zijn beurt punt   bevat,

 

Dit is ook equivalent aan dat   een inwendig punt voor   is.

Merk op dat de omgeving   niet zelf een open omgeving hoeft te zijn. Als   open is dan wordt   een open omgeving genoemd. Sommige auteurs vereisen dat omgevingen open dienen te zijn, vandaar dat het belangrijk is om de conventies op te merken.

Een verzameling die een omgeving is van elk van haar punten is open, aangezien deze verzameling kan worden uitgedrukt als een vereniging van open verzamelingen die elk van punten in de verzameling bevatten.

De collectie van alle omgevingen van een punt noemt men het omgevingssysteem van dat punt.

Als   een deelverzameling van   is, dan is een omgeving van   een verzameling   die een open verzameling   bevat die op zijn beurt weer   bevat. Hieruit volgt dat een verzameling   een omgeving van   is dan en slechts dan als het een omgeving is van alle punten in  . Verder volgt hieruit dat   een omgeving is van   dan en slechts dan als   een deelverzameling van het inwendige van   is.

In een metrische ruimteBewerken

 
Een verzameling   in het vlak en een uniforme omgeving   van  .

In een metrische ruimte   is een verzameling   een omgeving van een punt   als er een open bal met centrum   en straal   bestaat, zodanig dat

 

is vervat in  

V wordt wel een uniforme omgeving van een verzameling   genoemd, indien er een positief getal   bestaat, zodanig dat voor alle elementen   van   geldt dat,

 

is vervat in  

Voor   is de  -omgeving   van een verzameling   de verzameling van alle punten in   die op een afstand minder dan   van   (of equivalent,   is de vereniging van alle open ballen van straal   die zijn gecentreerd op een punt in  ).

Hieruit volgt rechtstreeks dat een  -omgeving een uniforme omgeving is, en dat een verzameling een uniforme omgeving is dan en slechts dan als de verzameling een  -omgeving bevat voor enige waarde van  

VoorbeeldenBewerken

Gegeven de verzameling van de reële getallen   met de gebruikelijke Euclidische metriek en een deelverzameling   gedefinieerd als

 

dan is   een omgeving voor de verzameling   van de natuurlijke getallen, maar is   geen uniforme omgeving van deze verzameling.

De topologie van omgevingenBewerken

Bovenstaande definitie komt van pas als de notie van een open verzameling al is gedefinieerd. Er is echter een alternatieve manier om een topologie te definiëren, namelijk door eerst het omgevingssysteem te definiëren, en vervolgens open verzamelingen te definiëren als die verzamelingen die een omgeving van elk van hun punten bevatten.

Een omgevingssysteem op   de toekenning is van een filter   (op de verzameling  ) aan elke   in   zodanig dat

  1. het punt   een element is van elke   in  
  2. elke   in   enige   in   bevat, zodanig dat voor elke  ,   deel uitmaakt van  

Men kan laten zien dat beide definities compatibel zijn, dat wil zeggen dat de topologie die wordt verkregen uit het omgevingssysteem dat is gedefinieerd door gebruik te maken van open verzamelingen de oorspronkelijk is en vice versa wanneer men start vanuit het omgevingssysteem.

Uniforme omgevingenBewerken

In een uniforme ruimte   wordt   een uniforme omgeving van   genoemd, als   niet dichtbij   ligt, dat wil zeggen dat er geen entourage bestaat die   en   bevat.

Geperforeerde omgevingBewerken

Een geperforeerde omgeving van een punt   (soms ook een verwijderde omgeving genoemd) is een omgeving van  , zonder   Het interval   is bijvoorbeeld een omgeving van 0 op de reële lijn, zodanig dat de verzameling   een geperforeerde omgeving van 0 is. Merk op dat een geperforeerde omgeving van een gegeven punt in feite geen omgeving van dat punt is.

Overige eigenschappenBewerken

In de gewone topologie op de reële getallen is een verzameling,   een omgeving van een getal   dan en slechts dan als de afstand van dat getal tot het complement van   strikt positief is. Deze eigenschap geldt in willekeurige metrische ruimten.

In een  -ruimte (zie scheidingsaxioma) is   het enige punt dat tot alle omgevingen van   behoort. Deze eigenschap is kenmerkend voor  -ruimten.

Een punt   behoort tot de topologische sluiting van een verzameling   als en slechts als   alle omgevingen van   snijdt.

OmgevingenfilterBewerken

De verzameling   van alle omgevingen van een gegeven punt   vormt een filter:

  1. Ze is niet leeg, want de ruimte   behoort ertoe;
  2. ze bevat niet alle deelverzamelingen van  , want omgevingen van   moeten minstens   zelf bevatten;
  3. de doorsnede van twee omgevingen van   is een omgeving van  ;
  4. een uitbreiding van een omgeving van   is een omgeving van  .

Men noemt   het omgevingenfilter van