Faculteit (wiskunde)

wiskundige functie
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000

De faculteit van een natuurlijk getal , genoteerd als en uitgesproken als faculteit, is het product van de getallen tot en met . Een belangrijke toepassing van de faculteit is in de combinatoriek, als antwoord op de vraag op hoeveel manieren elementen kunnen worden gerangschikt. Zo'n rangschikking heet een permutatie en daarvan zijn er . Met behulp van dit resultaat worden ook de aantallen variaties en combinaties afgeleid. De faculteitsfunctie groeit snel, op den duur zelfs sneller dan een exponentiële functie. De eerste waarden voor tot en met 20 staan hiernaast.

Definitie

bewerken

De faculteit   van het natuurlijke getal   is

 

Recursief geldt dus voor de faculteit:

 

Voor bijvoorbeeld   is:

 

Het is afgesproken dat

 

Benaderingen

bewerken
 

Formule van Stirling

bewerken

Voor grote waarden van   kan de faculteit van dat getal met de formule van Stirling worden benaderd:

 

De benadering is voor kleine waarden van   onnauwkeurig, voor   bijvoorbeeld is  , maar  

De formule wordt veel in de statistische natuurkunde toegepast, waar   het aantal deeltjes is en het verschil tussen de echte waarde en de benadering met de formule van Stirling kan worden verwaarloosd. Onder staat een tabel met daarin voor een aantal waarden van  , de waarde voor   en de benadering volgens Stirling.

Gammafunctie

bewerken

De gammafunctie

 

is voor gehele getallen de faculteit, maar dan één verschoven:

 

De gammafunctie is voor alle complexe getallen gedefinieerd, met uitzondering van de negatieve gehele getallen  .

    Stirling
10 3 628 800 3 598 695,624
20 0,24329 · 1019 0,2422 · 1019
30 0,26525 · 1033 0,2645 · 1033
40 0,8159 · 1048 0,8142 · 1048
50 0,3041 · 1065 0,3036 · 1065
100 0,9333 · 10158 0,9325 · 10158
1000 4,024 · 102567 4,024 · 102567
10 000 2,846 · 1035 659 2,846 · 1035 659

Algoritme

bewerken

Het onderstaande algoritme geschreven in Python berekent van een ingevoerd getal de faculteit.

getal = int(input())
fac = getal
while (getal > 2):
    getal -= 1 #getal = getal -1
    fac *= getal #fac = fac * getal

print("De faculteit van het ingevoerde getal is: ",fac)

Variaties

bewerken

Websites

bewerken