Hoofdmenu openen

Twee lijnen in het platte vlakBewerken

 
Figuur 1. Afstand tussen twee evenwijdige lijnen

Evenwijdige lijnen zijn, in het euclidische vlak (tweedimensionaal), rechte lijnen die geen gemeenschappelijk punt – geen snijpunt – hebben.

Als in het platte vlak twee evenwijdige lijnen worden getekend (zie figuur 1), dan wordt daarmee dat vlak in drie stukken verdeeld: twee stukken die erg veel op elkaar lijken en een strook tussen die lijnen. Als nu op die strook een rechthoek(je)   wordt geplaatst met   op   en   op  , dan past die rechthoek precies tussen de lijnen, en wel op alle plaatsen, mits   op de lijn   en   op de lijn   blijven liggen. Dat is ook het geval als de lijnen oneindig lang zijn. Daaruit blijkt dat de lijnen onmogelijk een snijpunt kunnen hebben. De breedte van de strook – dat is de lengte van het lijnstukje   – is de afstand tussen de lijnen  .

De breedte van de strook tussen de lijnen   en   verandert niet, de strook is overal even breed.

Als eerst het rechthoekje wordt neergelegd met een korter lijnstuk   en vervolgens worden de lijnen getekend, dan wordt de strook natuurlijk steeds smaller. Als bij herhaling daarvan   uiteindelijk op   komt te liggen, ligt tegelijk ook   op  .

Voor de ligging van twee lijnen in een plat vlak zijn er dan, zo bekeken, drie mogelijkheden. Ze hebben:

  • twee punten gemeenschappelijk – ze vallen samen;
  • een punt gemeen – ze snijden elkaar;
  • geen punten gemeen – ze zijn evenwijdig.

In de meetkunde is het axioma dat er door twee verschillende punten precies één rechte lijn gaat. Hebben twee rechte lijnen twee punten gemeen, dan hebben ze alle punten gemeen.

Bij meetkundig onderzoek moet redelijk vaak van twee lijnen worden aangetoond dat ze evenwijdig zijn of juist niet. Om zo'n bewijs zo eenvoudig mogelijk te laten verlopen is het handig bij dat bewijs bovenstaande definitie voor evenwijdigheid te gebruiken.

Twee lijnen in de ruimteBewerken

 
Figuur 2. Kruisende lijnen

In de euclidische ruimte (driedimensionaal) liggen twee evenwijdige lijnen in eenzelfde vlak. Is dat niet het geval, dan zijn die lijnen kruisend.

Als in de ruimte twee lijnen   in hetzelfde vlak liggen (zie in figuur 2 het vlak  , dat evenals   ook oneindig groot is), dan is de ligging van die lijnen identiek aan de beschreven situatie in de vlakke meetkunde: er is ook zo'n strook in vlak  , tussen de gestippelde lijn   en de lijn  . Er zijn in dat geval weer drie mogelijkheden: samenvallen (2), snijden (1), evenwijdig (0) – tussen haakjes staat het aantal gemeenschappelijke punten van die lijnen. En dat aantal is gelijk aan het aantal gemeenschappelijke punten van   met het vlak  , immers   ligt in  .

Er is echter nog een mogelijkheid. Met   op de lijn   wordt   vanuit de evenwijdige positie in het vlak   gedraaid om  . Dan ligt het snijpunt   van de lijnen in   (namelijk steeds op  ). Maar als vervolgens (dus daarna) het punt   verplaatst wordt naar een positie voor   of achter   (  en   in de figuur), waarbij de lijn   onveranderd in de bereikte positie meegaat (het vlak   blijft op z'n plaats), dan snijden   of   de lijn   al niet meer bij een kleine verplaatsing van  , en zo'n verplaatste lijn ligt dan ook niet meer met   in eenzelfde vlak. Evenwel, de verplaatste lijn   snijdt nog steeds het vlak  . In deze situatie kruisen de verplaatste lijn   en   elkaar; zie de punten   en   in het vlak  .

Lijn evenwijdig met vlak, vlak evenwijdig met vlakBewerken

Per definitie geldt ook:

(a) een lijn is evenwijdig met een vlak als die lijn en dat vlak geen punt gemeen hebben;
(b) twee vlakken zijn evenwijdig als ze geen punt gemeen hebben.

Om min of meer gelijkluidende definities te krijgen bij het snijden van lijnen en vlakken (en ook omdat het handig en verstandig is bij bewijzen) is ook bij   gekozen voor dan hebben   geen punt gemeen (geen gemeenschappelijke punten). Als ze niet evenwijdig zijn, hebben ze dus 1, 2, 3, ... punten gemeenschappelijk. De wiskunde (stereometrie) maakt het ook in dit geval makkelijk via enkele axioma's namelijk:

(a) als   drie niet op dezelfde lijn gelegen punten gemeen hebben, dan vallen   en   samen;
Hiermee is ook het aantal van 4, 5, ... niet collineaire gemeenschappelijke punten afgehandeld.
(b) als   twee gemeenschappelijke punten hebben, dan hebben ze de lijn door die twee punten gemeenschappelijk (ze snijden elkaar en de lijn is de snijlijn van beide vlakken);
(c) als   precies één gemeenschappelijk punt hebben, dan hebben ze ook een tweede punt gemeenschappelijk (en zie dan weer geval b; ze snijden elkaar).

  betekent: de lijnen   zijn evenwijdig of: de lijn   is evenwijdig met de lijn  . Het teken   heeft dezelfde betekenis bij lijn   vlak en vlak   vlak.

VoorbeeldenBewerken

Tweedimensionaal
  • twee lijnen die loodrecht staan op dezelfde rechte lijn, zijn evenwijdig (stelling);
  • de lijn door de middens van twee zijden van een driehoek is evenwijdig met de (drager van de)[1] derde zijde van die driehoek (stelling);
  • de (dragers van de) zijden van een parallellogram zijn twee aan twee evenwijdig (definitie); en daarmee ook, twee aan twee, de zijden van een rechthoek en een vierkant;
  • een regelmatige zeshoek heeft drie paar evenwijdige zijden (stelling);
  • (buiten de wiskunde) de notenbalk op muziekpapier.

 
Figuur 3. Evenwijdigheid wordt in figuren soms benadrukt met pijlen

Driedimensionaal
  • twee lijnen die loodrecht staan op hetzelfde vlak, zijn evenwijdig (stelling);
  • de (dragers van de) ribben van een prisma zijn evenwijdig (definitie) en daarmee ook de ribben van de lichamen blok en balk;
  • de beschrijvenden van een cilindervlak zijn evenwijdig (definitie);
  • bij een rechte cirkelcilinder zijn de doorsneden van het cilindervlak met een vlak loodrecht op de as evenwijdige cirkels (stelling);
  • de zijvlakken van een kubus zijn twee aan twee evenwijdig.
  • (buiten de wiskunde): buiten- en binnenmuur van een gebouw, glasplaten bij dubbelglas; schappen in een boekenkast.

Twee eigenschappenBewerken

 
Figuur 4. Lengte van het loodrechte verbindingslijnstuk
 
Figuur 5. Lijn evenwijdig met een vlak
  • De lengte van het loodrechte verbindingslijnstuk van een punt van lijn met een punt van een daarmee evenwijdige lijn is voor alle punten van die lijn gelijk (informeel: twee evenwijdige lijnen hebben overal dezelfde afstand).

In figuur 4 zijn de lijnen   evenwijdig.   is een punt van   en   is een willekeurig ander punt van  ;   zijn de loodrechte projecties van   op  .   zijn de onderlinge loodrechte verbindingslijnstukken. Nu is vierhoek   een rechthoek, zodat  . Hetgeen moest worden aangetoond.

Deze eigenschap biedt de mogelijkheid om ook samenvallende lijnen evenwijdig te noemen, hun afstand is overal gelijk aan nul.

  • Een lijn   die evenwijdig is met een vlak  , is evenwijdig met een lijn   in  .

In figuur 5 is   een vlak door   dat   snijdt. De snijlijn van   en   is  . Omdat   is, heeft   geen punt gemeen met  .   heeft dus ook geen punt gemeen met   (hier wordt dus de definitie gebruikt), maar   ligt wel met   in hetzelfde vlak  . Dus  .

Berekenen van de afstandBewerken

Hebben de evenwijdige lijnen   in een standaard  -assenstelsel de vergelijkingen

 

dan kan de lengte   ( ) van een loodrecht verbindingslijnstuk, worden berekend. De coördinaten van de eindpunten   van zo'n lijnstuk zijn de oplossingen van de stelsels vergelijkingen:

 

De tweede vergelijking van elk stelsel is de vergelijking van de door het punt   gaande drager van het loodlijnstuk.

De oplossingen zijn:

 

Bijgevolg:

 

In de vergelijkingen van de lijnen   hierboven is het getal   – de vermenigvuldigingsfactor van   – de richtingscoëfficiënt:   bepaalt de richting van de lijnen. De lijnen hebben dus dezelfde richting, of anders gezegd:  . Als   is, vallen de lijnen samen, immers uit de formule voor   volgt dan  . Hiermee wordt duidelijk dat samenvallende rechte lijnen kunnen worden beschouwd als zijnde evenwijdig.

BijzonderhedenBewerken

  • Door een punt gelegen buiten een rechte lijn gaat precies één rechte lijn die met die rechte lijn evenwijdig is.
  • Bij bepaalde meetkundige (ook euclidische) configuraties is het soms handig af te spreken dat twee evenwijdige lijnen elkaar in het oneindige snijden, een oneigenlijk snijpunt hebben. Dit is gebaseerd op het verschijnsel dat de hoek tussen twee elkaar snijdende lijnen steeds kleiner wordt naarmate die lijnen de evenwijdige positie naderen. Daarbij komt het hoekpunt steeds verder weg te liggen. Via de limiet, bij evenwijdigheid, komt het punt dan in het oneindige te liggen.

 
Figuur 6. Als de hoek (groen hoekpunt) tussen twee lijnen kleiner wordt, dan gaat het hoekpunt naar oneindig.

KrommenBewerken

 
Figuur 7. Huygenscirkels
 
Figuur 8. Twee parallelkrommen van  

Ook bij krommen (kromme lijnen) kan evenwijdigheid aan de orde komen. Daarbij is evenwel het ontbreken van snijpunten niet voldoende (een parabool en een geheel daarbinnen gelegen cirkel zullen zeker niet evenwijdig genoemd worden). Daarom is het gebruikelijk ook de afstand   van een punt   tot een kromme   erbij te betrekken; in formule:[2]

 

Het vinden van de waarde van   is in de praktijk soms een probleem. Er kan evenwel gebruik gemaakt worden van huygenscirkels,[3] dit zijn concentrische cirkels met   als middelpunt.   is dan de lengte van de straal van de kleinste huygenscirkel die precies één punt   met   gemeen heeft; zie figuur 7.

In het algemeen zal   het gemeenschappelijk raakpunt zijn van die huygenscirkel en  . Het lijnstuk   staat dan in   loodrecht op de raaklijn   in   aan de cirkel.

Daarbij past de volgende (wat informele) definitie, die ook te gebruiken is bij de constructie van  :

  • De krommen   en   zijn evenwijdig indien de punten   van   verkregen kunnen worden door op de normaal  [4] van   in de punten   van   een lijnstuk   met   steeds aan dezelfde kant van   af te zetten.   en   zijn in dit geval parallelkrommen.

Het resultaat van een bewerking op een kromme   volgens deze definitie is een kromme   die in het algemeen niet van hetzelfde type is als   (  is van een hogere graad dan  ). Alleen de rechte lijn en de cirkel geven parallelkrommen die gelijkvormig zijn met het origineel. Zelfs bij kleine waarden van   kunnen gladde krommen een parallelkromme hebben met singulariteiten (zie figuur 8).

De kromme   wordt ook wel de iso-afstandslijn van   genoemd; zie Externe Link, Math4all.

Als de kromme   in   is vastgelegd met de vectorvergelijking

 

dan is de kromme   een parallelkromme van   als   de volgende vectorvergelijking heeft:

 

Daarin is   en   de normaalvector van   met lengte  .

TaalBewerken

Als een van de weinige talen heeft het Nederlands voor het bedoelde begrip met evenwijdig een eigen term. De term is bedacht door Simon Stevin (1548-1620). Andere talen hebben meestal een woord dat overeenkomt met of is afgeleid van parallel (< Gr. παράλληλος (par-allè-los), dat naast elkaar betekent). Uit zuiver wiskundig oogpunt is de term parallel te verkiezen, omdat evenwijdig (even wijd van elkaar) een eigenschap van parallelle lijnen uitdrukt die niet in de definitie vermeld wordt,[5] het is een bewijsbare eigenschap van die lijnen.

Gebruik eldersBewerken

In de aardrijkskunde worden de denkbeeldige breedtecirkels op de aarde ook parallelcirkels of parallellen genoemd. Elke breedtecirkel is dan evenwijdig met de evenaar, een van de wiskunde afwijkend afstandsbegrip.

Het woord parallel wordt ook in de elektrotechniek en elektronica gebruikt. Bij een parallelschakeling van twee of meer componenten zijn die zo in een schakeling aangebracht dat de spanning op alle componenten gelijk is. Parallelgeschakelde componenten hoeven in een schakeling niet evenwijdig geplaatst te zijn, als maar aan de bovenstaande voorwaarde wordt voldaan.

 
Figuur 9. (a) Offset-curve en (b) iso-afstandslijn van een vierkant

In CAD-programma's kunnen concentrische cirkels, evenwijdige lijnen, bogen en oppervlakken worden getekend met speciale opdrachten.[6] Alleen rechte lijnen en cirkels geven figuren die voldoen aan de genoemde definitie van evenwijdig, zie figuur 9.

In de taalkunde is parallellisme een stijlfiguur.

In de psychotherapie is een parallelproces een interactiepatroon tussen groepen van mensen.[7]

In het dagelijks taalgebruik komt het woord parallel ook voor in andere betekenissen dan evenwijdig. Zoals:

  • gelijkend op: parallellen trekken is het benoemen van gelijkenissen of verwantschappen tussen twee dingen;
  • gelijktijdig: parallelprocessor, parallelmarkt, parallelklas of -groep;
  • er naast gelegen of er naast: parallelweg, parallelrijbaan, parallelrijstrook, parallelimport.

Zie ookBewerken

Externe linksBewerken