Singulariteit (wiskunde)

wiskunde

In de wiskunde is een singulariteit in het algemeen een punt, waar een bepaalde relevante eigenschap van een wiskundig object niet is gedefinieerd.

De functie

bijvoorbeeld kent op de reële getallenlijn een singulariteit in het punt . De functie lijkt te "ontploffen" tot en is in dit punt niet gedefinieerd.

De functie

heeft ook een singulariteit in , omdat de functie op dat punt niet kan worden gedifferentieerd.

Complexe functietheorieBewerken

De complexe functietheorie kent vier verschillende vormen van singulariteit. Veronderstel dat   een open deelverzameling van het complexe vlak   is, dat het punt   een element van   is en dat de functie   een holomorfe functie is die gedefinieerd is in een omgeving rond   die   uitsluit:  .

  • Geïsoleerde singulariteiten: Stel dat de functie   niet is gedefinieerd in het punt  , hoewel de functie wel is gedefinieerd op  .
    • Het punt   is een ophefbare singulariteit van  , als er een holomorfe functie   op alle   kan worden gedefinieerd zodanig dat   voor alle  . De functie   is een continue vervanger van de functie  .
    • Het punt   is een pool of niet-essentiële singulariteit van  , indien er een holomorfe functie   bestaat die is gedefinieerd op   en een natuurlijk getal   zodanig dat   voor alle  . De afgeleide inn een niet-essentiële singulariteit kan al dan niet bestaan. Als   ongelijk is aan nul, zegt men dat   een pool van orde   is.
    • Het punt   is een essentiële singulariteit van  , indien het noch een ophefbare singulariteit, noch een pool is. Het punt   is dan en slechts dan een essentiële singulariteit als de laurentreeks oneindig veel machten van negatieve graad heeft.
  • Vertakkingspunten komen in het algemeen voor bij meerwaardige functies, zoals   of  , die als ze gedefinieerd zijn op een zeker beperkt domein, binnen het domein eenduidig gedefinieerd kunnen worden.

MeetkundeBewerken

Veronderstel dat   een affiene variëteit is, dat wil zeggen de oplossingsverzameling van een stelsel van veeltermvergelijkingen in   veranderlijken. De raakruimte in een punt   wordt bepaald door de veeltermen te vervangen door hun beste lineaire benadering in  . Elke veelterm   afzonderlijk bepaalt een hypervlak door   (met als vergelijking  ) en de raakruimte is de doorsnede van die hypervlakken.

Het punt   heet singulier punt of singulariteit als minstens een van die hypervlakken niet goed bepaald is, omdat  , d.w.z. dat alle partiële afgeleiden van de overeenkomstige veelterm nul zijn in  .

VoorbeeldBewerken

 
Grafiek van de kromme met vergelijking  . De singulariteit in (0,0) valt op aan de 'doornvorm'

De derdegraadsveelterm in twee veranderlijken   en  

 

bepaalt een reële kromme in het vlak. De singuliere punten van die kromme vinden we door de partiële afgeleiden van   samen gelijk te stellen aan 0:

 
 

Hieruit volgt dat (0,0) de enige singulariteit op de kromme is.

ZelfintersectieBewerken

 
De kromme met vergelijking   heeft een dubbelpunt in (0,0)

Een dubbelpunt, of meer in het algemeen een punt waar de variëteit zichzelf snijdt (zodat er verscheidene raakruimtes lijken te bestaan), is altijd een singulariteit.

Een triviaal voorbeeld hiervan is de vlakke kromme die bestaat uit de vereniging van de  -as en de  -as met vergelijking  

Een eenvoudig niet-triviaal (en irreducibel) voorbeeld is de kromme bepaald door de vergelijking

 

Differentieerbare functies en catastrofenBewerken

De catastrofetheorie bestudeert het lokaal gedrag van functiekiemen rondom singulariteiten. Een singulariteit is in dat verband een kiem van differentieerbare functies

 

met de eigenschap dat  .[1]

Zie ookBewerken