Zèta-verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de zèta-verdeling een discrete kansverdeling op de natuurlijke getallen ongelijk nul, die toepassing vindt in de taalwetenschap.

De zèta-verdeling met parameter $a>1$ wordt gegeven door de kansfunctie:

$p(n)={\frac {1}{\zeta (a)}}n^{-a}$, voor $n=1,2,3,\ldots$

Daarin is

$\zeta (a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{a}}}$,

de riemann-zèta-functie, gedefinieerd voor $a>1$.

De termen zèta-verdeling en zipfverdeling worden soms door elkaar gebruikt, hoewel ze niet identiek zijn. Een zipfverdeling gedefinieerd voor alle gehele waarden is een zèta-verdeling.

Momenten

Als de stochastische variabele $X$ een zèta-verdeling met parameter $a$ heeft, wordt het $k$-de moment gegeven door:

$\mathrm {E} (X^{k})={\frac {1}{\zeta (a)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{a-k}}}$

Deze reeks is alleen convergent voor $a-k>1$, zodat

$\mathrm {E} (X^{k})={\begin{cases}\zeta (a-k)/\zeta (a)&{\text{ voor }}k<a-1\\\infty &{\text{ voor }}k\geq a-1\end{cases}}$

Zie ook

• Paretoverdeling

Kansverdelingen