Moment (wiskunde)

In de kansrekening en statistiek zijn momenten kerngrootheden van een kansverdeling. Met behulp van momenten worden begrippen uit de beschrijvende statistiek als gemiddelde, variantie, scheefheid en kurtosis bepaald. Een kansverdeling wordt uniek vastgelegd door zijn momenten, mits deze bestaan. Voor enkele speciale verdelingen, zoals de Lévyverdeling, bestaan niet (alle) momenten. Momenten worden toegepast bij de momentenmethode en zijn verbonden aan de momentgenererende functie.

Er wordt onderscheid gemaakt tussen gewone momenten, centrale momenten, momenten om $c$, absolute momenten en gestandaardiseerde momenten.

Inhoud

(Gewoon) moment

Het $k$-de moment van een reëelwaardige functie $f(x)$ wordt gegeven door

$\mu '_{k}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,f(x)\,{\rm {d}}x.$

Wanneer $f(x)$ een kansdichtheid is, met bijbehorende stochastische variabele $X$, dan is $\mu '_{k}$ gelijk aan de verwachtingswaarde van $X^{k}$.

Ook voor kansverdelingen waarvoor geen kansdichtheid bestaat, worden de momenten overeenkomstig gedefinieerd in termen van de verwachtingswaarden

Het eerste moment is gelijk aan de verwachtingswaarde: $\mu '_{1}={\rm {E}}(X)=\mu$. Het tweede moment is gelijk aan $\mu '_{2}={\rm {E}}(X^{2})=\mu ^{2}+\sigma ^{2}$.

Centraal moment

Het $k$-de centrale moment van de kansverdeling van de stochastische variabele $X$, wordt gegeven door

$\mu _{k}={\rm {E}}(X-\mu )^{k}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{k}\,{\rm {d}}F_{X}(x).$

Daarin is $F_{X}$ de verdelingsfunctie van $X$

Door te centraliseren wordt ervoor gezorgd dat het $k$-de centrale moment niet van lagere orde momenten afhangt: het eerste centrale moment is per definitie nul, het tweede centrale moment is ${\rm {E}}(X-\mu )^{2}=\sigma ^{2}.$

Moment om een constante

In plaats van te centraliseren, kan een moment ook om een andere constante $c$ berekend worden. Het $k$-de moment om $c$ van een stochastische variabele $X$ met verdelingsfunctie $F_{X}$ wordt gegeven door

$\mu _{k}(c)={\rm {E}}((X-c)^{k})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{k}\,{\rm {d}}F_{X}(x).$

Het gewone $k$-de moment is dus gelijk aan het $k$-de moment om nul.

Gestandaardiseerd moment

Het $k$-de gestandaardiseerde moment van een stochastische variabele $X$ of kansverdeling wordt gegeven door

${\bar {\mu }}_{k}={\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}$

waarbij $\sigma$ de standaardafwijking is. Het gestandaardiseerde moment is een dimensieloze maat.

• Het eerste gestandaardiseerde moment is altijd nul, omdat het eerste centrale moment per definitie nul is
• Het tweede gestandaardiseerde moment is altijd een, want het tweede centrale moment komt overeen met de variantie $(\mu _{2}=\sigma ^{2})$, hetgeen gelijk is aan het kwadraat van de standaardafwijking
• Het derde gestandaardiseerde moment wordt scheefheid genoemd
• Het vierde gestandaardiseerde moment is direct gerelateerd aan de kurtosis

Absoluut moment

Het $k$-de absolute moment (om $c$) van een stochastische variabele $X$ met verdelingsfunctie $F_{X}$ wordt gegeven door

$M_{k}(c)={\rm {E}}(|X-c|^{k})=\int _{-\infty }^{\infty }|x-c|^{k}\,{\rm {d}}F_{X}(x)$

Berekening in een steekproef

Berekening van momenten in een steekproef gaat analoog als berekening bij een kansverdeling. Zo kan bij een steekproef $x_{1},\ldots ,x_{n}$ het $k$-de moment berekend worden via

$m'_{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}$

en is bijvoorbeeld het tweede absolute moment rond drie gelijk aan

$M_{k}(3)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-3|^{k}.$

Berekening van momenten met de momentgenererende functie

Met behulp van de momentgenererende functie $M_{X}(t)=\operatorname {E} e^{tX}$kunnen doorgaans eenvoudig de momenten berekend worden: het $k$-de moment is gelijk aan de waarde van de $k$-de afgeleide van $M_{X}$ in 0. De mathematische details staan bij momentgenererende functie.

Onderwerpen uit de beschrijvende statistiek

Gemiddelden: rekenkundig gemiddelde · meetkundig gemiddelde · harmonisch gemiddelde · kwadratisch gemiddelde · gewogen gemiddelde · getrimd gemiddelde · Winsorgemiddelde Andere liggingsmaten: mediaan · modus · kwartiel · percentiel Spreidingsmaten: variantie · standaardafwijking · variatiecoëfficiënt · interkwartielafstand Grafische beschrijvingen: histogram · boxplot · Q-Q plot Overig: moment · scheefheid · kurtosis · vijf-getallensamenvatting