Hoofdmenu openen
Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Hyperreële getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

De surreële getallen vormen een uitbreiding van de reële getallen. Net als de reële getallen vormen de surreële getallen een totaal geordend veld (in België)/lichaam (in Nederland). Samen met de reële getallen behoren ook de oneindig kleine en de oneindig grote elementen tot de surreële getallen. In zekere zin vormen de surreële getallen de grootst mogelijke van al dergelijke uitbreidingen.

De surreële getallen kunnen opgebouwd worden vanuit de lege verzameling, door toepassing van Dedekindsneden, een principe dat ook ten grondslag ligt aan de reële getallen. In een oneindige reeks tussenstappen worden voortdurend nieuwe getallen gedefinieerd in termen van eerder gedefinieerde.

Surreële getallen werden in 1969 ontdekt door de Engelse wiskundige John Horton Conway als een nevenresultaat van onderzoek naar de structuur van een bepaalde klasse van wiskundige spellen. De uitdrukking surreële getallen werd in 1973 bedacht door Donald Knuth en toegepast in zijn novelle 'Surreal Numbers' (1974). Deze uitdrukking werd later ook door Conway gebruikt.

Constructie en ordeningBewerken

De grondgedachte achter de constructie van de surreële getallen is het principe van de zgn. snede van Dedekind. Een nieuw getal wordt gevormd door twee verzamelingen   en   van al bestaande getallen aan te geven die het nieuwe getal benaderen. De verzameling   bestaat uit getallen die kleiner zijn dan het nieuwe getal, en de verzameling   uit getallen die groter zijn. Zo'n nieuw getal wordt genoteerd als   met de eis dat elk element van   kleiner moet zijn dan elk element van  . Zo is   een geldige ("welgevormde") constructie van een bepaald getal tussen 2 en 5; welk dat is, zal later uitgelegd worden. Het is uitdrukkelijk toegestaan dat   of   leeg is. Het getal   wordt opgevat als een getal groter dan elk getal in  , en   als een getal kleiner dan elk getal in  . Deze manier van construeren is uiterst recursief. Er is daarom ook een regel nodig om de nieuwe getallen met elkaar te vergelijken, dat wil zeggen ook de ordeningsrelatie   die voor de toepassing van de constructieregel nodig is, moet recursief gedefinieerd worden.

Er zijn dus twee definities nodig om een oneindige, totaal geordende klasse getallen te genereren, waarop dan later bewerkingen worden gedefinieerd.

DefinitiesBewerken

  1. (Constructie) Twee verzamelingen   en   van reeds bestaande getallen bepalen een nieuw getal  , genoteerd als  , als voor geen van de elementen   en   geldt:   (dus alle elementen uit R zijn (strikt) groter dan de elementen van L).
  2. (Ordening) Het getal   is kleiner dan of gelijk aan het getal  , genoteerd als  , als elk element   strikt kleiner is dan   en   op zijn beurt strikt kleiner is dan elk element  .

Dit wordt als volgt symbolisch genoteerd:

 
  1.  , met  
  2.   en  

In deze en volgende formules betekent   hetzelfde als  . Verder betekenen zowel   als   dat het niet zo is dat  , dus  . Ten slotte schrijft men   als afkorting voor   én  . (Het symbool   is de al-kwantor en   de existentiekwantor.)

Om de notatie zo licht mogelijk te houden, wordt zo veel mogelijk vermeden de verzamelingen   en   nog te vermelden in formules. In plaats daarvan schrijft men   en   als een verwijzing naar een typisch element uit deze verzamelingen. De eerste definitie hierboven wordt dan

  met  

Eenvoudig als deze definities zijn, ze zijn ook erg subtiel. De volgende aspecten verdienen dan ook nadere toelichting.

RecursiviteitBewerken

Zowel de constructie als de ordening van getallen zijn recursief gedefinieerd. Dit wil zeggen dat ze steunen op het bestaan en de ordening van vooraf gedefinieerde getallen. Meestal worden recursieve definities aangevuld met een aparte definitie die de begintoestand vastlegt. Voor de surreële getallen is dat niet nodig, omdat voor   en  , zelfs al is geen enkel ander getal bekend, altijd de lege verzameling   gebruikt kan en mag worden. Meer nog, omdat de lege verzameling geen enkel element bevat, hoeft men zich ook geen zorgen te maken over de voorwaarde in definitie (1). De voorwaarde is in dit geval zonder voorwerp. Men vindt zo als allereerste getal  , of eenvoudiger genoteerd  . Dit getal wordt geïdentificeerd met nul.

Nu worden twee nieuwe getallen gedefinieerd door 0 op te nemen in   of  . Het getal   (m.a.w.   en  ) wordt geïdentificeerd met  , en   met  . Maar merk op dat   geen geldig getal voorstelt. De reden is dat  , zodat aan de voorwaarde in definitie (1) niet voldaan is. Zolang een van de verzamelingen   of   echter leeg is, is die voorwaarde zonder voorwerp. Zo kan een eindeloze reeks nieuwe getallen gedefinieerd worden van de vorm  ,  ,  , enzovoort. Het zou naïef zijn om te denken dat zo alleen maar een kopie van de natuurlijke getallen ontstaat. Er is immers geen enkele reden voor waarom de constructie van getallen niet kan worden voortgezet met een oneindige verzameling voor  . Zo krijgt men een eerste oneindig groot getal

 

direct gevolgd door

 
 
 
 

en zo verder. Daarna komt

 
 

in een nooit eindigende reeks van steeds grotere, oneindige getallen.

Dit is essentieel de klassieke constructie van Georg Cantor voor de klasse   van alle ordinaalgetallen. Het is bekend dat de ordinaalgetallen geen gewone verzameling vormen, maar een zogenaamde eigenlijke klasse. Intuïtief uitgedrukt betekent dit dat het aantal elementen zo groot is dat het niet meer gemeten kan worden door enig transfiniet kardinaalgetal. In tegenstelling tot gewone verzamelingen kunnen eigenlijke klassen niet vrijelijk gebruikt worden bij de constructie van grotere verzamelingen zonder te vervallen in logische paradoxen. Aangezien de surreële getallen alle ordinaalgetallen omvatten, vormen de surreële getallen eveneens een eigenlijke klasse. Eigenlijke klassen worden door Conway systematisch met hoofdletters aangeduid. De surreële getallen vormen dus geen gewoon veld/lichaam, maar eerder een Veld/Lichaam.

Tot nu zijn enkel getallen geconstrueerd met  . Kiest men voor   de lege verzameling, dan vindt men 'negatieve ordinaalgetallen', die niet voorkomen in het systeem van Cantor. Nog vreemdere getallen ontstaan als zowel   als   niet-leeg gekozen worden. Zonder in detail te gaan toch enkele voorbeelden:

  • de getallen   kunnen achtereenvolgens geconstrueerd worden als
 
  • men krijgt oneindig kleine getallen door in   willekeurig kleine getallen op te nemen:
 
  • en nog kleiner kan ook:
 
  • oneindige getallen, groter dan elk natuurlijk getal, maar kleiner dan   (dat traditioneel als het 'kleinste' oneindig getal wordt beschouwd) zijn er ook:
 
 
 
 
 

Verificatie van de orde-eigenschappenBewerken

In definitie (1) en (2) worden de symbolen ' ' en ' ' gebruikt, en het is zonder meer de bedoeling dat men deze interpreteert als de gebruikelijke ordeningssymbolen ('strikt kleiner' en 'kleiner dan of gelijk') voor getallen. Nochtans moet een orderelatie aan enkele fundamentele eigenschappen (zoals transitiviteit) voldoen waarover in de definities niet gesproken wordt. Het is een essentieel kenmerk van Conways theorie dat deze eigenschappen slechts op impliciete wijze in de definities vervat zijn. Bij de opbouw van de theorie moet men dan ook zeer voorzichtig zijn dat men geen 'evidente' eigenschappen van de orderelatie gebruikt voordat ze bewezen zijn.

Een voorbeeld van een onschuldig ogende redenering die logisch gezien geen steek houdt, is de implicatie  . Aangezien   een gebruikelijke afkorting is voor de formule   is deze implicatie equivalent met  . Een orderelatie die hieraan voldoet noemt men een totale orde. Dat de orde ' ' inderdaad totaal is op de surreële getallen is niet evident, aangezien definitie (2) a priori niet uitsluit dat twee getallen   en   noch in de ene, noch in de andere richting in een orderelatie staan tot elkaar. Het is erg verhelderend om eens na te gaan hoe men dit in de theorie van Conway bewijst. Er zijn drie stellingen nodig:

Stelling 0Bewerken

  1.  
  2.  

Merk op dat hieruit direct volgt dat  . De stelling toont dat elk nieuw getal tussen zijn linker- en rechteropties geplaatst moet worden. Om deze stelling te bewijzen gebruikt men transfiniete inductie. Dit houdt in dat men veronderstelt dat stelling 0 reeds juist is voor alle getallen   die vóór   geconstrueerd werden. In het bijzonder neemt men aan dat  , en idem  . In een klassiek bewijs door inductie moet vooraf nog bewezen worden dat de stelling juist is voor een of andere startwaarde van de veranderlijken. In de theorie van Conway is dit onnodig, omdat alle getallen uiteindelijk teruggaan op de lege verzameling en aan een hypothetisch element van de lege verzameling elke denkbare eigenschap toegekend mag worden.

Bewijs

Uit het ongerijmde: Stel dat  . Volgens definitie (1) betekent dit dat  , en in het bijzonder  , wat in tegenspraak is met onze inductiehypothese. Analoog leidt de veronderstelling dat   eveneens tot een tegenspraak en luik (1) is bewezen.

Stel vervolgens dat  . Volgens definitie (2) geldt dan dat   of  . Maar beide zijn in tegenspraak met luik (1). Hiermee is stelling 0 volledig bewezen.

Merk op dat dit korte en elegante bewijs vraagt dat beide luiken van stelling 0 samen bewezen worden. Ook de gebruikte inductieredenering is heel bijzonder. In laatste instantie komt die erop neer dat een hypothetisch tegenvoorbeeld voor de te bewijzen stelling nieuwe tegenvoorbeelden oplevert van steeds vroeger en vroeger geconstrueerde getallen. Logisch verder redenerend komt men uiteindelijk tot de conclusie dat een uitspraak van de vorm

 

waar moet zijn. Maar dat is absurd aangezien een lege verzameling geen elementen heeft.

Stelling 1Bewerken

De orderelatie   is transitief op de surreële getallen, d.w.z.:

 .
Bewijs.

Wegens inductie mag veronderstellen worden dat de stelling waar is van zodra ook maar een van de getallen x, y of z vervangen wordt door een eerder geconstrueerd getal. Stel dus, voor een tegenspraak, dat   en   maar  . Wegens definitie (2) geldt dan dat

  of  .

In het eerste geval krijgen we dat  . Wegens inductie volgt hieruit dat  . Maar dat is in tegenspraak met  , want dat laatste houdt in (definitie (2)) dat  . Analoog leidt het tweede geval tot  , waaruit, wegens inductie,  , hetgeen in tegenspraak is met  . Hiermee is ook stelling 1 bewezen.

Stelling 2Bewerken

De orderelatie   is totaal op de surreële getallen, d.w.z.:

 .
Bewijs.

Eerst bewijst men het speciale geval waarin   een van de opties   of   van   is. Stel dat  . Omdat  , m.a.w.  , moet bewezen worden dat  . Formuleer opnieuw een inductiehypothese, in dit geval dat  . Stel dan dat  . Dan geldt volgens definitie (2) ofwel dat  , ofwel dat  . In het eerste geval volgt, wegens inductie en de transitieve eigenschap, dat  , in tegenspraak met stelling 0. En het tweede geval   is in tegenspraak met de voorwaarde in definitie (1) van getallen. Hieruit volgt dus dat  , en geheel analoog dat ook  .

Het algemeen geval is nu eenvoudig. Stel dat   en   twee getallen zijn en dat  . Als  , is wegens   en de distributiviteit ook  . Als  , is wegens   en de distributiviteit opnieuw  . Hiermee is ook stelling 2 volledig bewezen.

Nu alle eigenschappen van de orderelatie geverifieerd zijn, mag men ongelijkheden precies zo behandelen als in de meer vertrouwde context van de reële getallen. Zo zijn er de transitieve eigenschappen van de vorm

 
 

Verder is het eenvoudig na te gaan dat in alle voorbeelden van getallen in de sectie over recursiviteit de voorwaarde   in definitie (1) wel degelijk voldaan is.

Gelijkheid en identiteitBewerken

Een derde essentieel kenmerk van Conways theorie van getallen is dat gelijkheid een gedefinieerd begrip is, dat moet onderscheiden worden van identiteit. Identiteit van twee getallen   en  , genoteerd als  , betekent:

  als   en  

(als verzamelingen, als zij met andere woorden dezelfde elementen bevatten). Daarentegen betekent gelijkheid van twee getallen,

 

niets meer of minder dan dat aan beide ongelijkheden   en   is voldaan. Het is niet moeilijk een voorbeeld te vinden dat het verschil tussen gelijkheid en identiteit illustreert. Stel namelijk

 , met   en  .

Stelling 0 toont dat   tussen 1/2 en 2 gelegen is, en men zou kunnen denken dat  , het rekenkundig gemiddelde van   en  .

Dat blijkt echter niet het geval te zijn; er geldt namelijk, zoals hieronder bewezen wordt, dat  , hoewel  .

Voor een   bestaat er een   zodat   (maar de enige   hier is   wegens stelling 0) of een  .

(maar deze ongelijkheid is zonder voorwerp, want  ) en er volgt dat  . Voor een   bestaat er   zodat   (maar de enige   is 0<x) of een   (maar de enige   is 2>1)

en dus is ook  . Deze twee ongelijkheden samen maken dat  .

Het is eenvoudig in te zien dat de gelijkheid een equivalentierelatie vormt op   en een getal in de theorie van Conway is dus Equivalentieklasse (met hoofdletter!) van deze relatie.

Optelling voor surreële getallenBewerken

DefinitieBewerken

De optelling van getallen wordt eveneens recursief gedefinieerd.

 

VoorbeeldenBewerken

  • 1+1={0| }+{0| }={1+0,0+1| }, en als we aannemen dat 0 neutraal is krijgen we 1+1={1| }, het getal dat we eerder reeds met 2 hebben geïdentificeerd.
  • 1+1/2 = {0| } + {0|1} = {0+1/2,1+0|1+1}={1/2,1|2}={1|2}
  • 1/2 + 1/2 = {0|1}+{0|1}= {0+1/2,1/2+0|1+1/2,1/2+1}={1/2|{1|2}}, en je kan nagaan dat dit laatste in een gelijkheidsrelatie staat tot {0| }=1.

Het is duidelijk dat de verdienste van Conway's theorie niet ligt in de eenvoud van het rekenwerk.

GroepseigenschappenBewerken

De meeste groepseigenschappen laten zich gemakkelijk bewijzen door inductie. Twee eenvoudige voorbeelden moeten hier volstaan:

  • Nul is neutraal voor de optelling:
 
  • Commutativiteit:
 

In Conway's terminologie zijn dit 1-lijnsbewijzen: men herleidt een eigenschap van   tot een analoge eigenschap voor de opties   en   met de definitie, waarna de eigenschap geldt wegens inductie. Het ene lijntje voor associativiteit is net zo eenvoudig als dat voor commutativiteit, maar wel een stuk langer en we laten het hier achterwege.

Dat elk getal ook een tegengestelde heeft voor de optelling is iets moeilijker. Dat hoeft niet te verbazen. Elke eigenschap van getallen die enkel met al-quantoren kan geschreven worden laat zich door inductie herleiden tot een eigenschap van de lege verzameling, en is daardoor makkelijk te bewijzen. De vraag naar het bestaan van een getal   met deze of gene eigenschappen is een stuk moeilijker, omdat het niet altijd evident is met welke verzamelingen   en   het gevraagde getal geconstrueerd is. Voor de constructie van het getal   valt het nog mee, maar we onthouden ons van details:

DefinitieBewerken

 

Voorbeeld: −3/2 = −{1|2} = {−2|−1}.

Het is dan vrij eenvoudig om de gebruikelijke eigenschappen van tegengestelde getallen af te leiden.

Vermenigvuldiging voor surreële getallenBewerken

DefinitieBewerken

Ook het product van surreële getallen krijgt een recursieve definitie:

 

Om enig inzicht in deze definitie te krijgen, is ervaring met de gebruikelijke definities en eigenschappen van getallen onontbeerlijk. Aangezien reeds bekend is dat

  en  

moet ook

 

Deze ongelijkheid kan herschreven worden tot

 ,

wat een van de linker-opties van   verklaart.

Herschrijft men

 

als

 

dan vindt men de motivatie voor een van de rechteropties van  . De andere opties worden op analoge wijze verklaard. Dit is de rode draad die alle definities in de theorie van Conway met elkaar verbindt: ze drukken stuk voor stuk de meest fundamentele orde-eigenschappen die je van getallen, hun relaties en hun bewerkingen mag verwachten. Het verrassende nieuwe inzicht dat Conway brengt is dat deze orde-eigenschappen de volledige structuur van een geordend veld vastleggen. Voor een uitgebreidere discussie van dit punt, zie de literatuurlijst onderaan.

Eigenschappen van het productBewerken

De basiseigenschappen voor de vermenigvuldiging worden op analoge wijze bewezen als die voor de som. Een aantal eigenschappen kunnen bewezen worden als identiteit:

 .

Transitieve en associatieve eigenschappen nemen de vorm aan van gelijkheden, maar vormen in het algemeen geen identiteiten:

 .

Al deze eigenschappen hebben bewijzen van één regel.

Vervolgens wordt aangetoond dat het product   van twee getallen   en   wel degelijk zelf aan de definitie van een getal voldoet en dat, als  , ook  . De gebruikelijke orde-eigenschappen van het product ten slotte kunnen allemaal herleid worden tot speciale gevallen van de volgende stelling.

StellingBewerken

Als   en  , dan is  .

Hiermee is alles voorhanden om de conclusie te mogen trekken dat de surreële getallen inderdaad een totaal geordend lichaam/veld vormen, op één cruciaal punt na: er moet nog aangetoond worden dat elk getal   een invers getal   heeft voor vermenigvuldiging. In Conways boek ONAG wordt uitgelegd dat het aanvankelijk allesbehalve duidelijk was, hoe men een 'genetische' definitie (in termen van klassen   en  ) van het product kon geven, en hoe de genetische definitie van   nog eens een jaar op zich liet wachten.

VakliteratuurBewerken

  • (en) J. H. Conway, On Numbers and Games (ONAG), Academic Press 1976
  • (en) J. H. Conway, All games bright and beautiful (AGBB), Amer. Math. Monthly, 84(1977)
  • (en) E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy, Winning Ways, Academic Press 1982
  • (en) D. E. Knuth, Surreal Numbers, Addison-Wesley 1974