Hoofdmenu openen

Perfect getal

speciaal natuurlijk getal

Een perfect getal of volmaakt getal is een positief natuurlijk getal dat gelijk is aan de som van zijn echte delers (niet het getal zelf; 1 is een echte deler).
• Is de som van alle echte delers van , dan is een perfect getal als .
• Is de som van alle positieve delers van (dus inclusief 1 en zelf), dan is perfect als .

De oude Grieken kenden alleen de eerste vier perfecte getallen; zie de tabel.

getal som van de echte delers ontbinding
1 + 2 + 3
1 + 2 + 4 + 7 + 14
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Het vijfde perfecte getal is .

Opmerking. De tussenliggende kandidaat-getallen en zijn niet perfect. Dit kan ook worden aangetoond via mersennepriemgetallen, aangezien en geen priemgetallen zijn.

Inhoud

Geschiedenis van perfecte getallenBewerken

Vermoedelijk maakten de oude Egyptenaren al studie van perfecte getallen. Het is bekend dat Pythagoras perfecte getallen onderzocht. Perfecte getallen hadden in die tijd een religieuze betekenis. In de beginjaren van het christendom was er een theorie dat de getallen 6 en 28 door God gekozen waren als perfecte getallen: 6 is het aantal dagen waarin God de aarde had geschapen en 28 is het aantal dagen waarin de maan om de aarde draait. De heilige Augustinus (354-430) schreef: Zes is geen perfect getal omdat God de aarde in zes dagen geschapen heeft, maar God heeft de aarde in zes dagen geschapen omdat zes een perfect getal is.[1]

Nicomachus van Gerasa vermeldde rond het jaar 100 in zijn boek Introductio Arithmeticae de volgende stellingen, zonder deze overigens te bewijzen (inmiddels is bekend dat stelling 1 en 3 onjuist zijn):[2]

  1. Het n-de perfecte getal heeft n cijfers.
  2. Alle perfecte getallen zijn even.
  3. Perfecte getallen eindigen alternerend op een 6 of een 8.
  4. Perfecte getallen zijn te schrijven als 2n−1(2n−1) als 2n−1 een priemgetal is (zie ook boven).
  5. Er zijn oneindig veel perfecte getallen.

Deze stellingen zijn in Europa eeuwenlang voor waar aangenomen. De Europeanen waren gedurende de vroege Middeleeuwen onbekend met het wiskundig onderzoek in de Arabische landen, onder andere dat van Ibn al-Haytham en van Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus. Deze laatste wiskundige stelde in het begin van de 13e eeuw een lijst op met tien perfecte getallen, waarvan de eerste zeven inderdaad juist zijn, maar deze lijst raakte pas eeuwen later in Europa bekend.[3] De vierde stelling van Nicomachus werd in Europa veralgemeend tot: Perfecte getallen zijn te schrijven als 2n−1(2n−1) voor alle oneven getallen n.

In 1536 bewees Hudalrichus Regius dat deze veralgemening niet klopte voor n = 11: 210(211−1) is geen perfect getal. Ook bewees hij dat 212(213−1) = 33.550.336 het vijfde perfecte getal is. Hiermee was meteen de onjuistheid van de eerste stelling van Nicomachus aangetoond: het vijfde perfecte getal heeft een lengte van acht cijfers. In 1603 vond Pietro Cataldi het zesde perfecte getal 216(217−1) = 8.589.869.056. Hiermee was bewezen dat de derde stelling van Nicomachus niet klopte, aangezien zowel het vijfde als het zesde perfecte getal op een 6 eindigen. Cataldi vond ook het zevende perfecte getal 218(219−1) = 137.438.691.328. Cataldi claimde nog een viertal andere perfecte getallen gevonden te hebben, maar later werd aangetoond dat slechts een van deze vier getallen juist was.

Wiskundige eigenschappenBewerken

  • Er is een verband tussen perfecte getallen en Mersennepriemgetallen. Mersennepriemgetallen zijn priemgetallen van de vorm  , waarbij   een priemgetal is.
Er geldt namelijk: als   een priemgetal is, dan is   een perfect getal.
Het omgekeerde geldt ook: ieder (in ieder geval even) perfect getal kan geschreven worden als   waarbij   een priemgetal is en   een mersennepriemgetal.
Voorbeeld. Voor   is   een priemgetal. Dus is   een perfect getal.
  • De som van de omgekeerden van de delers van een perfect getal (exclusief  , inclusief de omgekeerde van het getal zelf) is altijd gelijk aan  . Bijvoorbeeld, voor het getal   is:
 

Meervoudig perfecte getallenBewerken

Een meervoudig perfect getal is een positief geheel getal dat een echte deler is van de som van al zijn delers (het getal zelf bij die delers inbegrepen). Het quotiënt van de som der delers en het getal is de meervoudigheid.[4]

"Gewone" perfecte getallen hebben meervoudigheid  . Bijvoorbeeld: voor het getal   is  . Enkele voorbeelden van getallen met hogere meervoudigheid zijn:

  •   heeft meervoudigheid  ; de som van de delers is  .
  •   heeft meervoudigheid  ; de som van de delers is  .
  •   heeft meervoudigheid  .[4]

In 2014 zijn meervoudig perfecte getallen gevonden tot meervoudigheid 11. Men vermoedt dat er voor elke meervoudigheid groter dan 2 slechts een eindig aantal meervoudig perfecte getallen zijn.[5]

Stel getal   heeft als ontbinding in priemfactoren:

 

Hierin is   het aantal priemfactoren en   het aantal factoren van de priemfactor  .

Als   een meervoudig perfect getal met meervoudigheid   is, moet het volgende gelden:

 

Voorbeeld. Voor   is het rechterlid gelijk aan  .

Hieruit kan worden afgeleid dat:

 

Meervoudig perfecte getallen met meervoudigheid   moeten minstens   verschillende priemfactoren hebben. Geen enkel product   met twee verschillende priemgetallen is immers groter dan  . Het grootste is  , dat niet groter is dan  .
Analoog blijkt dat een meervoudig perfect getal met meervoudigheid   minstens   verschillende priemfactoren moet hebben, want   is groter dan  , terwijl geen enkel product met drie verschillende priemfactoren groter is dan  .
Op dezelfde manier vindt men dat meervoudig perfecte getallen met meervoudigheid   minstens   verschillende priemfactoren moeten hebben; die met meervoudigheid   minstens  ; die met meervoudigheid   minstens  , enzovoort.[4]

Oneven perfecte getallenBewerken

Het is een open probleem of er ook oneven perfecte getallen bestaan. Wel is zeker dat, als er een oneven perfect getal is, dit groter dan 101500 moet zijn. Het moet ook ten minste 101 niet noodzakelijkerwijs van elkaar verschillende priemfactoren hebben en een van de priemfactoren moet groter zijn dan 1062.[6]

Zie ookBewerken

Externe linksBewerken

NotenBewerken

  1. Augustinus (413-426): De civitate Dei, boek XI, hoofdstuk 30.
  2. T.L. Heath (1921): A history of Greek Mathematics. New York: Dover Publications (reprint 1981); vol 1, pp. 74-75.
  3. (en) Rushdī Rāshid: The Development of Arabic Mathematics; pag. 238.
  4. a b c (en) Derrick N. Lehmer (1900): "Multiply Perfect Numbers". In: Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 2, No. 1/4 (1900-1901); pp. 103-104. DOI:10.2307/2007188
  5. (en) Achim Flammenkamp: The Multiply Perfect Numbers Page. Via: Universität Bielefeld.
  6. (en) P. Ochem, M. Rao (2011): Odd perfect numbers are greater than 101500.  In: Mathematics of computation.