Hoofdmenu openen

In de wiskunde is een mersennegetal een positief geheel getal dat precies één kleiner is dan een macht van twee:

Sommige definities van mersennegetallen vereisen dat de exponent een priemgetal is. Een mersennepriemgetal is een mersennegetal dat een priemgetal is. Mersennepriemgetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht.

Sinds december 2018 zijn er 51 mersennepriemgetallen bekend. Het grootst bekende priemgetal is 282 589 933−1 en is een mersennepriemgetal; in de moderne tijd is het grootst bekende priemgetal bijna steeds een mersennepriemgetal geweest.[1][2][3] Net als een aantal eerder ontdekte mersennepriemgetallen, werd het ontdekt door het GIMPS-project door middel van distributed computing op het internet (zie externe link).

Inhoud

Verdere beschrijvingBewerken

 
Poststempel die het wiskundedepartement van het UIUC gebruikte van grofweg 1964 tot 1976, naar aanleiding van de mersennepriemgetallen die Donald Gillies ontdekte in 1963.

In 1644 claimde Mersenne dat   priem is als  ; maar dat   een samengesteld getal is wanneer   een van de andere priemgetallen, kleiner dan 257, is. Mersenne zat er wat betreft bovenstaande rij vijf keer naast.   en   zijn geen priemgetallen, terwijl  ,   en   dit juist wel zijn.

Een basisstelling over mersennegetallen stelt dat als   een mersennepriemgetal is, de exponent   zelf ook een priemgetal is. Dit volgt uit:

 

De drie kleinste mersennepriemgetallen zijn

 

Hoewel het waar is dat alleen mersennegetallen   priem kunnen zijn, als   ook een priemgetal is, kan het niettemin het geval zijn dat   geen priemgetal is, terwijl   dat wel is. Het kleinste tegenvoorbeeld is het mersennegetal

 

  is geen priemgetal, hoewel 11 dit wel is. Het ontbreken van een duidelijke regel om te bepalen of een gegeven mersennegetal een priemgetal is maakt de zoektocht naar mersennepriemgetallen een interessante taak, die, aangezien mersennegetallen zeer snel groeien, heel snel zeer moeilijk wordt. De Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen is een efficiënte priemgetaltest, die heden ten dage wordt gebruikt om te bepalen of een mersennegetal ook een mersennepriemgetal is. Deze test is eenvoudiger uit te voeren dan testen voor andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een mersennepriemgetal.

Perfecte getallen en mersennepriemgetallenBewerken

Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Er geldt namelijk dat als   een priemgetal is, dat dan   een perfect getal is. Het omgekeerde geldt ook: ieder, in ieder geval even, perfect getal kan worden geschreven als   waarbij   een priemgetal is en   een mersennepriemgetal.

Bijvoorbeeld: voor   geldt dat   een priemgetal is, en   een perfect getal is.

Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie en in het genereren van toevalsgetallen (met de mersennetwister).

Bekende mersennepriemgetallenBewerken

Er zijn op dit moment 51 mersennepriemgetallen bekend, het jongste is in december 2018 gevonden.

Naam Mn Datum van ontdekking Getal Ontdekt door
M51 7 december 2018 282 589 933−1
(met 24 862 048 cijfers)
Patrick Laroche/GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
Dit is het grootst bekende (Mersenne) priemgetal.
M50 26 december 2017 277 232 917−1
(met 23 249 425 cijfers)
Jonathan Pace/GIMPS.
M49 7 januari 2016 274 207 281−1
(met 22 338 618 cijfers)
Curtis Cooper/GIMPS.
M48 25 januari 2013 257 885 161−1
(met 17 425 170 cijfers)
Curtis Cooper/GIMPS.
M47 12 april 2009 242 643 801−1
(met 12 837 064 cijfers)
Odd Magnar Strindmo/GIMPS.
M46 6 september 2008 237 156 667−1
(met 11 185 272 cijfers)
Hans-Michael Elvenich/GIMPS.
M45 23 augustus 2008 243 112 609−1
(met 12 978 189 cijfers)
Wiskundedepartement van de Universiteit van Californië in Los Angeles/GIMPS.
M44 4 september 2006 232 582 657−1
(met 9 808 358 cijfers)
Curtis Cooper en Steven Boone/GIMPS
M43 15 december 2005 230 402 457−1
(met 9 152 052 cijfers)
Curtis Cooper en Steven Boone/GIMPS
M42 28 februari 2005 225 964 951 −1
(met 7 816 230 cijfers)
Dr. Martin Nowak et al. (Duitsland)
M41 15 mei 2004 224 036 583 −1
(met 7 235 733 cijfers)
Josh Findley et al. (Verenigde Staten)
M40 17 november 2003 220 996 011 −1
(met 6 320 430 cijfers)
Michael Shafer et al. (Verenigde Staten)
M39 14 november 2001 213 466 917−1 Michael Cameron et al. (Canada)
M38 1 juni 1999 26 972 593−1 Nayan Hajratwala et al. (Verenigde Staten)
M37 27 januari 1998 23 021 377−1 Roland Clarkson et al. (Verenigde Staten)
M36 24 augustus 1997 22 976 221−1 Gordon Spence et al. (Verenigd Koninkrijk)
M35 november 1996 21 398 269−1 Joel Armengaud et al. (Frankrijk)
M34 1996 21 257 787−1 David Slowinski & Paul Gage
M33 1994 2859 433−1 David Slowinski & Paul Gage
M32 1992 2756 839−1 David Slowinski & Paul Gage
M31 1988 2110 503−1 David Slowinski
M30 1985 2216 091−1 David Slowinski
M29 1983 2132 049−1 Walter Colquitt & Luke Welsh
M28 1982 286 243−1 David Slowinski
M26, M27 1979 223 209−1, 244 497−1 Landon Curt Noll
M25 1978 221 701−1 Landon Curt Noll & Laura Nickel
M24 1971 219 937−1 Bryant Tuckerman
M21 - M23 1963 29 689−1, 29 941−1, 211 213−1 Donald B. Gillies
M19, M20 1961 24 253−1, 24 423−1 Alexander Hurwitz
M18 1957 23 217−1 Hans Riesel
M13 - M17 1952 2521−1, 2607−1, 21 279−1, 22 203−1, 22 281−1 Raphael M. Robinson
M1 - M12 voor 1915 22−1, 23−1, 25−1, 27−1, 213−1, 217−1
219−1, 231−1, 261−1, 289−1, 2107−1, 2127−1
Oude Grieken, Pietro Cataldi, Leonhard Euler, Ivan Pervushin, Ralph Ernest Powers, Édouard Lucas

VoetnotenBewerken

  1. Great Internet Mersenne Prime Search. GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933−1. Persbericht.
  2. Pieter Van Nuffel, DataNews.be. "Grootste priemgetal ooit ontdekt", 6 januari 2018.
  3. Het grootste bekende priemgetal is sinds 1952 een mersennepriemgetal, met uitzondering van de periode van 1989 tot 1992.
    C. Caldwell van de Universiteit van Tennessee in Martin, Het grootste bekende priemgetal per jaar: een korte geschiedenis.

Externe linkBewerken