Quotiëntenlichaam

Een quotiëntenlichaam of breukenlichaam is in de wiskunde het lichaam dat wordt gemaakt uit een integriteitsdomein of integriteitsgebied , en dat bestaat uit elementen die opgevat kunnen worden als breuken van elementen uit . Een belangrijk voorbeeld is het lichaam der rationale getallen, als quotiëntenlichaam van het integriteitsdomein der gehele getallen.

ConstructieBewerken

Zij   een integriteitsdomein. Men construeert zijn quotiëntenlichaam als volgt. Beschouw eerst het cartesisch product

 

Op   beschouwen we de volgende relatie  :

 

Dit is een equivalentierelatie. De onderliggende verzameling van het quotiëntenlichaam bestaat uit de equivalentieklassen van deze equivalentierelatie en wordt als   genoteerd.

Een optelling en een vermenigvuldiging in   laten zich als volgt definiëren:

 
 

Men kan nagaan dat deze bewerkingen goed gedefinieerd zijn in de zin dat de equivalentieklasse van het resultaat niet afhangt van de gekozen vertegenwoordiger in de equivalentieklassen van de operanda. Men kan eveneens nagaan dat deze bewerkingen van de verzameling der equivalentieklassen een lichaam maken.

De equivalentieklasse van het koppel   wordt meestal genoteerd als de breuk  , of  , of als  . Men noemt   de teller en   de noemer van de breuk. Eenzelfde breuk kan meestal met verschillende tellers en noemers genoteerd worden, die overeenkomen met de verschillende elementen van één equivalentieklasse.

VoorbeeldenBewerken

  • Zoals hierboven aangegeven zijn de rationale getallen de breuken waarvan de tellers en noemers gehele getallen zijn.
  • Ieder lichaam is een integriteitsdomein, en is gelijk aan zijn eigen breukenlichaam.
  • De polynomen in één veranderlijke met coëfficiënten in een gegeven lichaam   vormen een integriteitsdomein  . Het breukenlichaam bestaat uit de veeltermbreuken of rationale functies en wordt   genoteerd.
  • De analytische functies op een open deelverzameling der complexe getallen vormen een integriteitsgebied. Het quotiëntenlichaam bestaat uit de meromorfe functies.

Inbedding van een integriteitsdomein in zijn quotiëntenlichaamBewerken

De functie die elk oorspronkelijk ringelement   afbeeldt op de breuk   is een ringhomomorfisme van   naar  . Dit homomorfisme is injectief, dus   is isomorf met een deelring van  .

Het quotiëntenlichaam is het kleinste lichaam dat   omvat, in de zin dat ieder lichaam dat   omvat, een deellichaam heeft dat isomorf is met  .

LokalisatieBewerken

Bovenstaande constructie kan nog op twee manieren verder veralgemeend worden. Enerzijds laat men de eis vallen dat   een domein is, dus   is een willekeurige commutatieve ring met eenheidselement. Anderzijds neemt men als noemerverzameling niet noodzakelijk  , maar een willekeurige deelverzameling  van   die multiplicatief gesloten is, dat wil zeggen dat het product van twee willekeurige elementen van   opnieuw in   ligt.

We definiëren als volgt een equivalentierelatie   op de cartesisch product  :

 

Het rechterlid is een beetje ingewikkelder dan hierboven omdat   niet noodzakelijk nuldelervrij is. Als we de oorspronkelijke definitie zouden handhaven, dan is de transitiviteit van de relatie niet langer gegarandeerd.

De verzameling der equivalentieklassen wordt breukenring of lokalisatie van   in   genoemd, en genoteerd   of  

VoorbeeldBewerken

Als   een priemideaal is van  , dan is de complementverzameling   multiplicatief gesloten. Men spreekt van de lokalisatie van   in het priemideaal   en wordt, enigszins inconsequent, genoteerd met  . Deze ring bestaat uit breuken waarvan de noemer niet in   ligt. Het is een lokale ring, wat de benaming lokalisatie verantwoordt. Zijn uniek maximaal ideaal bestaat uit de veelvouden van elementen van  , strikt genomen: van de breuken waarvan de teller een veelvoud is van  , en de noemer niet.

Het quotiëntenlichaam van een domein is hiervan een bijzonder geval, dat ontstaat door naar het priemideaal {0} te kijken.

InbeddingBewerken

De hierboven gedefinieerde afbeelding die   op   afbeeldt, is nog steeds een homomorfisme van ringen. Ze is evenwel slechts injectief als   een integriteitsdomein is.