Karakteristiek (wiskunde)

In de abstracte algebra is de karakteristiek van een ring R het kleinste aantal keren dat men in een som gebruik moet maken van het multiplicatieve identiteitselement (1) om het additieve identiteitselement (0) te verkrijgen; van de ring zegt men dat deze karakteristiek nul heeft, indien deze herhaalde som nooit de additieve identiteit bereikt.

Formele definitieBewerken

Zij R een ring (niet noodzakelijk commutatief) met neutraal element 1R voor de vermenigvuldiging. De karakteristiek van R, genoteerd char(R), is het kleinste natuurlijke getal getal n zodanig dat

 

als een dergelijk getal n bestaat, en anders 0.

VoorbeeldenBewerken

De klassieke getallenverzamelingen  ,   en   hebben karakteristiek 0. Zo ook de p-adische getallen.

Als   een integriteitsgebied is, dat wil zeggen dat er geen elementen   bestaan met  , dan is de karakteristiek 0 of een priemgetal. Dit geldt in het bijzonder als   een lichaam (in België: veld) is.

De gehele restklassen modulo   ( ) vormen een commutatieve ring met eenheid met karakteristiek  , genoteerd  . Dit is een lichaam als en slechts als   een priemgetal is.

Als   en   ringen met eenheid zijn, en   is een deelring van   (met hetzelfde eenheidselement), dan hebben   en   dezelfde karakteristiek. Omgekeerd: elke ring met karakteristiek 0 bevat   als deelring, en elke ring met karakteristiek   bevat   als deelring.

De enige ring met karakteristiek 1 is het singleton  .

Alternatieve definitiesBewerken

De karakteristiek is gelijk aan de exponent van de additieve groep van de ring, dat wil zeggen, de kleinste positieve   zodanig dat

 

voor elk element   van de ring (nogmaals, als   bestaat, anders nul). Dit volgt uit de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling.

Andere equivalente definities nemen de karakteristiek als het natuurlijk getal   zodanig dat   de kern van een ringhomomorfisme van   naar   is, zodanig dat   een deelring isomorf met de factorring   bevat, die de afbeelding van dat homomorfisme zou worden. De eisen van ringhomomorfismen zijn zodanig dat er slechts een homomorfisme van de ring van de gehele getallen naar enig andere ring kan zijn, in de taal van de categorietheorie is   het initiële object van de categorie van ringen. Ook hier volgt men de conventie dat een ring een multiplicatief identiteitselement heeft, en dat ring-homomorfismen het eenheidselement respecteren.