Karakteristiek (wiskunde)

In de abstracte algebra is de karakteristiek van een ring het kleinste aantal keren dat men in een som gebruik moet maken van het multiplicatieve neutrale element 1 om de additieve identiteit 0 te krijgen. Men zegt van de ring dat deze karakteristiek nul heeft, indien deze herhaalde som nooit de additieve identiteit bereikt.

Definitie bewerken

Zij   een ring, die niet noodzakelijk commutatief is, met neutraal element   voor de vermenigvuldiging. De karakteristiek van  , genoteerd  , is het kleinste natuurlijke getal getal   zodanig dat

 

als een dergelijk getal   bestaat, en anders 0.

Voorbeelden bewerken

  • De getallenverzamelingen  ,   en   hebben karakteristiek 0. Zo ook de p-adische getallen.
  • Als   een integriteitsgebied is, dat wil zeggen dat er geen elementen   bestaan met  , dan is de karakteristiek 0 of een priemgetal. Dit geldt in het bijzonder als   een lichaam (Ned) / veld (Be) is.
  • De gehele restklassen modulo   met  , vormen een commutatieve ring met eenheid met karakteristiek  , genoteerd  . Dit is een lichaam dan en slechts dan als   een priemgetal is.
  • Als   en   ringen met eenheid zijn, en   is een deelring van  , met hetzelfde eenheidselement, dan hebben   en   dezelfde karakteristiek. Omgekeerd:   is een deelring van iedere ring met karakteristiek 0 en   is een deelring van iedere ring met karakteristiek  .
  • De enige ring met karakteristiek 1 is het singleton  .

Andere definities bewerken

De karakteristiek is gelijk aan de exponent van de additieve groep van de ring, dat wil zeggen, de kleinste positieve   zodanig dat

 

voor ieder element   van de ring. Deze definitie telt weer alleen als   bestaat, anders is de karakteristiek nul. Dit volgt uit de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling.

Andere equivalente definities nemen de karakteristiek als het natuurlijke getal   zodanig dat   de kern van een ringhomomorfisme van   naar   is, zodanig dat   een deelring bevat, die isomorf met de factorring   is en die de afbeelding van dat homomorfisme zou worden. De eisen van ringhomomorfismen zijn zodanig dat er slechts een homomorfisme van de ring van de gehele getallen naar enig andere ring kan zijn.   is in de categorietheorie het initiële object van de categorie van ringen. Men houdt ook hier aan dat een ring een multiplicatief identiteitselement heeft en dat ring-homomorfismen het eenheidselement op zichzelf afbeelden.