Raakvlak

Het raakvlak aan een driedimensionaal oppervlak in een punt van dat oppervlak is de verzameling van alle rechten die door dat punt gaan en in dat punt loodrecht op de plaatselijke normaalvector aan het oppervlak staan. Het is een uitbreiding in drie dimensies van het begrip raaklijn aan een vlakke kromme. Het is tevens een speciaal geval van de meer algemenere raakruimte in dimensies.

Raakvlak aan een impliciet gegeven oppervlakBewerken

VergelijkingBewerken

Stel dat een oppervlak in drie dimensies gegeven is door middel van de vergelijking:

 

Dit voorschrift legt één gezamenlijke voorwaarde op aan de drie coördinaten, waardoor er slechts twee onafhankelijk kunnen gekozen worden. Laat

 

een punt zijn dat op dit oppervlak ligt, en de drie partiële afgeleiden van   in dat punt bestaan en niet alle drie tegelijk nul zijn. Dan kan men bewijzen dat alle raaklijnen in dat punt loodrecht op de vector

 

staan. Merk op dat deze vector alleen afhangt van het gegeven oppervlak en het gekozen punt. De raaklijnen vormen dan samen het raakvlak, en de vector   is de normaalvector van dat raakvlak. De cartesische vergelijking van het raakvlak in het gegeven punt is dan:

 

VoorbeeldBewerken

Beschouw het oppervlak

 

en het punt

 

op dat oppervlak. De drie partiële afgeleiden zijn:

 

Als de coördinaten van het punt worden ingevuld, verkrijgt men de plaatselijke normaalvector

 

Het raakvlak in het genoemde punt is bijgevolg:

 

Raakvlak aan een oppervlak bepaald door twee parametersBewerken

VergelijkingBewerken

 
De normaalvector (groen) in een punt van een oppervlak kan worden bekomen als vectorproduct van twee raakvectoren (rood en blauw) aan het oppervlak. Elk van deze raakvectoren ontstaat als raakvector aan een ruimtekromme die ontstaat door een van de parameters constant te houden.

Een oppervlak   in drie dimensies kan ook beschreven worden door middel van drie coördinaten   die functie zijn van een koppel onafhankelijke parameters  . Dit is een voorbeeld van een zogenaamde parametervergelijking, die in dit geval de volgende gedaante heeft:

 

Een punt   op het oppervlak   wordt nu bepaald door twee waarden   en   die via bovenstaande voorschriften de coördinaten van dat punt bepalen. Een punt op het oppervlak   is dus te schrijven als:

 

Door nu in de vergelijkingen van het oppervlak   eerst eens de tweede parameter constant   te houden, verkrijgt men een ruimtekromme   die in het oppervlak ligt, en wordt doorlopen door middel van de eerste parameter  . Deze ruimtekromme gaat door het punt   en bereikt dit punt meer bepaald, als  . Deze ruimtekromme is dus:

 

De richting van de raaklijn aan een ruimtekromme wordt in het algemeen gegeven door de vector bestaande uit partiële afgeleiden naar haar parameter. Bijgevolg wordt de raakvector in het punt   aan deze ruimtekromme dan bepaald door de partiële afgeleiden:

 

Op dezelfde manier kan men, door eens de parameter   constant te houden, een tweede ruimtekromme   door het punt   krijgen die alleen van de tweede parameter   afhangt. De raakvector aan deze tweede ruimtekromme is dan op analoge wijze:

 

Deze twee raakvectoren liggen in het gevraagde raakvlak, en bijgevolg staat hun vectorproduct :

 

loodrecht op dat raakvlak. Dit vectorproduct kan dus dienstdoen als normaalvector van het raakvlak, dat bijgevolg volledig bekend is:

 

VoorbeeldBewerken

Het punt

 

op de ruimtekromme gegeven door:

 

heeft de parameterwaarden   en  . De partiële afgeleiden naar   in deze parameterwaarden geven een eerste raakvector:

 

De partiële afgeleiden naar   geven een tweede raakvector:

 

Het vectorproduct

 

is dan een normaalvector in  . Het raakvlak heeft dus als vergelijking:

 

Zie ookBewerken