Duale ruimte

In de lineaire algebra en de functionaalanalyse, beide deelgebieden van de wiskunde, heeft elke vectorruimte een overeenkomstige duale ruimte (of langer duale vectorruimte) die uit alle eenvormen (lineaire functionalen) op bestaat, dat wil zeggen de lineaire afbeeldingen naar het lichaam (Ned) / veld (Be) van de vectorruimte.

Duale vectorruimten gedefinieerd op eindigdimensionale vectorruimten, kunnen worden gebruikt voor het definiëren van tensoren, die bestudeerd worden in de tensoralgebra. Wanneer toegepast op vectorruimten van functies (die typisch oneindigdimensionaal zijn), worden duale ruimten gebruikt voor het definiëren en bestuderen van concepten als maten, distributies en Hilbertruimten. Bijgevolg is de duale ruimte een belangrijk begrip in de studie van de functionaalanalyse.

Voor iedere vectorruimte is de duale ruimte gedefinieerd, die in dit verband wel de algebraïsche duale ruimte genoemd wordt. Is de vectorruimte een topologische vectorruimte, dan is er een deelruimte van deze (algebraïsche) duale ruimte, de zogeheten topologische duale ruimte die gevormd wordt door de continue lineaire functionalen.

DefinitieBewerken

Zij   een vectorruimte over een lichaam (Ned) / veld (Be)  . Noem   de verzameling van eenvormen op  , dat wil zeggen de lineaire afbeeldingen van   naar  . De elementen van   kunnen puntsgewijs bij elkaar worden opgeteld en puntsgewijs worden vermenigvuldigd met een constante uit  . Op deze manier ontstaat een optelling en een scalaire vermenigvuldiging waarmee   eveneens een vectorruimte wordt over  . Deze vectorruimte heet de duale vectorruimte (ook het duaal of de duale) van  .

Bijbehorende bilineaire afbeeldingBewerken

Voor iedere vectorruimte   is er de bilineaire afbeelding  , met  . Soms wordt de notatie   gebruikt.

Duale basisvectorenBewerken

Bij een gegeven basis kan voor elke basisvector   een duale basisvector   worden gedefinieerd als de lineaire afbeelding van   naar   die een vector   uit   afbeeldt op de coëfficiënt van   in de lineaire combinatie waarbij   wordt uitgedrukt in de basisvectoren. Als dus de basis bestaat uit de vectoren   en

 

dan is

 

De duale basisvectoren zijn lineair onafhankelijk in   De dimensie van   is dus minstens die van  

Eindigdimensionale gevalBewerken

Als   eindigdimensionaal is met dimensie  , vormen de duale basisvectoren   van de basis   van   een basis van   die duale basis van   heet. De dimensie van   is dus ook  . Er geldt:

 ,

met   de Kronecker delta

Voor een willekeurig element  , met coëfficiënten   t.o.v deze basis, dus:

 

geldt:

 

Algemene gevalBewerken

In het geval van een oneindigdimensionale vectorruimte   kan in het algemeen niet op bovengenoemde wijze een duale basis geconstrueerd worden. Stel namelijk dat   een basis is van  . Dan is de lineare afbeelding   gedefinieerd door   een element van de duale ruimete   Echter kan   niet uitgedrukt worden als (eindige!) lineaire combinatie van de duale basisvectoren   Stel immers dat

 

dan zou

 

Als   eindig is, is   aftelbaar, maar   overaftelbaar. Daaruit volgt dat iedere basis van   ook overaftelbaar is.

Topologisch duaalBewerken

Als   een topologische vectorruimte is, heeft het zin te kijken naar de verzameling continue lineaire afbeeldingen van   naar   Deze vormt op haar beurt een topologische vectorruimte met de topologie der puntsgewijze convergentie (de spoortopologie van de producttopologie op  ).

Om onderscheid te maken, spreekt men van algebraïsch duaal respectievelijk topologisch duaal. De topologisch duale vectorruimte is in het algemeen een deelverzameling van de algebraïsch duale vectorruimte. In de meeste teksten over functionaalanalyse speelt de algebraïsch duale ruimte geen rol, en de term "duale ruimte" slaat op de duale topologische vectorruimte. Als er geen verwarring mogelijk is, wordt de ster-notatie   eveneens gebruikt voor de topologisch duale ruimte van  

InproductBewerken

Als   een reële of complexe vectorruimte is met een inproduct (en dus met welgedefinieerde begrippen loodrechte stand en afstand), dan definieert de bewerking "rechts inproduct met een vaste gegeven vector" een continue lineaire afbeelding van   naar   De afbeelding die met de vaste gegeven vector de corresponderende lineaire afbeelding in verband brengt, is een injectieve continue lineaire afbeelding van   naar   (toegevoegd lineair of semilineair in het geval van een complexe inproductruimte).

Als de norm die door het inproduct wordt gedefinieerd, volledig is (m.a.w. als   een Hilbertruimte is), dan is deze continue (semi)lineaire afbeelding van   naar   een bijectieve isometrie.

Duaal moduulBewerken

Als we het lichaam   vervangen door een ring   dan spreken we niet meer van vectorruimten maar van modulen. Bij de definitie van de duale ruimte hebben we geen gebruik gemaakt van de omkeerbaarheid van de elementen van   dus de definitie blijft geldig voor het duaal moduul   van een gegeven moduul   over een ring   Zoals altijd bij modulen, moet men voorzichtig zijn met beschouwingen over basissen en dimensies.

Abelse groepen kunnen worden opgevat als modulen over de ring der gehele getallen en omgekeerd. De duale abelse groep is dan het duale moduul in hogergenoemde zin.