Hoofdmenu openen

In de lineaire algebra is een scalaire vermenigvuldiging een bewerking die aan een vermenigvuldiging van getallen doet denken, maar waarbij slechts een van de twee leden echt de benaming "getal" verdient. Het andere lid is gewoonlijk een vector.

Niet te verwarren met scalair product, een synoniem voor inwendig product.

DefinitieBewerken

Zij   het cartesisch product van een ring   met een commutatieve groep  .

Formeel is een scalaire vermenigvuldiging een afbeelding   van   naar   die op de volgende wijze compatibel is met de ring- en groepsstructuur:

  1. Linksdistributief:  
  2. Rechtsdistributief:  
  3. Gemengd associatief:  

In de context van commutatieve ringen met eenheidselement eist men bovendien meestal dat

 .

Bovenstaande functionele notatie is omslachtig, en men noteert het scalair product van   en   gewoon  

Een dergelijke combinatie   noemt men een (linker)moduul. Als   een lichaam is, spreken we van een vectorruimte.

Meetkundige interpretatieBewerken

De vector   is een uitgerekte of ingekrompen versie van de vector  , en   is de schaalfactor.

Opmerking: als   en   twee verschillende vectoren zijn en   een schaalfactor verschillend van 0, dan is de rechte die   en   verbindt, evenwijdig met de rechte die   en   verbindt.

VoorbeeldenBewerken

  • Opblazen van het reële coördinatenvlak met een reële schaalfactor  :
 
  •  
  • Algemener, zij   een willekeurige commutatieve groep:
  (  keer)
(als   negatief is,   keer het invers element van   bij zichzelf optellen)
  • Bovenstaande afbeelding bestaat nog steeds als   niet commutatief is, maar ze respecteert niet langer de distributiviteitseigenschappen.
  • Noteer   voor het commutatief lichaam der restklassen bij deling door  , en zij   een commutatieve groep. De afbeelding die   op   en   op   afbeeldt, is een scalaire vermenigvuldiging.