Hoofdmenu openen

Partitie (verzamelingenleer)

verzamelingenleer
Een partitie van een verzameling in zes delen weergegeven door een Euler-diagram

In de verzamelingenleer is een partitie van een verzameling, een opdeling van die verzameling in niet-lege onderling disjuncte delen. De onderdelen van een partitie zijn niet leeg, bevatten geen gezamenlijke elementen en vormen samen de hele verzameling. Men spreekt wel van een opdeling in klassen.

DefinitieBewerken

Zij   een familie deelverzamelingen van de verzameling  , dan heet   een partitie van   als:

  1.  : geen van de deelverzamelingen in de familie is leeg;
  2. voor alle  : de familie bestaat uit onderling disjucte deelverzamelingen;
  3.  : de deelverzamelingen in de familie vormen gezamenlijk de gehele uitgangsverzameling

De elementen van   zijn de klassen of blokken van de partitie.

VoorbeeldenBewerken

Zij   dan is   een partitie van  . De familie   is geen partitie omdat de leden niet onderling disjunct zijn. De familie   is geen partitie van   omdat de vereniging van de leden niet heel   oplevert.

Het paar bestaande uit enerzijds de verzameling der even getallen, en anderzijds de verzameling der oneven getallen, vormt een partitie van de verzameling   der gehele getallen. Algemener vormen de restklassen bij deling door een natuurlijk getal  , een partitie van  .

De lege familie is de enige partitie van de lege verzameling.

Als   een equivalentierelatie is op een verzameling  , dan vormen de equivalentieklassen samen een partitie van  . Ook kan elke partitie op deze manier geïnterpreteerd worden, door als relatievoorschrift "ligt in dezelfde klasse" te nemen.

Zie ookBewerken